2026年数学建模数据分析与应用试题

2026年数学建模：数据分析与应用试题一、问题求解（共3题，每题20分，合计60分）1.某城市交通流量分析与优化问题（20分）题目：某城市交通管理部门收集了2023年1月至2023年12月主要十字路口的每日车流量数据（单位：辆/天）。数据如下表所示（部分数据省略，需自行补充或假设）。|月份|星期一|星期二|星期三|星期四|星期五|星期六|星期日|||--|--|--|--|--|--|--||1月|12000|11500|11800|12200|12500|8000|7500||2月|13000|12500|12800|13200|13500|9000|8500||...|...|...|...|...|...|...|...||12月|14000|13500|13800|14200|14500|10000|9500|要求：（1）分析该十字路口车流量的季节性规律和周内分布特征；（2）建立时间序列预测模型（如ARIMA模型），预测2024年1月1日该路口的车流量；（3）若该城市计划在2024年3月实施新的交通管制措施（如单向通行），请基于模型评估该措施对车流量的潜在影响（需说明假设和计算过程）。2.某地区农业产量预测与政策评估问题（20分）题目：某省份农业部门收集了2018年至2023年水稻产量、化肥施用量、降雨量及政策补贴（单位：元/亩）数据如下表所示（部分数据省略，需自行补充或假设）：|年份|产量（吨/亩）|化肥施用量（kg/亩）|降雨量（mm）|政策补贴（元/亩）||--|--|-|-|||2018|500|20|1200|100||2019|520|22|1100|120||...|...|...|...|...||2023|550|25|1300|150|要求：（1）构建多元线性回归模型，分析化肥施用量、降雨量及政策补贴对水稻产量的影响；（2）若该省份计划在2024年增加化肥补贴至200元/亩，其他因素不变，预测水稻产量变化；（3）结合线性回归模型的残差分析，讨论是否存在非线性关系或遗漏变量，并提出改进建议。3.某电商平台用户行为分析与营销策略问题（20分）题目：某电商平台收集了2023年用户购买行为数据（部分数据省略，需自行补充或假设），包括用户年龄、性别、购买频次、客单价、商品类别等。数据如下表所示：|用户ID|年龄|性别|购买频次（月）|客单价（元）|商品类别||--|||-|-|-||1|25|男|5|800|电子产品||2|32|女|3|500|服装||...|...|...|...|...|...||1000|45|男|2|1200|家居|要求：（1）使用聚类分析（如K-means）将用户分为不同群体，并描述各群体的特征；（2）若该平台计划推出“生日优惠券”活动，请基于用户购买频次和客单价，设计差异化补贴方案（如高客单价用户给予更大折扣）；（3）分析用户性别与商品类别的关联性，为平台推荐系统提供优化建议。二、数据处理与分析（共2题，每题25分，合计50分）4.某城市空气质量监测数据挖掘问题（25分）题目：某城市环保部门收集了2023年1月至2023年12月每日的PM2.5、PM10、SO₂、NO₂、CO及O₃浓度数据（单位：μg/m³），部分数据如下表所示（需自行补充或假设）：|日期|PM2.5|PM10|SO₂|NO₂|CO|O₃|||-||--|--|--|--||2023-01-01|35|50|10|20|0.8|100||2023-01-02|40|55|12|22|0.9|95||...|...|...|...|...|...|...||2023-12-31|28|45|8|18|0.7|110|要求：（1）计算各污染物的月均值和季度变化趋势，绘制折线图；（2）使用主成分分析（PCA）降维，提取主要影响因子，并解释其物理意义；（3）若某日PM2.5浓度超过75μg/m³，是否可以判定为重度污染？请结合历史数据和统计检验说明。5.某金融机构客户信用风险评估问题（25分）题目：某银行收集了1000名客户的信用数据（部分数据省略，需自行补充或假设），包括年龄、收入、负债率、逾期记录等，部分数据如下表所示：|客户ID|年龄|收入（万元/年）|负债率（%）|逾期记录（次）|信用等级（高/中/低）||--||-||-|-||1|30|15|20|0|高||2|45|8|35|2|中||...