a在b上的投影题目及答案

a在b上的投影题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.已知点A(3,4)在平面α上的投影为点A'(1,2)，则点A到平面α的距离为多少？

A.2

B.3

C.4

D.5

2.直线l过点P(1,2)且与平面β垂直，平面β由方程x+y+z=1确定，则直线l的参数方程为？

A.x=1+t,y=2+t,z=t

B.x=1-t,y=2-t,z=t

C.x=1+t,y=2-t,z=t

D.x=1-t,y=2+t,z=t

3.平面α和平面β相交，交线为l，若平面α的方程为2x+y-z=1，平面β的方程为x-y+2z=2，则交线l的方向向量为？

A.(1,-1,2)

B.(1,1,-2)

C.(-1,1,2)

D.(-1,-1,-2)

4.点P(1,2,3)在平面α上的投影为点P'(2,1,3)，则平面α的法向量为？

A.(1,-1,0)

B.(-1,1,0)

C.(0,0,1)

D.(0,0,-1)

5.已知直线l过点A(1,2,3)且与直线m平行，直线m的方向向量为(1,-1,2)，则直线l的方程为？

A.x=1+t,y=2-t,z=3+2t

B.x=1-t,y=2+t,z=3-2t

C.x=1+t,y=2+t,z=3+2t

D.x=1-t,y=2-t,z=3-2t

6.平面α与平面β垂直，平面α的方程为x+y+z=1，平面β的方程为x-y+z=2，则平面α与平面β的交线方向向量为？

A.(1,1,1)

B.(1,-1,1)

C.(-1,1,1)

D.(-1,-1,1)

7.点A(1,2,3)在平面α上的投影为点A'(2,1,3)，则平面α的方程为？

A.x-y+z=0

B.x+y-z=0

C.x-y-z=0

D.x+y+z=0

8.已知直线l过点P(1,2,3)且与平面α垂直，平面α的方程为2x+y-z=1，则直线l的方程为？

A.x=1+2t,y=2+t,z=3-t

B.x=1-2t,y=2-t,z=3+t

C.x=1+t,y=2+2t,z=3-t

D.x=1-t,y=2-2t,z=3+t

9.平面α与平面β平行，平面α的方程为x+y+z=1，平面β的方程为2x+2y+2z=2，则平面α与平面β的距离为？

A.1

B.2

C.3

D.4

10.已知点A(1,2,3)在平面α上的投影为点A'(2,1,3)，则平面α的法向量为？

A.(1,-1,0)

B.(-1,1,0)

C.(0,0,1)

D.(0,0,-1)

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.已知点P(3,4)在平面α上的投影为点P'(1,2)，则点P到平面α的距离为______。

2.直线l过点P(1,2)且与平面β垂直，平面β由方程x+y+z=1确定，则直线l的方向向量为______。

3.平面α和平面β相交，交线为l，若平面α的方程为2x+y-z=1，平面β的方程为x-y+2z=2，则交线l的方向向量为______。

4.点P(1,2,3)在平面α上的投影为点P'(2,1,3)，则平面α的方程为______。

5.已知直线l过点A(1,2,3)且与直线m平行，直线m的方向向量为(1,-1,2)，则直线l的参数方程为______。

6.平面α与平面β垂直，平面α的方程为x+y+z=1，平面β的方程为x-y+z=2，则平面α与平面β的交线方向向量为______。

7.点A(1,2,3)在平面α上的投影为点A'(2,1,3)，则平面α的法向量为______。

8.已知直线l过点P(1,2,3)且与平面α垂直，平面α的方程为2x+y-z=1，则直线l的方向向量为______。

9.平面α与平面β平行，平面α的方程为x+y+z=1，平面β的方程为2x+2y+2z=2，则平面α与平面β的距离为______。

10.已知点A(1,2,3)在平面α上的投影为点A'(2,1,3)，则平面α的法向量为______。

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列哪个向量是平面x+y+z=1的法向量？

A.(1,1,1)

B.(1,-1,0)

C.(0,1,1)

D.(1,0,1)

2.已知直线l过点P(1,2,3)且与平面α垂直，平面α的方程为2x+y-z=1，则直线l的方向向量可以是？

A.(2,1,-1)

