小学六年级数学上册“一个数除以分数”教学设计

小学六年级数学上册“一个数除以分数”教学设计一、教学内容分析  本节课选自人教版小学数学六年级上册第三单元《分数除法》的第二课时，其内容处于整个小学阶段“数的运算”知识脉络的关键节点。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》的视角解构，本课承载着发展学生“运算能力”和“推理意识”的核心素养任务。在知识技能图谱上，它上承分数乘法的意义和整数除以分数的计算方法，下启分数四则混合运算及利用分数除法解决复杂的实际问题，是分数除法算法大厦的基石。学生需达成的认知层级是“理解”与“应用”：不仅要掌握“除以一个分数等于乘这个分数的倒数”的算法，更要理解其背后的算理。过程方法路径上，课标强调通过具体情境，借助几何直观（如线段图、长方形面积模型）将抽象的算理可视化，引导学生经历“观察—猜想—验证—归纳”的数学建模过程，实现从具体到抽象的思维飞跃。素养价值渗透方面，本课是培养学生严谨、逻辑推理能力的绝佳载体。通过探究算理，学生能深刻体会到数学规则并非凭空规定，而是有内在的、可被推导的逻辑一致性，从而树立起科学的理性精神和“言必有据”的思维习惯。在解决诸如“已知单位时间所行路程求时间”的实际问题时，亦能感悟数学与生活的紧密联系。  基于“以学定教”原则进行学情诊断。学生的已有基础与障碍并存：他们已熟练掌握分数乘法的计算，并初步学习了“整数除以分数”的计算（如2÷(1/3)），具备将除法转化为乘法的初步经验。然而，从“整数除以分数”到“一个数（可包含分数）除以分数”的迁移中，最大的认知障碍在于对算理的深度理解——为何“颠倒相乘”是合理的？学生容易停留在机械记忆算法的层面，而面对变式情境时易出错。过程评估设计将贯穿始终：在导入环节通过旧知复习进行“前测”；在新授的探究活动中，通过观察学生的操作、倾听小组讨论、分析其画图与表述进行动态评估；在巩固环节通过分层练习的完成情况进行“后测”。基于此，教学调适策略是：为理解困难的学生提供更具体的操作模型（如分彩带、画方格）和分步骤的“脚手架”问题链；为思维较快的学生准备更具挑战性的推理任务（如用字母表示数进行一般化证明）和应用题，实现差异化支持。二、教学目标  知识目标：学生能理解并阐述“一个数除以分数”的计算算理，能通过几何直观（如线段图）解释“除以一个分数等于乘这个分数的倒数”的合理性；能准确、熟练地掌握其计算方法，并能正确处理被除数是整数或分数的情况。  能力目标：在解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题情境中，学生能够独立分析数量关系，正确列出除法算式并进行计算；能通过画图策略将抽象的数学问题具体化、形象化，发展几何直观能力和问题解决能力。  情感态度与价值观目标：在小组合作探究算理的过程中，学生能积极参与讨论，敢于提出自己的猜想并尝试验证，体验数学探索的乐趣和成功的喜悦，初步形成乐于探究、严谨求实的科学态度。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的归纳推理和模型建构思维。引导学生从具体实例中观察规律、提出猜想，并通过多种方式进行验证，最终归纳出普适性的算法，完成从特殊到一般的数学建模过程。  评价与元认知目标：引导学生学会使用“算理表述是否清晰”、“算法应用是否准确”等标准来评价自己或同伴的解题过程。在课堂小结环节，能回顾学习路径，反思“我是如何从不懂到懂的”，提炼出借助画图理解抽象概念的学习策略。三、教学重点与难点  教学重点：探究并掌握“一个数除以分数”的计算方法，理解其算理。确立依据在于，这是分数除法运算规则的核心“大概念”，其理解深度直接决定了学生运算能力的本质是机械操作还是意义建构。从学业评价导向看，该知识点是后续解决分数、百分数、比和比例相关复杂应用题的基石，在各类测评中均为高频、高分值考点，且常以需要分析数量关系的情境题形式出现，充分体现能力立意。  