安徽皖中名校2025-2026学年第一学期高二期末检测试题数学试题含答案

2025-2026学年第一学期高二年级期末检测数学参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x+3y2=0的倾斜角为()【答案】C【解析】【分析】本题考查了直线的倾斜角与斜率的问题，是基础题．由直线方程求出直线的斜率，即得倾斜角的正切值，从而求出倾斜角．故直线斜率k=tan故选：C．A.0B.2C.1D.2【答案】D【解析】【分析】本题考查空间向量共面定理，是基础题．【解答】又动点Q在△ABC所在平面内运动，故选D．3.在等比数列{an}中，a2+a3=1，a3+a4=2，则a4+a5=()【答案】A4.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x一3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()【答案】A【解析】【分析】本题主要考查与双曲线有关的轨迹问题，考查圆与圆的位置关系，属于基础题．设动圆圆心M的坐标为(x,y)，半径为r，由题意可得|MC2|一|MC1|=2<|C1C2|，可得点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的左支．根据2a=2，c=3，求得b=c2一a2的值，可得点M的轨迹方程．【解答】解：设动圆圆心M的坐标为(x,y)，半径为r，故点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的左支，故点M的轨迹方程为x2一故选：A．5.若函数f(x)，g(x)满足f(x)+xg(x)=x2一1，且f(1)=1，则f′(1)+g′(1)=()【答案】C【解析】【分析】本题考查了已知函数求值的方法，基本初等函数和积的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．根据f(1)=1即可求出g(1)=一1，然后对函数f(x)+xg(x)=x2一1求导即可得出f′(x)+g(x)+xg′(x)=2x，然后即可求出f′(1)+g′(1)的值．【解答】解：”f(1)=1，令x=1代入f(x)+xg(x)=x2一1中，即f(1)+g(1)=0，解得g(1)=一1，”f(x)+xg(x)=x2一1，:f′(x)+g(x)+xg′(x)=2x，令x=1，:f′(1)+g(1)+g′(1)=2，故选C．6.已知向量=(2,0,1)为平面α的法向量，点A(—1,2,1)在α内，则点P(1,2,2)到平面α的距离为()A.5B.25CD.【答案】A【解析】【分析】此题考查利用向量求点到面的距离．直接利用点到面的距离的向量求法求解即可．【解答】因为平面α的法向量=(2,0,1)，所以点P到平面α的距离d故选：A7.设F1，F2是双曲线C:x2—=1的两个焦点，0为坐标原点，点P在C上且|0P|=2，则△PF1F2的面积为()【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的定义、圆的性质，属一般题．根据双曲线的标准方程得到其焦点坐标，结合0P=2，可确定点P在以F1F2为直径的圆上，得到PF12+PF22=16，结合双曲线的定义可得PF1.PF2的值，从而得到答案．【解答】解：由双曲线的标准方程可得a=1,b=3，c=2，所以焦点坐标为F1(—2,0,F22,0)，因为0P=2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，:PF12+PF22=16，2“PF1—PF2=2a=2，所以PF1—PF2=PF12+PF22—2PF1.PF2=4，所以PF1.PF2=6，所以直角三角形PF1F2面积为|PF1|.|PF2|=3，2故选B．*则实数λ的取值范围是()A.(,+∞)B.(,+∞)C.(,+∞)D.(1,+∞)【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的判定与证明，数列的递推关系，数列的函数特征，利用导数研究函数的单调性的应用，属于较难题．根据已知及等差数列的判定与证明，可知}是公差为的等差数列，根据数列的递推关系，数列的函数特征的计算，得结合对勾函数的单调性，计算求出实数λ的取值范围．:=，即:{}是公差为的等差数列，对于n]上单调递减，[2,+∞)上单调递增，:n+的最小值只能在n=1或n=2处取得，:n，即实数λ的取值范围是(,+∞).故选B．二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法错误的是()A.“a=1”是“直线a2xy+1=0与直线xay2=0互相垂直”的充要条件B.直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是[0,]∪[,π)C.过(x1,y1)，(x2,y2)两点的所有直线的方程为—=—D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y—2=0【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了直线的方程，直线垂直的充要条件，直线的倾斜角和斜率之间的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．