B.(-2,-1,1)

C.(1,-2,-1)

D.(-1,2,1)

3.平面α与平面β相交，交线为l，若平面α的方程为2x+y-z=1，平面β的方程为x-y+2z=2，则交线l的方向向量可以是？

A.(1,-1,2)

B.(1,1,-2)

C.(-1,1,2)

D.(-1,-1,-2)

4.下列哪个向量是平面2x+y-z=1的法向量？

A.(2,1,-1)

B.(-2,-1,1)

C.(1,-2,-1)

D.(-1,2,1)

5.已知点P(1,2,3)在平面α上的投影为点P'(2,1,3)，则平面α的法向量可以是？

A.(1,-1,0)

B.(-1,1,0)

C.(0,0,1)

D.(0,0,-1)

6.平面α与平面β垂直，平面α的方程为x+y+z=1，平面β的方程为x-y+z=2，则平面α与平面β的交线方向向量可以是？

A.(1,1,1)

B.(1,-1,1)

C.(-1,1,1)

D.(-1,-1,1)

7.已知直线l过点A(1,2,3)且与直线m平行，直线m的方向向量为(1,-1,2)，则直线l的方向向量可以是？

A.(1,-1,2)

B.(-1,1,-2)

C.(2,-2,4)

D.(-2,2,-4)

8.下列哪个向量是平面x-y+2z=2的法向量？

A.(1,-1,2)

B.(-1,1,-2)

C.(2,-2,4)

D.(-2,2,-4)

9.平面α与平面β平行，平面α的方程为x+y+z=1，平面β的方程为2x+2y+2z=2，则平面α与平面β的法向量可以是？

A.(1,1,1)

B.(-1,-1,-1)

C.(2,2,2)

D.(-2,-2,-2)

10.已知点P(1,2,3)在平面α上的投影为点P'(2,1,3)，则平面α的法向量可以是？

A.(1,-1,0)

B.(-1,1,0)

C.(0,0,1)

D.(0,0,-1)

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.平面α与平面β垂直，则平面α的法向量与平面β的法向量垂直。

2.直线l在平面α上的投影是一条点。

3.点P在平面α上的投影为点P'，则点P到平面α的距离等于点P和点P'之间的距离。

4.若直线l的方向向量为(1,-1,2)，则直线l垂直于平面2x-y+4z=1。

5.平面α的方程为x+y+z=1，平面β的方程为x-y+z=2，则平面α与平面β的交线方向向量为(0,1,0)。

6.已知点A(1,2,3)在平面α上的投影为点A'(2,1,3)，则平面α的方程为x-y=1。

7.平面α与平面β平行，则平面α的法向量与平面β的法向量平行。

8.若直线l过点P(1,2,3)且与平面α垂直，平面α的方程为2x+y-z=1，则直线l的方向向量为(2,1,-1)。

9.平面α与平面β相交，交线为l，若平面α的方程为2x+y-z=1，平面β的方程为x-y+2z=2，则交线l的方向向量为(1,-1,2)。

10.已知直线l过点A(1,2,3)且与直线m平行，直线m的方向向量为(1,-1,2)，则直线l的参数方程为x=1+t,y=2-t,z=3+2t。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求点P(1,2,3)在平面α上的投影，平面α的方程为x+y+z=1。

2.求直线l过点P(1,2,3)且与平面α垂直，平面α的方程为2x+y-z=1，写出直线l的方程。

3.求平面α与平面β的交线方向向量，平面α的方程为2x+y-z=1，平面β的方程为x-y+2z=2。

4.求平面α的法向量，平面α的方程为x-y+z=1。

5.求直线l的方向向量，直线l过点A(1,2,3)且与直线m平行，直线m的方向向量为(1,-1,2)。

6.求平面α与平面β的距离，平面α的方程为x+y+z=1，平面β的方程为2x+2y+2z=2。

7.求点P(1,2,3)到平面α的距离，平面α的方程为2x+y-z=1。

8.求平面α与平面β的交线方程，平面α的方程为2x+y-z=1，平面β的方程为x-y+2z=2。

9.求直线l的参数方程，直线l过点P(1,2,3)且与平面α垂直，平面α的方程为2x+y-z=1。

10.求平面α的法向量，平面α与平面β垂直，平面α的方程为x+y+z=1，平面β的方程为x-y+z=2。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：点A到平面α的距离等于点A和点A'之间的距离，可以通过计算两点间的距离得到。点A(3,4)和点A'(1,2)之间的距离为√[(3-1)²+(4-2)²]=√8=2√2，所以点A到平面α的距离为2√2，对应选项C。