教学难点：理解“除以一个分数等于乘这个分数的倒数”的算理，特别是当被除数也是分数时。难点成因在于其高度的抽象性：学生需要跨越从“等分除”的直观模型到“包含除”的算法模型的认知跨度。常见错误表现为仅记住算法口诀，但在解释为何如此计算时语焉不详，或在解决实际问题时无法正确判断何时用除法、何时用乘法。预设突破方向是：强化几何直观支撑，设计从整数到分数的渐进式探究任务，让学生在“分一分”、“画一画”、“说一说”中亲手“创造”出算法，实现意义的自主建构。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式多媒体课件（内含动态线段图演示、分层练习题）；实物投影仪。1.2学习材料：设计并印制分层学习任务单（含探究活动记录表、分层巩固练习）；准备用于展示的彩色磁条（模拟彩带）。2.学生准备2.1课前预习：复习分数乘法的意义及计算方法；尝试用画图的方法解释2÷(1/3)=6。2.2课堂用品：直尺、彩笔、练习本。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设与旧知激活：同学们，咱们先来看一个小明遇到的生活问题。小明做手工，有一条2米长的彩带，如果每朵花需要(1/3)米，这彩带能做几朵花？这个问题该怎么列式？（预设学生答：2÷(1/3)）很好，这是我们上节课学的整数除以分数。那谁能借助我们上节课画的线段图，再来给大家讲讲为什么2÷(1/3)等于2×3？请你上来边画边讲。  1.1制造认知冲突与提出问题：讲得非常清晰！看来“整数除以分数”难不倒大家。现在，问题升级了：如果彩带长度不是整数，而是(4/5)米呢？每朵花还是需要(2/3)米，又能做几朵花？算式怎么列？（(4/5)÷(2/3)）这个算式和刚才的有什么不同？（被除数也是分数了）这就是我们今天要挑战的新高度——“一个数除以分数”（板书课题）。面对这个新算式，你的小脑袋里冒出了哪些问号？  1.2明确探究路径：大家的问题都指向一点：(4/5)÷(2/3)到底该怎么算？是不是也能转化成乘法？如果能，道理又是什么？这节课，我们就当一回数学侦探，一起通过“画图寻理”和“推理验证”这两大法宝，把这个问号拉直，变成叹号！第二、新授环节  本环节将围绕核心问题“(4/5)÷(2/3)等于多少？为什么？”展开支架式探究，设计五个逐层深入的任务。任务一：回归本源，复习整数除以分数的算理教师活动：首先，我会请一位学生复述2÷(1/3)的线段图解法，并同步用课件动态演示：将代表2米的线段，每(1/3)米为一份进行划分，得到6份。关键提问：“从计算过程看，2÷(1/3)变成了2×3，这个‘3’是怎么来的？它和除数(1/3)有什么关系？”引导学生说出“3是(1/3)的倒数”。然后追问：“那么，整数除以分数，转化成长的乘法，本质上是在做什么运算？”（乘以除数的倒数）学生活动：观察演示，回顾算理。积极思考并回答教师的提问，明确整数除以分数的算法及关键点——“乘除数的倒数”。部分学生可能上台进行讲解。即时评价标准：1.表达清晰度：能否用语言或图示清楚地解释2÷(1/3)=6的含义。2.关联发现：是否能建立“除数”与“其倒数”之间的明确联系。形成知识、思维、方法清单：★算法回顾：整数除以分数，等于整数乘这个分数的倒数。▲算理根基：其算理基础是“包含除”，即求被除数里包含多少个除数。●方法提示：线段图是理解分数除法算理的强大工具，它能将抽象的“包含”关系可视化。任务二：情境迁移，提出对新算式的猜想教师活动：出示新情境：“小明有(4/5)米彩带，每朵花用(2/3)米，可做几朵？”引导学生列出算式(4/5)÷(2/3)。“看着这个新算式，对比刚才的旧知识，你有什么大胆的猜想？”（预设学生猜想：也等于(4/5)×(2/3)的倒数，即(4/5)×(3/2)）“猜想要有理有据，我们不能光凭感觉。怎么能验证我们的猜想对不对呢？”引导学生想到用上节课的法宝——画图。学生活动：根据情境列出除法算式。基于知识迁移，提出“(4/5)÷(2/3)可能等于(4/5)×(3/2)”的猜想。明确下一步需要验证。即时评价标准：1.