小学奥数行程问题专项训练讲义

小学奥数行程问题专项训练讲义各位同学，大家好！今天我们来一起攻克小学奥数中的一个重要堡垒——行程问题。行程问题在奥数里如同一位常客，它贴近生活，变幻多样，既考验我们对基本概念的理解，也锻炼我们分析问题和解决问题的能力。掌握了行程问题的解题思路和技巧，不仅能在奥数竞赛中崭露头角，更能提升我们的逻辑思维能力。一、基本概念与核心公式在开始复杂的题型之前，我们必须先夯实基础，理解行程问题中最基本的三个量以及它们之间的关系。1.路程(S)：指物体运动轨迹的长度，也就是物体从起点到终点所经过的距离。比如，我们从家走到学校，家到学校的距离就是路程。2.速度(v)：指物体单位时间内所通过的路程。它反映了物体运动的快慢。比如，汽车每小时行驶60公里，这里的“每小时60公里”就是速度。3.时间(t)：指物体运动所经历的时间段。这三个量之间存在着一个核心的、也是最基本的数量关系，这个关系是解决所有行程问题的基石，大家务必牢记：核心公式：路程=速度×时间，通常表示为：S=v×t从这个核心公式出发，我们可以根据需要推导出另外两个公式：*速度=路程÷时间，即：v=S÷t*时间=路程÷速度，即：t=S÷v注意：在运用公式时，一定要注意单位的统一性。比如，如果速度的单位是“千米/小时”，那么时间的单位就应该是“小时”，路程的单位就是“千米”。例题1：小明骑自行车去上学，每分钟行200米，用了15分钟到达学校。小明家到学校的距离是多少米？思路点拨：这是一个典型的已知速度和时间求路程的问题，直接运用核心公式“路程=速度×时间”即可。解答：200×15=3000(米)答：小明家到学校的距离是3000米。例题2：从A地到B地的距离是120千米，一辆汽车从A地开往B地用了2小时。这辆汽车的平均速度是多少？思路点拨：已知路程和时间，求速度，使用公式“速度=路程÷时间”。解答：120÷2=60(千米/小时)答：这辆汽车的平均速度是60千米/小时。二、常见题型与解题方法行程问题千变万化，但很多题目都可以归入一些常见的类型。我们逐一来看。（一）单个物体的运动这类问题主要研究一个物体的运动情况，相对简单，是其他复杂问题的基础。1.匀速运动的基本应用：即直接利用核心公式及其变形解决“知二求一”的问题，如例题1、2所示。2.平均速度问题：当一个物体在全程运动中，速度有变化，我们常常需要计算它的平均速度。平均速度的定义：总路程÷总时间。特别注意：平均速度不是速度的简单平均（除非两种速度行驶的时间相同）。例题3：小红从家到学校，去时步行，每分钟走50米，用了12分钟；回来时骑自行车，每分钟行150米。小红往返一次的平均速度是多少？思路点拨：要求往返一次的平均速度，必须知道往返的总路程和往返的总时间。首先，求出单程路程：去时的速度×去时的时间。然后，求出返回时的时间：单程路程÷返回时的速度。总路程是单程路程的2倍，总时间是去时时间与返回时间之和。最后，用总路程除以总时间得到平均速度。解答：家到学校的路程：50×12=600(米)返回时所用时间：600÷150=4(分钟)往返总路程：600×2=1200(米)往返总时间：12+4=16(分钟)往返平均速度：1200÷16=75(米/分钟)答：小红往返一次的平均速度是75米/分钟。（二）两个物体的运动——相遇问题相遇问题是行程问题中非常经典的一类，研究的是两个物体从两地出发，相向而行（面对面），最终相遇的情况。核心概念：*相遇路程：两个物体从出发到相遇所共同行驶的路程之和，通常就是两地之间的距离（除非不是同时出发或有一方中途停留等特殊情况）。*速度和：两个物体的速度相加。*相遇时间：从出发到相遇所用的时间。基本数量关系：相遇路程=速度和×相遇时间即：S和=(v甲+v乙)×t相遇由此可推导出：相遇时间=相遇路程÷速度和速度和=相遇路程÷相遇时间例题4：A、B两地相距300千米，甲车从A地出发，每小时行60千米；乙车从B地出发，每小时行40千米。两车同时出发，相向而行，经过几小时两车相遇？思路点拨：这是最基本的相遇问题。已知两地距离（即相遇路程）和甲、乙两车的速度，求相遇时间。直接使用“相遇时间=相遇路程÷速度和”。解答：速度和：60+40=100(千米/小时)相遇时间：300÷100=3(小时)答：经过3小时两车相遇。例题5：甲、乙两人分别从相距2400米的两地同时出发，相向而行。甲每分钟走70米，乙每分钟走50米。两人相遇时，甲走了多少米？思路点拨：要求相遇时甲走的路程，需要知道甲的速度和甲行走的时间（即相遇时间）。