浙江省温州市2025-2026学年高二上学期1月期数学试题A（含答案）

2025学年第一学期高二期末质量评价题库

数学(A类)

本题库共4页，19小题，建议做题时间120分钟.

答题须知：

1.答题前，务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、题库答题卡号填写在答题卡上.将

条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在题库上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以

上要求作答的答案无效.

4.必须保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破.

选择题部分(共58分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知空间向量a=AB,b=CB,c=CD,则AD=(▲)

A.a+b+cB.a+b-cC.a-b+cD.a-b-c

2.在平面直角坐标系中，已知直线AB的斜率为则直线AB的方向向量是(▲)

A.(2,-1)B.(1,-2)C.(2,1)D.(1,2)

3.下列函数求导正确的是(▲)

A.y=π²,y′=2πB.y=1gx,

C.D.y=tanx,

4.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则m-n=(▲)

A.2B.4C.6D.8

5.在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为平面A₁ABB₁的中心，则点O到直线AC的距

离为(▲)

A.1B.C.√2D.√6

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6.设双曲线的右焦点为F,过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为A,

AF交另一条渐近线于点B,则

A.B.C.2D.3

7.已知函数f(x)=x-3sinx的极小值点为a,(i=1,2,3,…),且点(a,,f(a,)(i=1,2,3,…)落在

同一条直线上，则该直线的方程为(▲)

A.y=x-2√2B.y=x+2√2C.y=-x-2√2D.y=-x+2√2

8.无穷数列{a,}满足a+1-an=an+1an,有且仅有2025个正整数n,使得a₁a₂+a₂a₃+…+anan+1>0,

记[x]是不大于实数x的最大整数，则的值为(▲)

A.-2026B.-2025C.2025D.2026

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线1:mx+y-2=0和圆0:x²+y²=1,下列说法正确的有(▲)

A.直线1过定点(0,2)B.圆O上存在两个点关于1对称

C.圆心O到1的最大距离为2D.圆O上至少存在三个点到I的距离相等

10.已知数列{an},{b,}满足bₙ=anan+1,且{bₙ}为递增数列，下列说法正确的有(▲)

A.若{an}为等比数列，则公比可能大于1

B.若{an}为等比数列，则公比可能小于-1

C.若{an}为等差数列且a>0,则公差可能小于0

D.若{a,}为等差数列且a₂>0,则公差一定大于0

11.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,过F的直线l交C于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点，AP⊥x

轴，垂足为P,Q是P关于原点的对称点，∠AFQ的平分线交V轴于点E,则(▲)

A.y1y₂=-4B.直线QB与抛物线始终有两个公共点

C.|oQ|,|OE|,|OF|成等比数列D.存在直线l使得S四边形APFE=2S△EFQ

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非选择题部分(共92分)

三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分，把答案填在题中的横线上.

12.已知等比数列{a,}满足a₂=-a₃=2,则{a。}的前8项和为▲

13.若函数f(x)=e-mln(x+2)在[-1,1]上单调递增，则m的最大值

是_▲_

14.已知四棱锥P-ABCD,PC⊥平面ABCD,CD//AB,BC⊥AB,

,点G为△PAD内部一点，Vp-GBC=VA-GBC,

点M为直线BC上一点，则直线MG与PC所成角的正弦值的最

第14题图

小值为▲_·

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，

平面ABC工平面AA₁C₁C.

(1)证明：A₁C⊥平面ABC;

(2)求平面AB₁C₁与平面A₁BC所成角的余弦值.A

B

第15题图

16.(本小题满分15分)已知圆C的圆心在直线l:3x-y-5=0上，直线l2₂:x-y+1=0与圆C

相切于点P(-1,0).

(1)求圆C的方程；

(2)若直线l与直线l₂交于点Q,求△CPQ的外接圆与圆C的公共弦长.

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17.(本小题满分15分)已知数列{a,}的前n项和为Sn,满足an+Sₙ=2.