猜想合理性：猜想是否基于已有知识（整数除以分数的算法）进行逻辑迁移。2.问题意识：是否意识到猜想需要验证，并能提出验证的大致方向（如画图）。形成知识、思维、方法清单：★核心猜想：一个数除以分数，可能等于这个数乘分数的倒数。●科学方法：提出猜想后必须进行验证，这是数学研究的基本步骤。▲思维导向：类比推理是发现新规律的重要思维方式。任务三：几何探究，在画图中验证算理教师活动：这是突破难点的关键步骤。我会说：“要画图表示(4/5)米里有几个(2/3)米，有难度。别急，老师给大家搭个‘脚手架’。”第一步，统一单位：“(4/5)米和(2/3)米单位相同，但分数单位不同，不方便直接比较。我们能不能找一个更小的公共长度单位？”引导学生想到将1米平均分成15份（5和3的最小公倍数），那么(4/5)米就是12小份，(2/3)米就是10小份。第二步，引导画图：下发学习单，指导学生用长方形代表1米彩带，平均分成15格。用彩笔涂出(4/5)米（即12格）和(2/3)米（即10格）。第三步，关键设问：“现在，我们要从这12格里，每次取出10格（一个(2/3)米），能取几次？还剩下几格？剩下的部分还够一个(2/3)米吗？”让学生通过直观观察发现，只能取1次，剩下2格，而一个(2/3)米需要10格，所以剩下的不够了。学生活动：在教师引导下理解“统一分数单位”的必要性。动手在学习单上画图，准确表示出(4/5)米和(2/3)米。通过观察图形，回答教师问题，直观感知(4/5)米里包含不了一个完整的(2/3)米，结果比1小。即时评价标准：1.操作规范性：能否正确地将1米平均分，并准确表示出指定的分数长度。2.观察与表述：能否根据图形说出“(4/5)米里包含不了一个(2/3)米”这一关键发现。3.协作探究：在小组内能否与同伴交流画图结果，共同观察。形成知识、思维、方法清单：★几何验证：通过画图，直观看到(4/5)÷(2/3)的商小于1，这与猜想(4/5)×(3/2)=6/5>1的结果在数值趋势上不符？等等，这里需要精确计算。▲核心矛盾（认知冲突点）：画图直观显示结果约为1点几？不，是不到1。而(4/5)×(3/2)=12/10=6/5=1.2，是大于1的。这个矛盾恰恰是驱动深入思考的契机。●方法精髓：当分数单位不一致时，通过“通分”或寻找公共度量单位，是使比较成为可能的关键。★精确算理：实际上，从图中看，12小份（即(4/5)米）里包含几个10小份（即(2/3)米）？包含1个完整的10份后，还剩2份。这剩下的2份，占一个(2/3)米（10份）的多少？是2/10，即1/5。所以总共做了1又1/5朵？不，是1个完整的加上剩下的部分占一个的几分之几，即1+2/10=1+1/5=6/5朵。这与(4/5)×(3/2)=6/5的结果一致！图形验证了猜想。任务四：数形结合，从特殊到一般归纳算法教师活动：在学生从图形上“看”到结果后，引导他们进行数学抽象。“我们费了这么大劲画图，验证了(4/5)÷(2/3)确实等于(4/5)×(3/2)。但这只是一个例子，数学规律需要普遍性。我们还能举出其他例子来验证吗？”鼓励学生自己编题（如(3/4)÷(1/2)），并尝试用类似的方法（可简化画图）进行验证。然后，我会出示一组有规律的算式让学生计算并观察：2÷(1/2)=2×2，3÷(3/4)=3×(4/3)，(1/2)÷(1/4)=(1/2)×4，(4/5)÷(2/3)=(4/5)×(3/2)。“请大家竖着看这些等式，左边的除法算式和右边的乘法算式，什么变了？什么没变？你能用一句话总结出计算的规律吗？”学生活动：尝试自编例子进行验证。计算教师提供的算式组，仔细观察、对比。小组讨论，尝试用规范的语言归纳规律：“一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。”即时评价标准：1.归纳能力：能否从多个具体例子中抽象出共性的、用数学语言表述的规律。2.语言准确性：总结规律时，用语是否严谨、完整（强调“一个数”、“分数”、“倒数”）。形成知识、思维、方法清单：★核心算法：一个数除以分数，等于这个数乘这个分数的倒数。