甲的速度已知，相遇时间可以通过总路程除以速度和得到。解答：速度和：70+50=120(米/分钟)相遇时间：2400÷120=20(分钟)相遇时甲走的路程：70×20=1400(米)答：两人相遇时，甲走了1400米。（三）两个物体的运动——追及问题追及问题研究的是两个物体从同一地点或不同地点出发，沿同一方向运动，速度快的物体追赶速度慢的物体的情况。核心概念：*追及路程（路程差）：在追及开始时，两个物体之间的距离，或者在追及过程中，由于出发时间不同等原因造成的路程差距。*速度差：速度快的物体减去速度慢的物体的速度。*追及时间：从追及开始到快的物体追上慢的物体所用的时间。基本数量关系：追及路程=速度差×追及时间即：S差=(v快-v慢)×t追及由此可推导出：追及时间=追及路程÷速度差速度差=追及路程÷追及时间例题6：甲、乙两人在同一条路上同向而行，甲在乙前面100米处，甲每分钟走60米，乙每分钟走80米。乙出发后多少分钟能追上甲？思路点拨：这是基本的追及问题。甲在乙前面100米，这个100米就是追及路程。乙的速度比甲快，所以能追上。用追及路程除以速度差，即可得到追及时间。解答：速度差：80-60=20(米/分钟)追及时间：100÷20=5(分钟)答：乙出发后5分钟能追上甲。例题7：一辆摩托车以每小时50千米的速度从甲地出发，1小时后，一辆汽车以每小时75千米的速度从同一地点出发追赶摩托车。汽车出发后几小时能追上摩托车？此时汽车行驶了多少千米？思路点拨：摩托车先出发1小时，所以当汽车开始出发时，摩托车已经领先了一段距离，这段距离就是追及路程，即摩托车1小时行驶的路程。然后用追及路程除以汽车与摩托车的速度差，得到追及时间。再用汽车速度乘以追及时间就是汽车行驶的路程。解答：追及路程（摩托车先行驶1小时的路程）：50×1=50(千米)速度差：75-50=25(千米/小时)追及时间：50÷25=2(小时)汽车行驶的路程：75×2=150(千米)答：汽车出发后2小时能追上摩托车，此时汽车行驶了150千米。三、综合运用与拓展在实际的奥数题目中，行程问题往往不是单一类型，可能会结合相遇和追及，或者需要我们通过画线段图来帮助理解题意，理清数量关系。画线段图是解决行程问题的“利器”，希望同学们能养成画图的好习惯。例题8：甲、乙两车同时从A地开往B地，甲车每小时行80千米，乙车每小时行60千米。甲车到达B地后立即返回，在距离B地40千米处与乙车相遇。A、B两地相距多少千米？思路点拨：这道题既有同向行驶，也有相向（返回时）的相遇。我们可以画线段图来分析：A地------------------->B地甲：80km/h→→→→→→→|←←(40km)乙：60km/h→→→→→→→→→|相遇点(距离B地40km)从图中可以看出，甲、乙两车一共行驶的路程是A、B两地距离的2倍。甲车比乙车多行驶了2个40千米（因为甲车到达B地后又返回了40千米，而乙车还差40千米才到B地）。我们可以先求出两车的行驶时间，这个时间既是甲车从A到B再返回40千米的时间，也是乙车从A到距离B地40千米处的时间。设两车行驶时间为t小时。甲车行驶的路程：AB距离+40=80t乙车行驶的路程：AB距离-40=60t用甲车路程减去乙车路程：(AB距离+40)-(AB距离-40)=80t-60t→80=20t→t=4小时。那么AB距离=60t+40=60×4+40=280千米，或者80t-40=80×4-40=280千米。解答：甲车比乙车多行驶的路程：40×2=80(千米)甲车每小时比乙车多行驶：80-60=20(千米)两车从出发到相遇所用的时间：80÷20=4(小时)A、B两地的距离：60×4+40=240+40=280(千米)或者：80×4-40=320-40=280(千米)答：A、B两地相距280千米。四、总结与提示行程问题虽然灵活多变，但只要我们牢牢掌握了路程、速度、时间三者之间的基本关系，熟悉相遇、追及等基本题型的特点和解题方法，善于运用线段图等辅助工具分析题意，就一定能够找到解题的突破口。在解题过程中，希望同学们注意以下几点：1.认真审题：仔细阅读题目，明确运动物体的数量、运动方向（同向、相向、背向）、出发时间（同时、不同时）、出发地点（同地、不同地）以及运动结果（相遇、追及、相距多少等）。2.画线段图：养成画图的习惯，将抽象的文字信息转化为直观的图形，帮助理解和分析。3.找关键量：准确找出题目中的路程、速度、时间，特别是相遇问题中的“速度和”、“相遇路程”，追及问题中的“速度差”、“追及