1.2集合间的基本关系-2021-2022学年高一数学同步学案（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

1.2集合间的基本关系【学习要求】1.理解集合之间的包含与相等的含义．2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．3.在具体情境中，了解空集的含义并会应用．【思维导图】【知识梳理】一、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集．记法与读法：记作AB(或BA)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．或重要结论：(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA．(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC．对子集的理解：(1)“AB”的含义：若xA就能推出xB．(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A．此时记作AB或BA．(3)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N．二、集合相等如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，那么集合A与集合B相等，记作A＝B．用Venn图表示如图所示．对集合相等的理解：(1)A＝BAB，且BA，这是证明两个集合相等的重要依据；(2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等；(3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；三、真子集定义：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集．记法：记作AB(或BA)．结论：(1)AB且BC，则AC；(2)AB且A≠B，则AB．四、空集定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集．记法：规定：空集是任何集合的子集，即A特性：(1)空集只有一个子集，即它本身，(2)是任何非空集合的真子集，即若A≠，则A【高频考点】高频考点1.子集、真子集的概念【方法点拨】①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，是判断A⊆B的常用方法．②不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.【例1】（2021·梁河县高一月考）下列命题中正确的是（）A．空集没有子集B．空集是任何一个集合的真子集C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集D．设集合，那么，若，则【变式1-1】（2021·江西省吉水县高一期中）在①；②；③；④上述四个关系中，错误的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-2】（2021•宁县校级月考）对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是（）A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素 C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A【变式1-3】[多选题]（2021.山东高一期中）下列命题中，正确的有（）A．空集是任何集合的真子集；B．若A⫋B，B⫋C，则A⫋C；C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；D．如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B【变式1-4】（2021·北京高一期末）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（）A． B． C． D．高频考点2.集合的相等与空集【方法点拨】①利用集合相等的定义和集合中的元素的性质去解题．②利用空集的定义去解题.【例2】（2021•雨花区校级月考）[多选题]下列选项中的两个集合相等的有（）A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2n+2，n∈Z} B．P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N+} C．P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x，n∈Z} D．P＝{x|y＝x+1}，Q＝{（x，y）|y＝x+1}【变式2-1】（2021·泰州市第二中学高一期中）已知集合，若，则的值等于____.【变式2-3】（2021·龙湾高一期中）下列集合是空集的是（）A．或B．C．D．【变式2-4】（2021·石家庄市第十八中学高一月考）若集合为空集，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．高频考点3.集合间关系的判断【方法点拨】判断集合关系的方法有三种：①列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．②元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若p(x)推出q(x)，则A⊆B；②若q(x)推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．③图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．【例3】（2021·昆山市高一月考）若集合A={x|x=5k-1，k∈Z}，B={x|x=5k+4，k∈Z}，C={x|x=10k-1，k∈Z}.则A，B，C的关系是（）A．A⊆C⊆B B．A=B⊆C C．B⊆A⊆C D．C⊆A=B【变式3-1】（2021·河南洛阳市·高一期末）已知集合，，则（）A． B． C． D．【变式3-2】（2021·云南省大姚县第一中学高一期末）设集合，，则它们之间最准确的关系是（）．A．B．C．D．【变式3-3】（2021•九龙坡区校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|≤3}，集合，则集合A，B，C的关系为（）A．B⊆A B．A＝B C．C⊆B D．A⊆C【变式3-4】（2020·浙江省高一课时练习）已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则A． B． C． D．高频考点4.有限集合子集、真子集的确定【方法点拨】1．确定所求集合，是子集还是真子集．2．求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．3．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．【例4】（2021·河北衡水市·高三其他模拟）定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（）A．12 B．14 C．15 D．