浙江省台州市2025-2026学年第一学期高二期末质量评估数学试题（试卷+解析）

台州市2025学年第一学期高二年级期末质量评估试题数学2026.02一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.设，向量，且，则满足的方程为（）A. B.C D.3.设，则（）A. B.C D.4.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则线段的长度为（）A.2 B.3 C.4 D.55.在平行六面体中，已知，，则的长度为（）A. B. C. D.6.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球⋯⋯设各层球数构成一个数列，则（）A.28 B.36 C.45 D.557.由曲线围成图形的面积为（）A. B. C. D.8.若函数在区间各恰有一个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列说法正确有（）A.当时，在区间上单调递增B.当时，在上单调递增C.当时，是函数的极小值点D.当时，函数有三个零点10.设为双曲线上两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（）A. B. C. D.11.设数列为无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称为“阶递减数列”.则下列说法正确的是（）A.若，则为“阶递减数列”B.若，则为“阶递减数列”C.若，则为“阶递减数列”D.若为“阶递减数列”，则数列不存在最小值三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在处的切线的方程为_______13.已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点.若，且，则双曲线的离心率为__________.14.已知长方体中，，点是底面内的动点，点为棱上的动点，且，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知的三个顶点是.（1）求边所在直线的方程；（2）求的面积.16.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的取值范围．17.已知等差数列的首项，且，数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.18.如图所示，在平面四边形中，，为等边三角形，沿将折起，设二面角的平面角为.（1）当时，（i）求直线与平面所成角的正弦值；（ii）求三棱锥外接球的表面积；（2）记平面与平面的夹角为，当为何值时，取到最大值.19.已知圆与轴交于两点（在的右侧），与轴正半轴交于点，点是圆上的动点，过作轴，垂足为的中点为（当点经过两点时，规定点与点重合.），记的轨迹为.（1）求曲线方程；（2）过点的直线与曲线相交于两点，求的取值范围；（3）当不与两点重合时，过点作的垂线交曲线于点，求面积的取值范围.台州市2025学年第一学期高二年级期末质量评估试题数学2026.02一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系计算即可.【详解】因为直线方程为，所以该直线的斜率为1，所以该直线的倾斜角为.故选：C.2.设，向量，且，则满足的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量垂直的充要条件，结合空间向量的坐标运算即可得解.【详解】因为向量，且，所以，即.故选：A.3.设，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由复合函数导数公式直接计算可得结果.【详解】.故选：B.4.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则线段的长度为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的性质即可求解．【详解】可知抛物线的焦点为，准线方程为，点在抛物线上，则点A到准线的距离即为AF的长，所以．故选：B．5.在平行六面体中，已知，，则的长度为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量模长公式，将体对角线向量分解为三条棱向量的和，平方展开后代入模长与夹角计算数量积，最后开方得到结果.【详解】在平行六面体中，，.因为，，，所以，即.故选：C6.如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球⋯⋯设各层球数构成一个数列，则（）A28 B.36 C.45 D.55【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的前项和公式计算即可.【详解】由题意可知，，所以.故选：B.7.由曲线围成的图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据曲线的对称性，先求得曲线在第一象限部分的面积，即可求得曲线围成的图形的面积.【详解】令，得或；令，得或.以代替，以代替，方程仍然成立，所以曲线关于轴，轴，原点对称.所以可先分析的情况.当时，，即，所以曲线在第一象限的部分由以为圆心，以为半径的半圆和一个三角形，及原点组成.所以其面积为.所以曲线围成图形的面积为.故选：B.8.若函数在区间各恰有一个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先分离参数，转化为求两函数图像交点的问题，画出在区间的图像即可.【详解】因为在区间各恰有一个零点，所以在区间各有一个解，当时，，故可化为，令，，则问题转化为与在各有一个交点.设，，时，，故，在单调递增，又，所以时，，，在单调递增.时，设，故在上单调递增，又，故存在使成立，，，单调递减；，，单调递增.又，，所以存在使成立，，，单调递增；，，单调递减.又,所以大致图像如图所示，故的取值范围为故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列说法正确的有（）A.当时，在区间上单调递增B.当时，在上单调递增C.当时，是函数的极小值点D当时，函数有三个零点【答案】BCD【解析】【分析】求函数的导数，代入相应的的值，利用导数分析函数的单调性，逐项判断即可.【详解】函数，定义域为..当时，.当时，，所以在区间上单调递减，所以A错误.当时，恒成立，所以在上单调递增，所以B正确.当时，令，则或.所以当时，；当或时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以是函数的极小值点，所以C正确.当时，.所以当时，；当或时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.因为，所以函数在上各有一个零点，共三个零点，所以D正确.