七年级数学知识点总结与典型练习

七年级数学知识点总结与典型练习告别小学的轻松，步入初中的殿堂，七年级的数学学习如同为我们打开了一扇全新的大门。这一年，我们将接触到更为系统和抽象的数学概念，它们是未来数学学习的基石。这份总结旨在帮助同学们梳理七年级数学的核心知识点，并通过典型练习巩固所学，希望能为大家的数学之旅助一臂之力。一、有理数有理数是我们进入初中后首先接触的重要概念，它将我们对数的认识从自然数、分数扩展到了更广阔的范围。1.1有理数的基本概念*正数与负数：大于0的数叫做正数，在正数前面加上“-”号的数叫做负数。0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。**小贴士：引入负数后，许多实际问题，如温度、海拔高度、盈亏等，都能得到更简洁的表示。**有理数的分类：有理数包括整数和分数。整数又可分为正整数、0和负整数；分数可分为正分数和负分数。也可以按正负性分为正有理数、0和负有理数。**小贴士：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们都是有理数。**数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。**核心考点：利用数轴比较有理数的大小，数轴上右边的点表示的数总比左边的大。**相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。**表示方法：数a的相反数是-a。**绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。*性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。**即：当a>0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a<0时，|a|=-a。***注意：绝对值具有非负性，即|a|≥0。*1.2有理数的运算*有理数的加法：*同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。*异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。*一个数同0相加，仍得这个数。**运算律：加法交换律a+b=b+a；加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)。**有理数的减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)。*有理数的乘法：*两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。*几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。**运算律：乘法交换律a×b=b×a；乘法结合律(a×b)×c=a×(b×c)；乘法分配律a×(b+c)=a×b+a×c。**有理数的除法：*除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。*两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。*有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数。**注意：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。**有理数的混合运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。二、整式的加减代数式是代数的语言，而整式是其中最基础的部分。整式的加减运算则是代数运算的入门。2.1整式的有关概念*单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或者一个字母也叫做单项式。*单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。*一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。*多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。*多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。*整式：单项式和多项式统称为整式。*同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。2.2整式的加减*合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。*合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。*去括号法则：*如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；*如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。*整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。*整式加减的结果还是整式。三、一元一次方程方程是解决实际问题的重要工具，一元一次方程是最简单也是最基础的方程。3.1从算式到方程*方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。*一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。*方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。3.2等式的性质*等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果a=b，那么a±c=b±c。*等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么a/c=b/c。3.3解一元一次方程解一元一次方程的一般步骤：1.去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项。2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号。注意符号。3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边。移项要变号。4.合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式。5.系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a。**提示：具体解方程时，步骤要根据方程的特点灵活运用，不必生搬硬套。*3.4一元一次方程的应用列一元一次方程解决实际问题的一般步骤：1.审：审题，理解题意。弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系。2.设：设未知数。根据题意，选择适当的未知数，并用字母表示（设元）。3.列：列方程。利用题目中的等量关系，列出方程。4.解：解方程。求出未知数的值。5.验：检验。检验所求得的未知数的值是否是原方程的解，同时是否符合实际意义。6.答：写出答案（包括单位名称）。**常见的应用类型：行程问题、工程问题、利润问题、利息问题、数字问题、和差倍分问题等。关键在于找到“等量关系”。*四、图形的初步认识从具体到抽象，从直观感受到理性分析，图形的初步认识将带领我们进入几何的世界。4.1多姿多彩的图形*立体图形：各部分不都在同一平面内的图形，如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等。*平面图形：各部分都在同一平面内的图形，如线段、角、三角形、长方形、圆等。*从不同方向看立体图形：可以得到不同的平面图形（主视图、左视图、俯视图）。*立体图形的展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。4.2直线、射线、线段*直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为：两点确定一条直线。*直线的表示方法：可以用一个小写字母表示，也可以用这条直线上的两个点来表示。*直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量。*射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。*射线的表示方法：用射线的端点和射线上另一点来表示，端点字母要写在前面。*射线有一个端点，可以向一端无限延伸，不可度量。*线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。*线段的表示方法：可以用一个小写字母表示，也可以用表示它的两个端点的字母来表示。*线段有两个端点，不能延伸，可以度量长度。*线段的性质：两点之间，线段最短。*两点间的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。*线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。则有AM=MB=1/2AB。4.3角*角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。*角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。*角的表示方法：1.用三个大写字母表示，顶点字母写在中间；2.用一个大写字母表示（顶点处只有一个角时）；3.用一个数字或一个希腊字母表示。*角的度量：度量单位是度、分、秒。1°=60'，1'=60''。*角的比较与运算：*可以用量角器量出角的度数，再比较大小；也可以把它们叠合在一起比较大小。*角的和、差、倍、分的运算，与线段的类似。*角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。*余角和补角：*如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。*如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。*性质：等角的余角相等；等角的补角相等。*对顶角：两条直线相交组成的四个角中，有公共顶点且没有公共边的两个角叫做对顶角。对顶角相等。典型练习题一、有理数1.计算：(-3)²-|-5|+(-1/2)×(-4)**思路点睛：先算乘方和绝对值，再算乘法，最后算加减。*2.已知|a|=3，|b|=5，且a<b，求a+b的值。**思路点睛：绝对值为3的数有±3，绝对值为5的数有±5。根据a<b确定a、b的可能取值组合。*二、整式的加减3.化简求值：3x²y-[2xy²-2(xy-3/2x²y)+xy]+3xy²，其中x=3，y=-1/3。**思路点睛：先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，最后代入求值。注意去括号时的符号变化。*4.若3xᵐ⁺⁵y²与x³yⁿ的和是单项式，求mⁿ的值。**思路点睛：两个单项式的和仍是单项式，则它们是同类项。根据同类项定义（字母相同，相同字母指数也相同）求出m、n。*三、一元一次方程5.解方程：(x-1)/2-(2x+1)/3=1**思路点睛：先去分母（两边同乘6），再去括号、移项、合并同类项、系数化为1。*6.某商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？**思路点睛：设成本价为x元。标价为(1+40%)x，售价为标价的80%。根据等量关系：售价-成本价=利润（15元）列方程。*四、图形的初步认识7.如图，点C是线段AB上一点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，若AB=10cm，求MN的长度。**(此处省略图形，可自行绘制：线段AB，C在AB之间，M在AC中点，N在BC中点)***思路点睛：MN=MC+CN。因为M、N分别是AC、BC中点，所