直接利用直线的垂直的充要条件和直线的倾斜角和斜率之间的关系，直线的两点式的使用条件和直线截距相等的直线方程的应用判定A、B、C、D的结论．【解答】故“a=1”是“直线a2xy+1=0与直线xay2=0互相垂直”的充分不必要条件，故A错误．所以倾斜角θ的取值范围是[0,]∪[,π)，故B正确；对于C：过(x1,y1)，(x2,y2)(且x1≠x2，y1≠y2)两点的所有直线的方程为故C错误．对于D：经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为：①：经过原点的直线为x—y=0，②设在坐标轴上的截距为a，设直线方程为+=1，10.如图，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，过A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为P，Q.则下列说法正确的有()B.若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1y2为定值p2C.|PQ|2=4|AF||BF|D.以线段AF为直径的圆与y轴相切【答案】ACD【解析】【分析】本题考查抛物线的定义、几何性质、直线与抛物线的位置关系，属中档题．A选项利用直线方程与抛物线方程联立，即可得到答案；B选项利用直线方程与抛物线联立，通过韦达定理得出答案；C选项利用直线与抛物线联立，分别利用韦达定理求出等式左边和右边，证出相等；D选项通过焦半径长，直线与圆位置关系得出相切．【解答】解：A.由题意，F(,0)，AB丄x轴，AB直线为x=，代入抛物线y2=2px(p>0为常数)，得到y1=p,y2=—p，|AB|=2p，所以A正确;B.设直线l的方程为x=my设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以|PQ|2=4|AF||BF|，所以C正确;D.设AF的中点为M，则M是以线段AF为直径的圆的圆心．由|AF|=x1+，所以圆的半径为r=+，则M的坐标为+,，M到Y轴的距离为dr，即M到Y轴的距离等于以线段AF为直径的圆的半径，故以线段AF为直径的圆与Y轴相切，所以D正确．11.对于函数f下列说法正确的是()A.f(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减B.若方程f(|x|)=k有4个不等的实根，则k>eC.当0<x1<x2<1时，x1lnx2D.设g(x)=x2+a，若对vx1∈R，彐x2∈(1,+∞)，使得g(x1)=f(x2)成立，则a≥e【答案】BD【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．逐一判断即可．【解答】解：函数fx∈(0,1)U(1,+∞)．可得函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增．f(x)大致图象如图，A.由上述分析可得A不正确．B.若方程f(|x|)=k有4个不等的实根，则x>0，且x≠1时，f(x)=k有2个不等的实根，则k>e，因此正确．可得函数y=在x∈(0,1)单调递增，因此当0<x1<x2<1时，<，即x1lnx2>x2lnx1，因此不正确；g(x)=x2+a，对∀x∈R，G=[a,+∞)．故选BD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。【答案】x一2y+5=0【解析】解：由已知得直线的方程为一=，即x一2y+5=0．故答案为：x一2y+5=0．2f(x)sinx<f()的解集为．【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的求解，属于中档题．结合条件构造函数F(x)=f(x)sinx，结合导数判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式即可．【解答】解：由题意，函数f(x)满足f′(x)sinx+f(x)cosx<0，令F(x)=f(x)sinx，由于sinx>0，关于x的不等式2f(x)sinx<f()可化为F(x)<F()，故答案为,π14.已知F是双曲线C:—=1(a>0,b>0)的左焦点，P是双曲线C右支上的一点，直线PF与圆x2+y2=则双曲线C的离心率是．【答案】因为直线PF与圆x2+y2=a2切于点Q，所以|0Q|=a，0Q丄FP，设双曲线C的右焦点为F′，′,,2|0P|.|0F|,,所以+|0P|2+|0F|2—|,PF|22|0P|.|0F|所以|0F|2+|0F|2+2|0P|2—|FP|2—|PF|2=0，又|0F|=|0F|=c，|0P|=a2+16b2，|FP|=5b，|PF|=5b—所以则双曲线C的离心率e由0Q丄FP，|F0|=F′0，可知0Q为△FMF′的中位线，4故答案为：41．4三、解答题（本题共5小题，共77分）15.已知正项数列{an}满足nlnan+1=(n+1)lnan且a1=3，(1)求数列{an}的通项公式；设bn数列{bn}的前n项和为Sn.