(1)求{a。}的通项公式；

(2)若a。是关于x的方程x²-nx+bₙ=0的根，求{b。}的前n项和Tₙ.

18.(本小题满分17分)将上下底面都为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.已知

椭圆柱00₁的母线长为3,在下底面建立如图所示的平面直角坐标系，椭圆O的离心率为

短轴长为2√3,焦点在x轴上.

(1)求椭圆O的标准方程；

(2)已知P为椭圆O上任意一点，OP的中点为M,AB是以点M为中点的弦，设直线AB

的方程为y=kx+m.

(i)求m与k的等量关系；

(ii)求点O到平面ABO₁的距离的最小值.

第18题图

19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=e-1,其中常数k∈R,a≥1.

(1)当a=1时，y=g(x)是y=f(x)图象的一条切线，求k;

(2)当k=1时，Vx>0,有f(x)≥g(x),求a的最大值；

(3)3s,t>1,使得f(s)=g(t),且请判断s与t的大小.

数学第4页(共4页)

1-4CADB5-8BBAC9.AC10.ACD11.ACD

12.0

15.(1)

∵平面ABC1平面AA₁C₁C,平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC,A₁Cc平面AA₁C₁C,

∴A₁C⊥平面ABC

(2)(坐标法)如图，建立空间直角坐标系

A(1,0.0),B(0,1,0),4(0,0,√3),B(-1,1,√3),C₁(-1,0,√3),

设平面AB₁C₁的法向量n=(x,y,z),

平面A₁BC的法向量m=(x,y,z'),显然m=(1,0,0),

设《平面AB₁C₁,平面ABC)=θ,

16.

16解：(1)设圆心C(a,3a-5),由CP⊥l得，,求出a=1,圆心C(1,-2)

r=|CP|=√(1+1²+(-2-0)²=2√2,

得圆的方程(x-1)²+(y+2)²=8(或x²+y²-2x+4y-3=0).

(2)

解：联立直线,得Q(3,4)

△CPQ的外接圆以CQ为直径，圆心(2,1),ri=√10,外接圆方程(x-2)²+(y-1)²=10.

,两圆相减得两圆公共弦方程即为x+3y+1=0,

圆心C到公共弦的距离

17.

(1)因为a₁+S₁=2a₁=2,所以a=1,................2

因为an+S=an+1+Sn+1,所以................2(有两式相减S-S₋出现2分就给)

即.………2

(2)

求和错误但有分组求和的意识得2分)

则：…………1(有乘2或乘的行为即得1分)

两式相减得

…………2(有错位相减的结果即得2分，不管对错)

所以…………2(最终结果正确2分)

18.

(1)由题意得：2b=2√3

又.∴a=2,b=√3

二.椭圆的方程

(2)

(i)设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、M(x₀,y₀)∴x₁+x₂=2x₀,y₁+y₂=2y。

设1B:y=kx+m,联……1(有联立，不管对错都给1分)

,△=48(4k²-m²+3)……2'

……3'

,将点P代入方程得……5’(P点坐标1分，代入方程1分)

化简得12m²+16k²m²=(3+4k²)²,由于3+4k²>0

∴4m²=3+4k²为所求…6'

(ii)法一：(几何法)二当d取到最小值时，|ON|也取得最小值

过0作OH⊥AB于点H,连接O₁H,作ON⊥O₁H于点N

在椭圆面内，

……4'

由001平面ABO∴00⊥AB

由(i)得：4m²=3+4k²≥3……5’(m的范围)

∴ABI平面HOO₁∴AB⊥ON

∴平面

ONIABO₁……6'

∴|OM即点O到平面ABO₁的距离……2

,此时

设|OH|=d,则……3'

∴O到平面ABO₁的最小值为……7”

19.

(1)当a=1时，g(x)=x是f(x)=e-¹的切线，设切点(x₀,y)

f'(x)=kex-1(有出现求导式子，不管正确与否，都给1分)

由得k=1(过程1分+答案2分，共3分)

(2)由题意得恒成立，

两边取对数，得x-