山东省泰安市2025-2026学年高一上学期期末数学试题（试卷+解析）

山东省泰安市2025-2026学年高一上学期期末数学试题2026.02注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B.C. D.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知角的终边过点且，则（）A.3 B.4 C. D.4.已知函数，则（）A.7 B.8 C.9 D.105.设，则（）A. B. C. D.6.已知且，则的最小值为（）A B. C. D.7.下列命题正确的是（）A.函数的定义域为；B.在上是减函数；C.已知函数是奇函数，则；D.函数的最大值为.8.已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若且，则10.已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（）A.的图象关于直线对称B.C.若，，则D.将函数图象向左平移个单位长度可得到的图象11.已知函数对任意，总有，当时，，若，则下列选项正确的是（）A. B.为奇函数C. D.在上的最小值为-6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数幂函数，则_________.13.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________.14.已知函数在上恰有奇数个零点，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数的定义域为集合，集合.（1）求；（2）若集合，求实数的取值范围.16已知.（1）求的值；（2）若为锐角，求的值.17.已知函数.（1）根据定义研究的单调性；（2）若，求实数的取值范围.18.在高等数学中，将四个数按照一定顺序排成两行两列（横排称行，竖排称列）的数表，表达式称为此数表的二阶行列式，并记作，即．已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若函数在上是减函数，求取值范围；（3）已知函数在上的最大值为2，求实数的值.19.已知函数且.（1）求实数的值；（2）若，对任意都有恒成立，求实数的取值范围；（3）已知且，设，且，问是否存在实数，使得函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.山东省泰安市2025-2026学年高一上学期期末数学试题2026.02注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用集合交集的定义与运算，即可求解.【详解】由集合，可得.故选：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用对数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由，可得，此时成立，所以充分性成立；反之：若，可得，但不一定成立，所以必要性不成立，所以是的充分不必要条件.故选：A.3.已知角的终边过点且，则（）A.3 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解.【详解】角的终边过点且，所以且，解得.故选：B.4.已知函数，则（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】D【解析】【分析】根据分段函数解析式直接计算即可.【详解】因为，所以，因为，所以，故.故选：D5.设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的性质，分别求得的范围，即可求解.【详解】由对数函数的性质，可得，又由，，所以，，所以.故选：A.6.已知且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】展开后，利用基本不等式求解即可.【详解】因为且，所以，时等号成立，所以的最小值为，故选B.本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.7.下列命题正确的是（）A.函数的定义域为；B.在上是减函数；C.已知函数是奇函数，则；D.函数最大值为.【答案】C【解析】【分析】根据的解析式有意义，列出不等式组，求得的定义域，可判断A错误；根据反比例函数的性质，可判定B错误；根据为奇函数，求得的解析式，可得判定C正确；利用基本不等式，求得的最大值为，可判定D错误.【详解】对于A，函数有意义，则满足，解得且，所以函数的定义域为，所以A不正确；对于B，由函数，可得在，上是减函数，所以B不正确；对于C，由，当时，可得，则，因为为奇函数，，所以当时，，所以C正确；对于D，因为，所以，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的最大值为，所以D错误.故选：C.8.已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，根据题意，转化为是函数的子集，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【详解】因为对任意实数，总存在实数，使得，所以函数的值域为，设，则满足是函数值域的子集，当时，，此时的值域为，符合题意；当时，则满足，解得，综上可得：实数的取值范围是.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若且，则【答案】AC【解析】【分析】根据题意，利用对数函数的单调性，以及作差比较法和不等式的基本性质，逐项分析判断，即可求解.【详解】对于A，因为为递增函数，由，可得，所以A正确；对于B，由，因为，可得，但的符号不确定，所以B错误；对于C，由，因为，可得，所以，所以，所以C正确；对于D，由，因为且，可得，所以，即，所以D不正确.故选：AC.10.已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（）A.的图象关于直线对称B.C.若，，则D.