▲归纳推理：从若干个特殊例子中寻找共同模式，得出一般性结论，是数学发现的重要方法。●易错提醒：这里的“一个数”可以是整数、分数或小数，但“分数”特指除数。★算法普适性：该算法同样适用于整数除以分数、分数除以整数（可将整数视为分母为1的分数）等情况，是分数除法的统一法则。任务五：抽象提炼，深度理解算理本质教师活动：在学生掌握算法后，需进一步提升思维层次，追问算理本质。“规律我们会说了，但‘为什么’可以这样算？这背后深刻的道理是什么？”我将引导学生跳出具体数字，从运算意义和商不变性质两个角度思考。角度一：“除以(2/3)就是求一个数里面包含几个(2/3)。求包含几个，就是求这个数是(2/3)的几倍。求一个数是另一个数的几倍，用除法。而求一个数的几分之几是多少，用乘法。那么，求一个数是(2/3)的几倍，是不是可以转化成求这个数的(3/2)倍？”角度二：利用“商不变的性质”，把被除数和除数同时乘除数的倒数，使除数变成1。例如：(4/5)÷(2/3)=[(4/5)×(3/2)]÷[(2/3)×(3/2)]=[(4/5)×(3/2)]÷1=(4/5)×(3/2)。“瞧，这不是殊途同归吗？”学生活动：跟随教师的引导，尝试从更宏观的“倍数关系”角度或运用已学的“商不变性质”来理解算法背后的逻辑。进行深度思考，与同伴交流自己的理解。即时评价标准：1.思维深度：能否尝试从不同角度解释算理，而不局限于具体画图。2.知识联结：能否将新知识（分数除法）与旧知识（倍数关系、商不变性质）建立有效联系。形成知识、思维、方法清单：★算理本质（角度一）：除以一个数（分数），就是求被除数是这个数的几倍。求一个数的几倍，就是乘这个数。因此，除以一个分数等价于乘这个分数的倒数。★算理本质（角度二）：利用商不变性质，将被除数和除数同时乘除数的倒数，使除数化为1，运算简化为乘法。▲高阶思维：对同一数学原理，可以从不同路径进行论证，这体现了数学的内在统一性和逻辑美。第三、当堂巩固训练  设计核心：构建分层、变式的训练体系，及时反馈。  基础层（全员必做，直接应用算法）：1.计算：(3/4)÷(9/8)，5÷(5/6)，(2/3)÷4。（“请大家独立完成，注意格式规范，做完的同学可以轻声说说你的计算过程。”）  综合层（大多数学生完成，情境应用）：2.一辆汽车(2/3)小时行驶了48千米，照这样计算，1小时行驶多少千米？（先画线段图分析数量关系，再列式解答）（“这道题的关键是找谁是谁的几分之几。‘照这样计算’是什么意思？速度不变。那么(2/3)小时的路程是1小时的几分之几？”）  挑战层（学有余力选做，开放探究）：3.不计算，你能比较(7/8)÷(2/3)与(7/8)的大小吗？请说明理由。如果除以的分数换成(4/3)呢？你能发现什么规律？（“想一想，一个数除以一个比1小的数，商会怎样？除以一个比1大的数呢？这和乘法规律有什么异同？”）  反馈机制：学生完成后，采用“同伴互评+教师讲评”结合。基础题由同桌交换批改，重点检查算法是否正确（倒数是否找对）。综合题请学生上台展示线段图和解题思路，教师针对共性疑问（如如何确定单位“1”）进行点拨。挑战题让有想法的学生分享其发现（除数<1，商>被除数；除数>1，商<被除数），教师予以提炼和肯定。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结与元认知反思。“孩子们，这节课的探索之旅即将到站。谁能用简短的话，说说我们今天最大的收获是什么？”（算法）“更重要的是，我们是如何得到这个算法的？”（通过画图验证、举例归纳、多角度理解算理）。请大家尝试在练习本上画一个简单的思维导图，中心是“一个数除以分数”，分出“算法”、“算理”、“方法”、“注意”几个分支，自己填写关键词。随后，邀请几位学生分享他们的知识结构图。“回顾整个过程，你觉得对你理解帮助最大的是什么环节？是画图，还是小组讨论？”引导学生反思自己的学习策略。最后布置作业：“今天的作业是‘自助餐’：必做题是课本第XX页的第1、2、3题；选做题是寻找一个生活中需要用‘一个数除以分数’来解决的实际问题，并记录下来。