2.A

解析：直线l的方向向量应该与平面β的法向量平行。平面β的法向量为(1,1,1)，所以直线l的方向向量可以是(1,1,1)的倍数。选项A中的方向向量为(1,1,1)，符合条件。

3.A

解析：平面α和平面β的交线方向向量可以通过两个平面的法向量的叉积得到。平面α的法向量为(2,1,-1)，平面β的法向量为(1,-1,2)，叉积为(2,1,-1)×(1,-1,2)=(1,-1,2)，所以交线方向向量为(1,-1,2)。

4.A

解析：点P在平面α上的投影为点P'，则平面α的法向量应该与点P和点P'的连线向量平行。点P(1,2,3)和点P'(2,1,3)的连线向量为(1,-1,0)，所以平面α的法向量为(1,-1,0)。

5.A

解析：直线l的方向向量应该与平面α的法向量平行。平面α的法向量为(2,1,-1)，所以直线l的方向向量可以是(2,1,-1)的倍数。选项A中的方向向量为(2,1,-1)，符合条件。

6.B

解析：平面α和平面β的交线方向向量可以通过两个平面的法向量的叉积得到。平面α的法向量为(1,1,1)，平面β的法向量为(1,-1,1)，叉积为(1,1,1)×(1,-1,1)=(2,0,-2)，所以交线方向向量为(1,-1,1)。

7.B

解析：点P在平面α上的投影为点P'，则平面α的法向量应该与点P和点P'的连线向量平行。点P(1,2,3)和点P'(2,1,3)的连线向量为(1,-1,0)，所以平面α的法向量为(1,-1,0)。

8.A

解析：直线l的方向向量应该与平面α的法向量平行。平面α的法向量为(2,1,-1)，所以直线l的方向向量可以是(2,1,-1)的倍数。选项A中的方向向量为(2,1,-1)，符合条件。

9.A

解析：平面α与平面β平行，则平面α的法向量与平面β的法向量平行。平面α的法向量为(1,1,1)，平面β的法向量为(2,2,2)，平行，所以距离为d=|D1-D2|/√(A²+B²+C²)=|1-2|/√(1²+1²+1²)=1/√3，对应选项A。

10.A

解析：点P在平面α上的投影为点P'，则平面α的法向量应该与点P和点P'的连线向量平行。点P(1,2,3)和点P'(2,1,3)的连线向量为(1,-1,0)，所以平面α的法向量为(1,-1,0)。

二、填空题答案及解析

1.√2

解析：点P到平面α的距离等于点P和点P'之间的距离，可以通过计算两点间的距离得到。点A(3,4)和点A'(1,2)之间的距离为√[(3-1)²+(4-2)²]=√8=2√2，所以点P到平面α的距离为2√2。

2.(1,1,1)

解析：直线l的方向向量应该与平面β的法向量平行。平面β的法向量为(1,1,1)，所以直线l的方向向量可以是(1,1,1)的倍数。

3.(1,-1,2)

解析：平面α和平面β的交线方向向量可以通过两个平面的法向量的叉积得到。平面α的法向量为(2,1,-1)，平面β的法向量为(1,-1,2)，叉积为(2,1,-1)×(1,-1,2)=(1,-1,2)。

4.x-y+z=2

解析：点P(1,2,3)在平面α上的投影为点P'(2,1,3)，则平面α的法向量应该与点P和点P'的连线向量平行。点P(1,2,3)和点P'(2,1,3)的连线向量为(1,-1,0)，所以平面α的法向量为(1,-1,0)。平面α过点P'，所以方程为(1,-1,0)·(x-2,y-1,z-3)=0，即x-y+z=2。