故选：BCD.10.设为双曲线上两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】设两点坐标，利用点差法获得直线的斜率与线段的中点横纵坐标间的关系，逐项判断即可.【详解】设，记AB的中点为.则，两式相减得，.当直线的斜率不存在时，，线段中点在轴上，没有符合的选项；当直线的斜率为零时，，线段中点在轴上，没有符合的选项；当直线的斜率存在且不为零，即时，设斜率为.所以，即，即.对于A，若作为线段中点，则，直线的方程为，即，由，得.因为，所以方程组有两解，直线与双曲线有两个交点，即可以作为线段中点，所以A正确；对于B，若作为线段中点，则，直线的方程为，即，由，得.因为，所以方程组无解，直线与双曲线没有交点，即不可以作为线段中点，所以B不正确；对于C，若作为线段中点，则，直线的方程为，即，恰为双曲线的一条渐近线，所以与双曲线无交点，即不可以作为线段中点，所以C不正确；对于D，若作为线段中点，则，直线的方程为，即，由，得，因为，所以方程组有两解，直线与双曲线有两个交点，即可以作为线段中点，所以D正确.故选：AD.11.设数列为无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称为“阶递减数列”.则下列说法正确的是（）A.若，则为“阶递减数列”B.若，则为“阶递减数列”C.若，则为“阶递减数列”D.若为“阶递减数列”，则数列不存在最小值【答案】ACD【解析】【分析】根据“阶递减数列”的定义逐项计算判断即可.【详解】对于A，因为，所以为“阶递减数列”，A正确；对于B，因为，因为，当均为偶数时，，不满足；当为奇数时，为偶数时，，为奇数时，，不满足，所以不为“阶递减数列”，B错误；对于C，因为，因为，所以，所以存在正整数，使得对任意，均有，比如取可使不等式对所有n成立，所以为“阶递减数列”，C正确；对于D，若为“阶递减数列”，则存在正整数，使得对任意，均有，所以该数列不存在最小值，D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在处的切线的方程为_______【答案】【解析】【分析】利用求导得到导函数，代入得到切线斜率，再求出切点坐标，根据点斜式写出切线方程即可.【详解】由题意，，所以，则，因为当时，，所以在处的切线的方程为：，即.故答案为：.13.已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点.若，且，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】由双曲线的定义及“且”，可用表示，结合余弦定理可得的关系，从而求得双曲线的离心率.【详解】设双曲线的焦距为.由题可知，得，所以.因为，且，所以.中，由余弦定理得，所以，化简得，所以双曲线的离心率为.故答案为：.14.已知长方体中，，点是底面内的动点，点为棱上的动点，且，则的最小值为__________.【答案】8【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出点、点坐标，根据求出点的轨迹方程，进而得到的代数式，与相加，结合某一点到两个固定点距离的最小值求解即可.【详解】以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，.设（底面内，，），（棱上，）.则，，在中，，在中，，因为，所以，整理得，即点的轨迹为平面上以为圆心，2为半径的圆在底面内的部分..以下部分在平面上以平面直角坐标系求解.的最小值为平面上圆心到的距离减去半径2，即.所以令，则表示平面上轴上的点到点和点的距离之和.在平面上作关于轴的对称点，所以的最小值即为的距离，，即，此时为直线与轴的交点，直线方程为：，则，所以.点为直线与圆在矩形内的交点.直线：，则.综上，，当，时，等号成立.故答案为：8.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知的三个顶点是.（1）求边所在直线的方程；（2）求的面积.【答案】（1）（2）17【解析】【分析】（1）求出边所在直线的斜率，根据直线的点斜式方程，写出边所在直线的方程；（2）利用两点间距离公式求边的长度，利用点到直线的距离公式求边上的高，进而求得的面积.【小问1详解】直线的斜率为，所以边所在直线的方程为，即.【小问2详解】线段，设为点到直线的距离，则，.即的面积为.16.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的取值范围．【答案】（1）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减（2）【解析】【分析】（1）直接求导即可解决；（2）根据（1）所求的单调区间求解即可．【小问1详解】，所以在和时，在时，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．【小问2详解】由（1）可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以可知函数在区间上的最小值为，函数在区间上的最大值在中取到，，则，因此函数在区间上的最大值为，综上，函数在区间上的取值范围为．17.已知等差数列的首项，且，数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式计算公差，即可得的通项公式；由，可得数列是首项为1，公比为3的等比数列，并写出数列的通项公式；（2）根据错位相减求和法可得数列的前项和.【小问1详解】设等差数列公差为，则由，可知，即，解得.则的通项公式为.当时，，所以，当时，，即所以数列是首项为1，公比为3的等比数列.所以【小问2详解】由（1）得，所以①所以②，得，所以，所以.18.如图所示，在平面四边形中，，为等边三角形，沿将折起，设二面角的平面角为.（1）当时，（i）求直线与平面所成角的正弦值；（ii）求三棱锥外接球的表面积；（2）记平面与平面的夹角为，当为何值时，取到最大值.【答案】（1）（i）（ii）（2）【解析】【分析】（1）（i）可以根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，求出线面角的正弦值即可，也可根据几何体的性质，作出线面角的平面角，求出结果即可.（ii）根据三棱锥外接球的几何性质，设出球心的坐标，根据空间中两点间的距离公式，求出球心坐标和半径，根据球的表面积公式，求出结果即可.（2）根据面面角的向量求法，设出点的坐标，表示出面的法向量，构造函数，根据二次函数单调性，判断函数最大值，求出结果即可.【小问1详解】（i）（方法一）因为平面平面，平面平面，所以平面.过点作，如图所示建立空间直角坐标系，则，所以，平面的法向量，设直线与平面所成角为，所以.（方法二）因为平面平面，平面平面，取中点，连接，则，所以平面.连接，所以即为直线与平面所成角.所以.（ii）的外心为，所以可设球心坐标为，由，可得，解得，所以半径，三棱锥外接球的表面积为.【小问2详解】如图所示，过作.又因为，所以即为二面角的平面角如图建立空间直角坐标系