湖北省沙市市2025-2026学年度上学期高三1月月考数学试题

2025-2026学年度上学期2023级1月月考数学试卷命题人：沙市中学高三数学组审题人：沙市中学高三数学组考试时间：2026年1月27日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．集合，，则满足的集合C的个数为（）A．4 B．7 C．15 D．163．若双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（）A． B．2 C．2或 D．或4．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则m的最小值为（）A． B． C． D．5．已知函数的定义域为D，则“的值域为R”是“对任意，存在，使得”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶P的仰角分别为，计划沿直线AC开通隧道DE，设AD，EB，BC的长度分别为a，b，c．为了测出隧道DE的长度，还需直接测出（）的值．A．a和b B．b和c C．a和c D．a，b，c三者7．设数列的前n项和为，且，则（）A． B． C． D．8．在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若随机变量X服从正态分布，随机变量Y服从正态分布，则（）A． B．C． D．10．已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一动点，点，，则（）A． B．C． D．11．设，其中．则下列说法正确的是（）A．的最小值为4B．当k为奇数时，为奇函数C．当时，的值域为D．当时，关于对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的正整数n的值______．13．已知，且，.写出满足条件的一组的值______，______．（第一空2分，第二空3分）14．已知椭圆C的左、右焦点分别为，，上顶点为B，直线与C相交于另一点A．当最小时，C的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤．15．（13分）在菱形ABCD中，，，以AB为轴将菱形ABCD翻折到菱形，使得平面平面ABCD，点E为边的中点，连接CE，．（1）求证：∥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．16．（15分）设，．（1）求函数的单调区间；（2）若的三个顶点均在半径为2的圆周上，求面积的最大值．17．（15分）已知函数．（1）是否存在实数a，使得为函数的极小值点.若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）若图象上总存在关于点对称的两点，求a的取值范围．18．（17分）在平面直角坐标系中，已知曲线：，点P、Q分别为上不同的两点，．（1）求所在椭圆的离心率；（2）若，Q在y轴上，若T到直线PQ的距离为，求P的坐标；（3）是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由．19．（17分）光明中学举行校乒乓球比赛，共有人报名参加男子单打比赛，参赛选手的编号记为，并将所有选手分成A，B两组，每组各m人，其中m为不小于10的整数．（1）若，求编号为10和20的选手都在A组的概率；（2）若编号为m和的选手都在A组，证明：在B组选手中总能找出2人，使得他们的编号之和等于；（3）A组选手与B组选手一对一比赛后共有m人晋级.已知在晋级的选手中有不超过10%的选手退赛，证明：在晋级且没有退赛的选手中总能找出4人，使得在这4人中有2人的编号之和等于另外2人的编号之和．高三年级1月月考数学答案1234567891011CACAADBAACDABDACD12．513．（答案不唯一）；（答案不唯一）14．/6．【详解】在中，由正弦定理有：，所以，在中，由正弦定理有：，所以，因为，所以为了测出隧道DE的长度，还需直接测出a，b，c三者的值.7．【详解】因为数列的前n项和为，且，当时，则，解得，当且时，由可得，上述两式作差可得，整理可得，等式两边同时除以可得，所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，所以，所以，对于AB选项，，，则，A错B对；，对于CD选项，，，所以，，CD都错.8．【详解】因为，所以，点的轨迹方程为（椭球），又因为，所以点C的轨迹方程为，（双曲线的一支）过点P作，，而，面PHC，所以面PHC，设O为AB中点，则二面角为，所以不妨设，，，，所以，所以，令，，所以，等号成立当且仅当，所以当且仅当时，.11．【详解】因为并且，所以选项A正确；因为，所以不是奇函数，B选项错误；当时，，并且，，所以的值域为，C选项正确；时，若，则定义域为R；若，则定义域为，均关于对称．当n为奇数时，；当n为偶数时，．综上所述，D选项正确．14.【详解】设椭圆方程为，其焦距为2c，由题意可知；设，则，故，当时，取最小值，此时取最小值，则此时在中，，，则,即，整理得，故椭圆离心率，15．（1）∵，平面，平面，∴平面．同理可得∥平面．又∵，平面BCE，平面平面，∵平面BCE，∴∥平面．（2）法1：建系取AB中点O，易知，．∵平面平面，平面平面，又平面，，∴平面ABCD．如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，．从而，得．又，，设平面的法向量，有，得，解得，取，故，设直线CE与平面所成角为，则，所以直线CE与平面所成角的正弦值为．法2：几何取中点F，则EFDC是平行四边形，所以．从而CE与平面所成角即为DF与平面所成角，设为．过作交AB于G，过G作交BD于H，过G作交于K．因为平面平面，平面平面，又平面，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，又，，平面，从而平面，因为平面，所以，又，，平面，从而平面．所以GK的长即为G到平面的距离．由，可得．又，所以F到平面的距离设为h即为G到平面的距离，即．又，可得.在中，，，所以，得．所以，所以直线CE与平面所成角的正弦值为．16．（1），令，，，的单调增区间为；令，，，的单调减区间为．综上所述，函数的单调增区间为，单调减区间为．（2）不妨设为锐角，设O为圆心，如图所示，，．由第（1）问可知，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，．当为等边三角形时，．综上所述，面积的最大值为．17．（1）不存在，理由如下：由知的定义域为，且，假设存在实数，使得为函数的极小值点，则，即，解得，此时，所以是减函数，与为函数的极小值点矛盾，所以假设不成立，即不存在实数a，使得为函数的极小值点；（2）若图象上总存在关于点对称的两点，则在上有解，即在上有解，整理得，令，，得，问题可转化为在上有解，令，，则；①当时，，是减函数，又，所以，所以在上无零点，不符合题意；②当时，，是增函数，又，所以，所以在上无零点，不符合题意；③当时，在上，，单调递减；在上，，单调递增，所以的最小值为，又时，，根据函数零点存在定理可知在上必存在零点，符合题意；综上，a的取值范围是．18．（1）由，则，，即离心率为；（2）由题设，问题化为以为圆心，为半径的圆与过的直线相切，且切线与：有交点，显然切线斜率存在，令切线为，所以，可得，则或，当，则切线为，联立，可得，则或，故此时，满足；当，则切线为，联立，可得，则或，故此时，不满足；综上，．（3）由题设，直线PQ的斜率存在，可设PQ：，，，联立，整理得，其中，即，所以，，则，，所以且，故，当时，则且，则，此时，满足；当，而PQ的中点为，又，则，即，且，，所以，则，所以，则，故所以，则.综上，．19．（1）编号为10和20的选手都在A组的概率；（2）设B组选手的编号分别为，因为编号为m和的选手都在A组，故这个数的值只能取这个值，故它们中必有两个数相等，因为互不相等，所以也互不相等，故一定存在，其中，又因为，，故存在，使得，即在B组选手中总能找出2人，使得他们的编号之和等于．（3）设晋级且没有退赛的选手共有n人，他们组成集合，其中表示选手的编号，，且，，假设M中不存在4个元素满足其中2个元素之差等于另2个元素之差；（ⅰ）当n为奇数时，考虑两组差：和根据假设