2026年算法设计与分析知识竞赛题库及答案

2026年算法设计与分析知识竞赛题库及答案一、单项选择题（每题2分，共30分）1.在分治算法中，若子问题规模缩减为原规模的1/4，合并代价为Θ(n²)，则总时间复杂度为A.Θ(n²logn) B.Θ(n²) C.Θ(nlogn) D.Θ(n³)答案：A解析：T(n)=4T(n/4)+Θ(n²)，由主定理Case3得T(n)=Θ(n²logn)。2.对n个互不相同的整数排序，基于比较的算法最坏情况下比较次数下界为A.Θ(n) B.Θ(nlogn) C.Θ(n²) D.Θ(logn)答案：B解析：决策树模型证明任何比较排序需Ω(nlogn)次比较。3.下列哪项不是动态规划的必要条件A.最优子结构 B.无后效性 C.贪心选择性质 D.重叠子问题答案：C解析：贪心选择性质是贪心算法的特征，非DP必需。4.在最大流问题中，Edmonds-Karp算法每次增广采用A.DFS B.BFS C.最大容量路径 D.随机路径答案：B解析：Edmonds-Karp用BFS找最短增广路，时间复杂度O(VE²)。5.对含负权边但无负环的图，求单源最短路径应选A.Dijkstra B.Bellman-Ford C.Prim D.Kruskal答案：B解析：Bellman-Ford可处理负权边并检测负环。6.快速排序在数组已升序排列时，若枢轴选首元素，时间复杂度为A.Θ(nlogn) B.Θ(n) C.Θ(n²) D.Θ(logn)答案：C解析：划分极度不平衡，退化为冒泡排序。7.0/1背包问题中，若物品重量与价值均≤W，则空间优化后的DP数组维度为A.O(nW) B.O(W) C.O(n) D.O(n²)答案：B解析：滚动数组可将二维压为一维，仅保留容量维度。8.对n元素堆执行delete-min后，调整堆的交换次数最坏为A.Θ(1) B.Θ(logn) C.Θ(n) D.Θ(nlogn)答案：B解析：堆高⌊logn⌋，下沉操作最多交换logn次。9.在字符串匹配中，KMP预处理next数组时间复杂度为A.Θ(m²) B.Θ(m) C.Θ(n) D.Θ(n+m)答案：B解析：next数组仅与模式串长度m相关，线性扫描。10.对稠密图(V²≈E)，求最小生成树最快算法为A.Kruskal B.Prim(二叉堆) C.Prim(斐波那契堆) D.Borůvka答案：C解析：Prim+Fibonacci堆复杂度O(E+VlogV)，稠密图优于Kruskal的O(ElogV)。11.下列关于NP问题的说法正确的是A.所有NP问题均有多项式算法 B.NP完全问题至少与NP中任何问题一样难 C.P=NP已获证明 D.NP问题不能在指数时间求解答案：B解析：NP完全问题具有“最难”性质，可归约所有NP问题。12.在随机化快速排序中，期望比较次数为A.Θ(n²) B.Θ(nlogn) C.Θ(n) D.Θ(logn)答案：B解析：随机枢轴使划分平衡，期望递归深度O(logn)。13.对n×n矩阵链乘法，最优括号化方案数为A.2^(n-1) B.C_{n-1}（卡特兰数） C.n! D.n²答案：B解析：方案数等于第n-1个卡特兰数。14.在二分图最大匹配中，Hopcroft-Karp算法每轮找A.一条增广路 B.最短增广路集 C.最长增广路 D.随机增广路答案：B解析：每轮用BFS分层后一次找多条不相交最短增广路。15.对n元素数组，求第k小元素，期望线性时间算法为A.堆排序 B.快速选择 C.归并排序 D.计数排序答案：B解析：快速选择平均O(n)，最坏O(n²)但可优化为确定线性。二、多项选择题（每题3分，共15分）16.下列哪些操作可使二叉搜索树保持O(logn)高度A.红黑树插入 B.AVL树删除 C.Treap随机优先级 D.链表式插入答案：ABC解析：红黑、AVL、Treap均带平衡机制；链表式插入导致退化。17.关于分治算法，正确的是A.子问题必须独立 B.子问题可重叠 C.合并步骤可能占主导 D.递归树深度必为O(logn)答案：AC解析：分治要求子问题独立；合并代价可主导，如Strassen矩阵乘。18.下列哪些问题存在多项式时间近似方案(PTAS)A.0/1背包 B.欧几里得TSP C.顶点覆盖 D.集合覆盖答案：AB解析：0/1背包与欧几里得TSP存在PTAS；顶点覆盖无PTAS除非P=NP。19.在流网络中，下列哪些等于最大流值A.最小割容量 B.源点出边容量和 C.汇点入边容量和 D.任意s-t割容量答案：A解析：最大流最小割定理仅保证等于最小割容量。