|...|...|...|...|...||1000|28|12|15|1|高|要求：（1）使用逻辑回归模型评估客户信用等级，并解释模型中各变量的系数含义；（2）若某客户年龄35岁、收入10万元/年、负债率30%、无逾期记录，预测其信用等级；（3）分析模型是否存在过拟合或欠拟合，并提出改进方法（如增加样本量或特征工程）。三、论文写作（1题，25分）6.某旅游景区游客流量预测与安全管理问题（25分）题目：某旅游景区在2023年收集了每日游客流量、天气状况、节假日类型及门票价格数据（部分数据省略，需自行补充或假设），部分数据如下表所示：|日期|游客流量（人/天）|天气（晴/阴/雨）|节假日（是/否）|门票价格（元）||||-|-|-||2023-01-01|5000|晴|是|120||2023-01-02|4500|阴|否|120||...|...|...|...|...||2023-12-31|8000|晴|是|150|要求：（1）构建时间序列模型（如SARIMA模型）预测2024年春节期间（2月1日至2月10日）的每日游客流量；（2）分析天气状况和节假日对游客流量的影响，若某日天气预报为暴雨，游客流量会下降多少？请给出定量分析；（3）若景区最大承载量为10000人/天，请提出游客流量预警方案，并结合门票价格调控建议，平衡经济效益与安全风险。答案与解析1.某城市交通流量分析与优化问题（20分）（1）季节性规律与周内分布特征：-通过季节性分解（如STL分解）分析，发现车流量在夏季（6-8月）较高，冬季（12-2月）较低，可能与旅游出行有关；-周内分布呈现“周一高峰-周末低谷”特征，工作日车流量显著高于周末。（2）ARIMA模型预测：-对每日车流量数据进行平稳性检验（ADF检验），若不平稳则差分；-选择ARIMA(p,d,q)模型（如ARIMA(1,1,1)），参数通过AIC/BIC准则确定；-预测2024年1月1日车流量为12800辆/天（示例值）。（3）交通管制措施评估：-假设单向通行后车流量减少20%，则预测车流量为10240辆/天；-通过弹性系数分析（ΔQ/ΔP），若弹性小于1，措施有效。2.某地区农业产量预测与政策评估问题（20分）（1）多元线性回归模型：-模型：产量=β₀+β₁×化肥施用量+β₂×降雨量+β₃×政策补贴；-结果：β₁=0.8（化肥每增加1kg/亩，产量增加0.8吨/亩）。（2）产量预测：-若化肥补贴增加至200元/亩，假设β₃=0.5，则产量增加0.5吨/亩，预测为555吨/亩。（3）残差分析：-若残差呈现二次曲线趋势，建议加入平方项（如化肥施用量的二次项）；-遗漏变量可能包括温度或病虫害，需补充数据验证。3.某电商平台用户行为分析与营销策略问题（20分）（1）聚类分析：-K-means聚类后分为三类：-群体A（高频高客单价）：年轻男性，购买电子产品；-群体B（低频低客单价）：中年女性，购买服装；-群体C（高频低客单价）：中年男性，购买家居。（2）差异化补贴方案：-群体A：生日优惠券20%；群体B：满减活动（如满500减50）；群体C：会员积分兑换。（3）性别与商品关联性：-使用卡方检验分析性别与商品类别的独立性，若显著相关，推荐系统可按性别推荐（如女性推荐服装类）。4.某城市空气质量监测数据挖掘问题（25分）（1）月均值与季度趋势：-PM2.5冬季（1-2月）均值45μg/m³，夏季（6-8月）均值25μg/m³；-绘制折线图显示SO₂和NO₂在冬季较高。（2）主成分分析（PCA）：-第一主成分PC1解释70%方差，包含PM2.5、PM10和CO，反映工业污染；-第二主成分PC2包含SO₂和NO₂，反映燃煤污染。（3）重度污染判定：-PM2.5>75μg/m³时，若历史数据中该值对应的p值<0.05，则判定为重度污染。5.某金融机构客户信用风险评估问题（25分）（1）逻辑回归模型：-模型：P(高信用)=1/(1+e^(-β₀-β₁×年龄+β₂×收入-β₃×负债率))；-若β₂>0，收入对信用等级有正向影响。（2）信用等级预测：-代入数据计算P(高信用)=0.85，判定为高信用。（3）模型改进：-若残差图显示异方差性，可使用加权最小二乘法；-增加变量如“历史贷