下节课我们一起来分享。”六、作业设计基础性作业：1.完成课本练习七中关于“一个数除以分数”计算的基本练习题，共8道，要求书写工整、计算准确。2.口头向家人或同学解释“为什么(3/4)÷(1/2)等于(3/4)×2”，可以借助画图说明。拓展性作业：3.情境应用题：一袋面粉重(9/10)千克，食堂每天用去(3/20)千克，这袋面粉够用几天？（先写出数量关系式）4.错题分析：小明计算(5/6)÷(2/3)时，写成了(5/6)×(2/3)=5/9。请你分析他错误的原因，并告诉他正确的思考步骤。探究性/创造性作业：5.规律探究：请任意写出三个“一个数除以真分数（小于1的分数）”的算式并计算，观察商与被除数的关系；再写三个“除以一个假分数（大于或等于1的分数）”的算式，观察规律。你能得出什么结论？并尝试用今天学的道理来解释。6.数学小论文（选做）：以《“颠倒相乘”的奥秘》为题，写一篇数学日记，记录你今天探究算理的过程和心得体会。七、本节知识清单及拓展★1.核心算法：一个数除以分数，等于这个数乘这个分数的倒数。例如：a÷(m/n)=a×(n/m)（其中a可以是整数、分数或小数，m、n为非零整数）。●2.算法理解关键：这里的“除以一个分数”本质上是“包含除”问题，即求被除数里包含几个除数。转化为乘法，即是求被除数是除数的几倍。▲3.几何直观支撑：线段图、面积图是理解分数除法算理的直观工具。它能将抽象的“包含”关系可视化，尤其在理解“为什么商可能大于被除数”（当除数小于1时）时至关重要。★4.算理推导（商不变性质路径）：利用被除数和除数同时乘或除以同一个不为零的数，商不变的性质。使除数变为1，是推导此算法的经典代数方法之一。●5.易错点警示：（1）只记算法，不明算理，导致在复杂情境中无法正确列式。（2）找错倒数，特别是当除数是整数或带分数时（需先化成分数）。（3）与乘法混淆：除以一个大于1的数，商变小；除以一个小于1的数，商反而变大。这与乘法规律相反。▲6.与整数除法的联系：整数除法可以看作除数为“分母为1的分数”，因此该算法统一了整数除法与分数除法的计算法则。例如：4÷2=4×(1/2)。★7.应用情境类型：主要应用于“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题。解题关键是找准单位“1”，并根据分数乘法的意义逆向列出除法算式。▲8.思维方法提炼：本节课经历了“具体情境—提出问题—猜想验证—归纳结论—解释应用”的完整数学探究过程，体现了归纳推理和模型思想。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析从课堂巩固练习的完成情况看，约85%的学生能正确计算“一个数除以分数”的基本题型，表明知识技能目标基本达成。在综合应用环节，约70%的学生能独立画出线段图并正确列式解决“已知部分量和对应分率求单位‘1’”的问题，能力目标得到初步落实。然而，在让学生用自己的语言解释算理时，仅有部分学生能清晰表述，多数学生仍依赖于“就是乘以倒数”的程序性描述，反映出对算理的深度理解——这一核心素养目标——的达成度仍有提升空间。这提醒我，在探究环节，除了让学生“动手画”，更要舍得花时间组织学生“开口说”，通过同伴互讲、小组辩论等方式，将直观感知内化为逻辑表达。  （二）核心环节有效性评估本节课设计的五个递进式任务基本构成了有效的认知支架。“任务三”的几何探究是亮点也是难点。在实际教学中，部分学生在“统一分数单位”这一步骤上卡壳，他们更倾向于直接去分(4/5)米那条线段。这恰恰暴露了其思维障碍：缺乏将两个异分母分数置于共同度量标准下比较的意识。我当时的处理是，没有直接告知方法，而是反问：“直接分(4/5)米，你怎么能保证每一份刚好是(2/3)米呢？”引发他们的认知冲突，再引导回顾“通分”思想，效果较好。但时间耗费较多，影响了后续“任务五”的深度展开。是否可以在课前预习或导入环节，就埋下“统一度量单位”的伏笔？值得再设计。  （三）差异化教学实施剖析