20.下列哪些排序算法是稳定排序A.归并排序 B.堆排序 C.计数排序 D.快速排序(原始)答案：AC解析：归并与计数排序稳定；堆排与原始快排不稳定。三、填空题（每空2分，共20分）21.对n元素进行二分查找，最坏比较次数为________。答案：⌈log₂(n+1)⌉解析：决策树高度。22.Floyd-Warshall算法中，状态转移方程为d_{ij}^{(k)}=min(d_{ij}^{(k-1)},________________)。答案：d_{ik}^{(k-1)}+d_{kj}^{(k-1)}解析：允许经过节点k松弛。23.对长度为m的模式串，KMP算法中next[j]表示________________________。答案：模式串前缀s[0…j]的最长真前缀同时也是真后缀的长度。24.在并查集按秩合并与路径压缩下，m次操作最坏时间复杂度为________。答案：O(mα(n))解析：α为反阿克曼函数，近乎常数。25.对n元素数组，构建最大堆的Floyd建堆法交换次数上界为________。答案：2n解析：下沉总代价线性，tighter分析得≤2n。26.对n顶点平面图，其最小顶点覆盖大小不超过________。答案：⌊n/2⌋解析：平面图四色定理可推导。27.在随机化最小割算法中，重复运行________次可将成功概率提升至1−1/n²。答案：n²logn解析：单次成功概率≥2/(n(n−1))，独立重复。28.对n×n整数矩阵，计算行列式使用Bareiss算法时间复杂度为________。答案：O(n³)解析：整数保持无分数，位复杂度略增但算术步数立方。29.对n元素集合，求第k小元素，最坏线性时间算法中分组大小选________。答案：5解析：Blum-Floyd-Pratt-Rivest-Tarjan算法用5分组保证线性。30.在字符串后缀数组构建中，DC3算法递归规模缩减为________。答案：2n/3解析：仅对模≠0位置递归，规模2/3。四、算法设计题（每题10分，共30分）31.最长递增子序列(LIS)给定整数数组A[1…n]，设计O(nlogn)算法输出LIS长度及任意一条LIS。答案：维护数组d[i]表示长度为i的LIS最小末尾。遍历A[j]时，在d中用二分查找找到第一个≥A[j]的位置k，更新d[k]=A[j]，并记录前驱指针prev[j]。最后d的长度即LIS长度，沿prev回溯即可重构序列。解析：d单调增，二分O(logn)，总复杂度O(nlogn)。32.带权区间调度给定n个区间[si,fi)及权重wi，求互不重叠子集使总权重最大。设计O(nlogn)算法。答案：按fi排序。设dp[i]表示前i个区间最优值。转移：dp[i]=max(dp[i−1],dp[p(i)]+wi)，其中p(i)为最大的j使fj≤si。用二分求p(i)，总复杂度O(nlogn)。解析：p(i)可预计算，DP即完成。33.最小费用最大流在网络G=(V,E,c,w)中，c为容量，w为单位费用，求s-t最大流且总费用最小。设计多项式算法。答案：SuccessiveShortestAugmentingPath算法：1.初始流0，残余图Gr。2.在Gr中按费用w找最短增广路（Bellman-Ford处理负权）。3.沿路径增广最小残余容量。4.重复直至无法增广。使用potentials与Dijkstra可优化至O(F·(E+VlogV))，其中F为最大流值。解析：负权用势函数消去，保证非负。五、证明与推导题（每题10分，共20分）34.证明：对任意比较排序算法，决策树高度至少为log₂(n!)。答案：n个元素排列共n!种可能结果，决策树需含≥n!叶节点。二叉树高h满足2^h≥叶数，故h≥log₂(n!)。由斯特林公式log₂(n!)=nlog₂n−nlog₂e+O(logn)=Ω(nlogn)。35.证明：最大流最小割定理，即最大流值等于最小割容量。答案：(⇒)对任意s-t割(S,T)，流值=出割流−入割流≤出割容量，故最大流≤最小割。(⇐)设f为最大流，残余图无s-t路径。令S为s在残余图可达顶点集，T=V\S。对任意u∈S,v∈T，若(u,v)∈E则f(u,v)=c(u,v)，若(v,u)∈E则f(v,u)=0。于是流值=Σ_{u∈S,v∈T}c(u,v)=割(S,T)容量，故最大流≥最小割。综上相等。六、综合应用题（15分）36.城市应急配送某岛有n个居民点，m条双向道路，长度为正整数。现需在k个候选点中选p个建应急仓库，使得最坏情况下居民点到最近仓库的