16【变式4-1】（2021·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））已知集合，则集合的真子集的个数为（）A． B． C． D．【变式4-2】（2021·江苏高一期末）已知集合，则集合的子集个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4【变式4-3】（2021·浙江高一期末）已知集合，若A的子集个数为2个，则实数______．【变式4-4】（2021·河南驻马店市·高一期末）已知集合满足，则符合条件的集合有______个．高频考点5.利用集合间的关系求参数【方法点拨】(1)弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；(2)将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围．①当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．②当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．(3)看集合中是否含有参数，若含参数，应考虑参数使该集合为空集的情形；【例5】（2021·西安市经开第一中学高三模拟）集合或，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【变式5-1】（2021·上海虹口区·高一期末）若集合，，且，则满足条件的实数的取值集合为______.【变式5-2】（2021·浙江高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【变式5-3】（2021·霞浦县宏翔高级中学高一月考）已知集合.（1）若，，求实数m的取值范围；（2）若，，求实数m的取值范围；【变式5-4】（2021•荔湾区高一期中）已知不等式x2﹣（a+1）x+a≤0的解集为A．（1）若a＝2，求集合A；（2）若集合A是集合{x|﹣4≤x≤2}的真子集，求实数a的取值范围．高频考点6.集合间关系中的新定义问题【方法点拨】【例6】（2021·福清西山学校高二月考）若对任意的，则，就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为___________.【变式6-1】（2021·浙江高一课时练习）已知集合满足或为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当时，与为集合A的同一种分拆，则集合的不同分拆的种数是（）.A．27 B．26 C．9 D．8【变式6-2】（2021•山东期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为．QUOTE【变式6-3】（2021•如皋市校级月考）对于任意两个数x，y（x，y∈N*），定义某种运算“◎”如下：①当或时，x◎y＝x+y；②当时，x◎y＝xy．则集合A＝{（x，y）|x◎y＝10}的子集个数是（）A．214个 B．213个 C．211个 D．27个【变式6-4】（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）设集合，若非空集合满足：①；②（其中表示集合中元素的个数，表示集合中的最小元素），则称为的一个好子集，的所有好子集的个数为____________.易错点1.误解集合间的关系而致错【方法点拨】判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等、不等关系，但有时也可能为属于关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两集合中元素之间的关系是什么．【例1】已知集合，，若，则等于（）A．或3 B．0或 C．3 D．【变式1】设，，，则A，B的关系是________.【变式2】已知集合，，则集合与集合的关系是__________．数学思想1.分类讨论思想的应用【方法点拨】分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行．1．两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均一致，则两集合相等．【例1】集合，，若，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【变式1】已知集合，，求满足的实数的取值范围.【变式2】已知集合，是否存在实数a，使得.若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.【课后训练】全卷共22题满分：150分时间：120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2021•东湖区高一期中）下列各式：①{a}⊆{a}②Ø⫋{0}③0⊆{0}④{1，3}⫋{3，4}，其中正确的有（）A．② B．①② C．①②③ D．①③④2．（2021·凌海市第三高级中学高二月考）下列集合中表示同一集合的是（）A．， B．，C．， D．，3．（2021·陕西西安市·西安一中高一月考）设集合，则集合的关系为（）A． B． C． D．4．（2020·山东省莱州一中高二月考）设，，集合满足（都是真包含），这样的集合有（）A．12个 B．14个 C．13个 D．以上都错5．（2021·浙江高三专题练习）已知集合，则的真子集个数为（）A．7 B．8 C．255 D．2566．（2021·河北石家庄市·高三二模）已知集合，，（，），若，则（）A． B．2 C． D．17．（2021·全国高三专题练习）已知集合，集合，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．8．（2021·浙江高三三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2021·石家庄市高一月考）已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值是（）A． B． C． D．10．（2021·广东汕尾市·高一期末）已知集合，且，则实数的取值可以为（）A． B．0 C．1 D．211．（2021·广东湛江市·高三二模）已知集合，，则下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若时，则或12．（2021·深圳第二外国语学校高一开学考试）若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则xy，，且当时，，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是（）A．整数集是“紧密集合”B．实数集是“紧密集合”C．“紧密集合”可以是有限集D．若集合A是“紧密集合”，且x，，则三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2020·江苏高一课时练习）已知集合，若，则实数a的取值范围为___．14．（2021·上海黄浦区·格致中学高一期中）定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”.已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有_____个.15．（2021·河北石家庄市·高一月考）已知，若，则适合条件的实数m的集合P为________，P的子集有______个；P的非空真子集有________个．16．（2