2026年高二数学寒假自学课（人教B版）第11讲 等比数列的前n项和（4知识点+7大题型）（原卷版）

第11讲等比数列的前n项和内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：等比数列前n项和公式的基本运算】【题型02：等比数列的片段和性质的应用】【题型03：等比数列奇偶项和的性质】【题型04：等比数列前n项和其他性质】【题型05：等比数列中an与Sn的关系】【题型06：等比数列的简单应用】【题型07：等差数列、等比数列的综合问题】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：等比数列的前n项和公式首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为知识点2：等比数列及其前n项和的性质若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：（1）若，则；若，则．推广：若，则．（2）若成等差数列，则成等比数列．（3）若项数为，则，若项数为，则．（4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．【题型01：等比数列前n项和公式的基本运算】1．若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于，则该等比数列的第4项等于（

）A．16 B．8 C． D．2．已知为等比数列的前项和，，，则（

）A．0 B． C． D．3．已知等比数列的前项和为，，，则公比的值为（

）A．3 B． C． D．4．已知为等比数列，若，，则（

）A． B． C． D．5．设等比数列的前项和为，公比，若，则．6．设等比数列的前项和为，且，，则.【题型02：等比数列的片段和性质的应用】7．已知为等比数列的前项和，，，则（

）A． B． C． D．8．（多选）设正项等比数列的公比为q，前n项和为，则下列选项不正确的是（）A． B．C．，，成等比数列 D．9．已知等比数列的前项和为，若，且，则.10．已知是等比数列的前项和，，，则11．已知正项等比数列的前项和为，且，则.【题型03：等比数列奇偶项和的性质】12．在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（

）A．150 B．200 C．250 D．30013．已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（

）A．2 B．-2 C．-1 D．2或-214．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）A． B．C． D．15．若等比数列共有奇数项，且所有奇数项和，所有偶数项和，末项是192，则公比.16．等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比.17．设无穷等比数列所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为，求首项的值．【题型04：等比数列前n项和其他性质】18．记等比数列的前项和为.若，，则（

）A． B． C． D．19．设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（

）A． B．数列无最大值C．是数列中的最大值 D．20．设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（

）A． B． C． D．21．已知等比数列的前项和为，若，则.22．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号）.①②③的最大值为④的最大值为【题型05：等比数列中an与Sn的关系】23．已知数列的前项和满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．24．（多选）记为数列的前项和.若，则（

）A． B．C． D．25．在数列中，它的前项和为（为常数），若是以为公比的等比数列，则（

）A．0 B．1 C．3 D．426．已知等比数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．27．已知等比数列的前项和为，则．28．在等比数列中，前项和，则实数的值为．【题型06：等比数列的简单应用】29．海南有着深厚的排球运动传统，民间普及度高，被誉为“排球之乡”．已知一个排球从4m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，当这个排球第5次着地时，它经过的总路程是（

）A． B． C． D．30．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（

）A． B． C． D．31．近日，某网站发表了一项针对新冠肺炎疫情数据的最新分析，该研究显示，新冠病毒的中位潜伏期约4.75天，即病毒侵入人体到人体出现反应或开始呈现症状时平均4.75天；基本传染数（R0）达3.77，即每位患者平均传染3.77人．假如有一种细菌能够杀死新冠病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和500个病毒，则细菌将新冠病毒全部杀死至少需要（

）A．7秒钟 B．8秒钟 C．9秒钟 D．10秒钟32．龙门石窟､莫高窟､云冈石窟､麦积山石窟并称中国四大石窟.若某一石窟的某处浮雕像共7层，自上而下，每一层的浮雕像个数是其下一层的2倍，共有1016个浮雕像，这些浮雕像构成一幅优美的图案，若从最下层开始，往上每一层的浮雕像的个数构成数列，则的值为.33．已知一个热气球在第一分钟上升了的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它前一分钟上升高度的60%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（

）A． B． C． D．【题型07：等差数列、等比数列的综合问题】34．已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（）A．264 B．520 C．521 D．26535．已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，．若的前5项和与的前4项和都等于，则（

）A．30 B．32 C．42 D．4636．已知等比数列的首项，且是和的等差中项．数列的前项和为，且．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和．37．已知数列满足，若数列的前5项依次成等差数列，从第4项起依次成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.38．已知等差数列与等比数列满足，，.(1)求，的通项公式；(2)记，为数列的前项和.求39．已知数列的前n项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前n项和；(3)若，，成等差数列，其中p，q，r为正整数且，证明：，，是数列中连续的三项.一、单选题1．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（

）A．天 B．天 C．天 D．天2．数列中，，，若，则（

）A．11 B．10 C．9 D．83．某零件加工厂设备更新后，预计每月加工某零件的数量比上一个月增加10%.若该零件加工厂本月加工该零件1000件，从本月起（即本月为第1个月），该零件加工厂个月加工完2万件该零件，则的最小值是（

）（参考数据：）A．11 B．12 C．13 D．144．已知为等比数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．5．已知数列为公比为的等比数列，为数列的前n项和.设甲：公比；乙：.则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．12二、多选题7．已知公比为的正项等比数列的前3项和为，，则下列结论正确的有（

）A． B．C．数列是递减数列 D．8．已知数列是等差数列，是等比数列，且满足；，则下列说法正确的是（

）A．等差数列的公差B．等差数列的通项公式为C．等比数列的公比D．等比数列的前4项和为40或三、填空题9．已知等比数列的前项和为，且.若，则.10．已知等比数列的前3项和为168，前6项和为189，则数列的公比.11．已知是递增的等比数列，若，且的前项和，则.四、解答题12