5.x=1+t,y=2-t,z=3+2t

解析：直线l的方向向量应该与直线m的方向向量平行。直线m的方向向量为(1,-1,2)，所以直线l的方向向量可以是(1,-1,2)的倍数。直线l过点A(1,2,3)，所以参数方程为x=1+t,y=2-t,z=3+2t。

6.(1,-1,1)

解析：平面α和平面β的交线方向向量可以通过两个平面的法向量的叉积得到。平面α的法向量为(1,1,1)，平面β的法向量为(1,-1,1)，叉积为(1,1,1)×(1,-1,1)=(2,0,-2)，所以交线方向向量为(1,-1,1)。

7.(1,-1,0)

解析：点P在平面α上的投影为点P'，则平面α的法向量应该与点P和点P'的连线向量平行。点P(1,2,3)和点P'(2,1,3)的连线向量为(1,-1,0)，所以平面α的法向量为(1,-1,0)。

8.(2,1,-1)

解析：直线l的方向向量应该与平面α的法向量平行。平面α的法向量为(2,1,-1)，所以直线l的方向向量可以是(2,1,-1)的倍数。

9.1

解析：平面α与平面β平行，则平面α的法向量与平面β的法向量平行。平面α的法向量为(1,1,1)，平面β的法向量为(2,2,2)，平行，所以距离为d=|D1-D2|/√(A²+B²+C²)=|1-2|/√(1²+1²+1²)=1/√3，对应选项A。

10.(1,-1,0)

解析：点P在平面α上的投影为点P'，则平面α的法向量应该与点P和点P'的连线向量平行。点P(1,2,3)和点P'(2,1,3)的连线向量为(1,-1,0)，所以平面α的法向量为(1,-1,0)。

三、多选题答案及解析

1.A,C,D

解析：平面x+y+z=1的法向量为(1,1,1)，所以与法向量平行的向量都是法向量，包括(1,1,1)、(0,1,1)、(1,0,1)。

2.A,B

解析：直线l的方向向量应该与平面α的法向量平行。平面α的法向量为(2,1,-1)，所以直线l的方向向量可以是(2,1,-1)的倍数。选项A和B中的方向向量都是(2,1,-1)的倍数。

3.A,B

解析：平面α和平面β的交线方向向量可以通过两个平面的法向量的叉积得到。平面α的法向量为(2,1,-1)，平面β的法向量为(1,-1,2)，叉积为(2,1,-1)×(1,-1,2)=(1,-1,2)，所以交线方向向量为(1,-1,2)或其负向量(-1,1,-2)，对应选项A和B。

4.A,B

解析：平面2x+y-z=1的法向量为(2,1,-1)，所以与法向量平行的向量都是法向量，包括(2,1,-1)、(-2,-1,1)。

5.A,B

解析：点P在平面α上的投影为点P'，则平面α的法向量应该与点P和点P'的连线向量平行。点P(1,2,3)和点P'(2,1,3)的连线向量为(1,-1,0)，所以平面α的法向量为(1,-1,0)。

6.A,B

解析：平面α和平面β的交线方向向量可以通过两个平面的法向量的叉积得到。平面α的法向量为(1,1,1)，平面β的法向量为(1,-1,1)，叉积为(1,1,1)×(1,-1,1)=(2,0,-2)，所以交线方向向量为(1,0,-1)或其倍数(1,0,-1)或(1,0,-1)，对应选项A和B。

7.A,C

解析：平面α与平面β平行，则平面α的法向量与平面β的法向量平行。平面α的法向量为(1,1,1)，平面β的法向量为(2,2,2)，平行，所以法向量可以是(1,1,1)或(2,2,2)，对应选项A和C。

8.A,B

解析：直线l的方向向量应该与平面α的法向量平行。平面α的法向量为(2,1,-1)，所以直线l的方向向量可以是(2,1,-1)的倍数。选项A和B中的方向向量都是(2,1,-1)的倍数。

9.A,B

解析：平面α与平面β平行，则平面α的法向量与平面β的法向量平行。平面α的法向量为(1,1,1)，平面β的法向量为(2,2,2)，平行，所以法向量可以是(1,1,1)或(-1,-1,-1)，对应选项A和B。

10.A,B

解析：点P在平面α上的投影为点P'，则平面α的法向量应该与点P和点P'的连线向量