【答案】【答案】(1)an=3n【分析】（1）根据常数列的性质进行求解即可；（2）利用放缩法，结合等比数列前n项和公式、题中定义进行求解即可.所以ln3，所以lnan=nln3=ln3n，所以an=3n；………5分n一………13分16.已知圆C的圆心在直线y=2x上，并且经过点P(5,5)，与直线y=7相切,直线(1)求圆C的方程；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长及此时何m的值．【详解】（1）由题意可设圆C的圆心为{a,2a}，圆C与直线y=7相切，且过点P(5,5)，|2a7|=(a5)2+(2a5)2，整理得a22a+1=0解得a=1，:圆心c(1,2)，:半径r=|Pc|=5，:圆C的方程为：(x—1)2+(y—2)2=25.………5分所以当所以当x=2,y=3时，无论m取何值，方程(2m+1)x+(m+1)y-7m-5=0都成立.所以直线所以直线l恒过定点A(2,3).………10分如图，当圆心C到直线l的距离最长，即CA丄l时，直线l被圆C截得的弦长最短.因为kCA所以当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的斜率为-1，故当CA丄l时，直线l被圆C截得的弦长最短，最短弦长为2最短弦长为223，此时m=0.………15分17.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记第12页，共16页(1)求MN的长；并求当a为何值时，MN长度取得最小值；(2)当MN的长取得最小值，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．过点M作MG丄AB于点G，连接NG，因为平面ABCD丄平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB，MG平面ABCD，所以MG所以MG丄平面ABEF，因为因为NG平面ABEF，因为正方形边长为因为正方形边长为2，CM=BN=a，222-2当a=·时，MN长度取得最小值.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分【法二】因为四边形ABEF为正方形，所以BE丄AB，由（1）知BC丄BE，BC丄AB，所以以点B为坐标原点，分别以BA,BC,BE为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系（如图则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,0,2),E(0,2,0),F(2,2,0),D(2,0,2),第13页，共16页因为正方形因为正方形ABCD，ABEF的边长都是2，所以AC=BF=22，所以所以2-22a所以⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分所以当所以当当点M，N为AC，BF中点时MN的长最小，取MN中点H，连接AH，BH，AN，BM，因为ABCD，ABEF为正方形，点M，N为AC，BF中点，所以AM=AN=BM=BN，因为H为MN中点，所以AH丄MN，BH丄MN，因为平面MNA平面MNB=MN，所以上AHB为平面MNA与平面MNB的夹角或其补角，.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分所以平面所以平面MNA与平面MNB夹角的余弦值为【法二】【法二】 因为MN取最小时，a=2，所以M(1,0,1)，N(1,1,0)，设平面MNE的法向量为m=(x1,y1,z1)，第14页，共16页设平面MNB的法向量为n=(x2,y2,z2)，设平面MNE与平面MNB夹角为θ,所以cos即平面MNE与平面MNB夹角的余弦值为.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分18．已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，过点F且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长为3.(1)求椭圆E的标准方程；(2)(2)过点B(1,0)作直线l交椭圆E于M,N两点，且点M位于x轴上方，设点N关于x轴的对称点为N1，求△BMN1面积的最大值．【答案】 且易知椭圆E过点(1,)，把点(1,)代入椭圆标准方程得解得a2=4或a2=（舍所以a2=4,b2=3，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（2）依题意，直线l不垂直于坐标轴，设直线l方程为x=ty+1，t≠0，设点N(x1,y1),M(x2,y2),y2>0，则N1(x1,—y1)，|NN1|=—2y1，第15页，共16页由由消去x得y1+yy1y⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分所以SBMN1=|SMNN1-SBNNNN1||x2-xNN1||1-x1|=2y1x2-1=(-2y1)|x2-1|=-y1|ty2+1-1|23.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分=-y1y2|t