将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象【答案】ABD【解析】【分析】根据周期性求出，再由求出，最后由求出，即可得到函数解析式，从而结合正弦函数的性质一一判断即可.【详解】由图可知，解得，又，所以，解得，又，所以，则，又，解得，所以；对于A：因为，所以的图象关于直线对称，故A正确；对于B：，故B正确；对于C：令，即，所以或，解得或，因为，，所以，故C错误；对于D：将函数的图象向左平移个单位长度可得到，故D正确.故选：ABD11.已知函数对任意，总有，当时，，若，则下列选项正确的是（）A. B.为奇函数C. D.在上的最小值为-6【答案】BCD【解析】【分析】令，得到，再令，求得，令，求得，可判定A错误；令，结合奇偶性的定义，可判定B正确；令，得到，递推得到，，进而推得，可判断C正确；根据单调性的定义，证得在上为减函数，得到在上的最小值为，结合递推关系，求得的值，可判定D正确.【详解】对于A，令，可得，可得，令，可得，即，因为，令，可得，所以，令，可得，所以，所以A错误；对于B，令，则，因为，所以，所以函数奇函数，即为奇函数，所以B正确；对于C，令，可得，即（*），由，可得，将（*）代入上式，整理得（**），又由，可得，将（**）代入上式，整理得，所以C正确；对于D，设且，则，因为当时，，所以，又由，则，即，所以函数在上为减函数，所以在上的最小值为，则，因为，所以，所以D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数是幂函数，则_________.【答案】8【解析】【分析】根据幂函数的定义求出参数，得到函数解析式再求值即得.【详解】函数是幂函数，∴所以.故答案为：.13.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数在各段上单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可.【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得，即实数的取值范围为.故答案为：14.已知函数在上恰有奇数个零点，则__________.【答案】【解析】【分析】令，转化为，由，得到方程有两个不同的实数根和，不妨设，设为在内的零点个数，为在上的零点个数，得到的零点总个数为，分类讨论，即可求解.【详解】由函数的零点，即为的解，令，转化为二次方程，因为，所以方程有两个不同的实数根和，且，不妨设，又因为函数的最小正周期为，区间的长度为，即个最小正周期，设为在内的零点个数，为在上的零点个数，则的零点总个数为，且为奇数，当时，此时，在内，有2个解，且均在上，有2个解，且均在上，所以，可得，不符合题意，舍去；当时，，在内，有1个解，且，在有2个解，且均在上，所以，可得，不符合题意，舍去；当时，，在内，无解，在有2个解，且都在区间上，所以，可得，不符合题意，舍去；当时，，在内，有2个解，有1个解，且为，所以，可得，符合题意；当时，，在内，有2解，且均在上，无解，所以，可得，不符合题意，舍去，综上可得，实数的值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数的定义域为集合，集合.（1）求；（2）若集合，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据函数定义域可得集合，解分式不等式可解集合，根据集合交集、并集、补集的概念计算即可求解；（2）根据集合的包含关系，分，两种情况求解即可.【小问1详解】由得，所以函数定义域为，即集合，因为等价于，即，则，解得，所以集合，所以，因为，所以；【小问2详解】若，得，解得，此时满足，符合题意；若，要使，则，解得；综上，实数的取值范围是.16.已知.（1）求的值；（2）若为锐角，求的值.【答案】（1）；.（2）【解析】【分析】（1）根据题意，求得，利用正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，先求得的值，进而求得的值；（2）求得，得到，结合，利用两角差正弦公式，即可求解.【小问1详解】因为，可得，又因为，所以，所以，，所以.【小问2详解】因为，且为锐角，可得，又因为，可得，所以.17.已知函数.（1）根据定义研究的单调性；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）函数在区间上单调递减，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义结合作差法即可判断；（2）根据函数单调性及定义域结合函数奇偶性列不等式计算即可求解【小问1详解】设，且，，因，且，所以，所以，即，所以函数在区间上单调递减；【小问2详解】因为函数定义域为关于原点对称，，所以函数是定义在上的奇函数，所以，得，由（1）可得，解得，即，所以实数的取值范围是.18.在高等数学中，将四个数按照一定顺序排成两行两列（横排称行，竖排称列）的数表，表达式称为此数表的二阶行列式，并记作，即．已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若函数在上是减函数，求的取值范围；（3）已知函数在上的最大值为2，求实数的值.【答案】（1）（2）（3）或.【解析】【分析】（1）根据题意，化简函数，结合最小正周期的公式，即可求解；（2）由（1）得，利用正弦型函数的性质，结合题意，列出不等式组，即可求解；（3）由（1）化简得到，令，转化为，结合二次函数的性质，分类讨论，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：由，，所以函数的最小正周期为.【小问2详解】解：由（1）知：，则，令，解得，因为在上是减函数，所以，当时，，则有，解得，因为，所以，即的取值范围为.【小问3详解】解：由（1）知：，可得，且所以，令，则，因为，可得，所以，所以，可得函数的图像开口向下，对称轴为，当时，即时，，由，解得，不合题意，舍去；当时，即时，，由，可得，解得或，所以；当时，即时，，由，解得，综上可得，实数的值为或.19.已知函数且.（1）求实数的值；（2）若，对任意都有恒成立，求实数的取值范围；（3）已知且，设，且，问是否存在实数，使得函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（