2026年高二数学寒假自学课（人教B版）专题02 空间向量中的位置关系、夹角、距离7大题型（解析版）

专题02空间向量中的位置关系、夹角、距离7大题型内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点1：求平面法向量的方法①设出平面的法向量为)；②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：；③依据法向量的定义建立关于的方程组④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．知识点2：点到直线的距离设为直线l的单位方向向量，是直线外一点，设，向量在直线l上的投影向量为，则知识点3：点到平面的距离设已知平面的法向量为，是直线外一点，向量是向量在平面上的投影向量，则知识点4：直线和平面所成角设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则第一步：；第二步：.知识点5：平面与平面所成角（二面角）设，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小，则第一步：；第二步：若二面角为锐二面角，则；若二面角为钝二面角，则【题型01空间中点、直线和平面的向量表示】1．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意有：平面的法向量为，平面的法向量为，设直线的方向向量为，所以，令，得，而ACD中的向量与该向量均不共线，故选：B2．已知，则平面的一个法向量的坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】设平面的法向量，则，因为，所以，令，则，所以平面的一个法向量为．所以平面的一个法向量的坐标为，又，故坐标为的向量不与共线，故A错误；又，故坐标为的向量与共线，故B正确；又，故坐标为的向量不与共线，故C错误；又，故坐标为的向量不与共线，故D错误.故选：B．3．已知为平面的法向量，点，在直线上，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由可得或，所以推不出，当时，由于是平面的法向量，可得，所以可推出，综上，是的必要不充分条件.故选：B.4．在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是．【答案】(答案不唯一)【详解】因为，，，所以，设平面的一个法向量为，则，故可取，因为平面，所以，因为，所以，所以，故点的坐标满足即可，可取，故答案为：(答案不唯一).5．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，，，是中点，则，因此，对于A选项，，不是法向量，A错；对于B选项，，是法向量，B正确；对于C选项，，不是法向量，C错；对于D选项，，不是法向量，D错；故选：B．【题型02空间向量与位置关系】6．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则x的值为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【详解】由于，可得：，即，解得：.故选：B7．（多选）在正方体中，P为的中点，则（

）A． B．平面C．平面平面 D．平面平面【答案】ABD【分析】【详解】对于A：因为P为的中点，所以P是正方体体对角线的交点，故A，P，三点共线．连接，易知，，且平面，故平面因为平面，所以，即，故A正确；对于B：由上可知平面即为平面，因为，平面，平面，所以平面，故B正确；对于C：易知平面即为平面，因为P为的中点，所以P也为的中点，所以平面即为平面，且是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，而不与垂直，所以平面不与平面垂直，即平面不与平面垂直，故C错误；对于D：易知平面即为平面，平面即为平面，且是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，而，所以平面平面，故D正确．故选：ABD.

8．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界），平面，则点的轨迹的长度为.【答案】/【详解】由题知，两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，记的中点为，连接，因为为正方形，为中点，所以，且，所以为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，记点的轨迹与交于点，由题知平面，因为是平面内的相交直线，所以平面平面，所以即为点的轨迹，因为，所以，设，则，设为平面的法向量，则，令得，因为，所以，解得，则，又所以，所以.故答案为：9．如图，在棱长为4的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面上存在一点使得平面，则点的坐标为.

【答案】【详解】如图建系，因正方体的棱长为4，则，由点在上，且，可得由点在上，且，可得，则.又点是平面上一点，故可设，则，因平面，而平面，故，即得，解得.故点的坐标为.故答案为：.10．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．(1)求证：平面；(2)求证：平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】【详解】（1）证明：因为底面，平面，所以，因为，所以两两垂直，所以如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，因为，所以，所以，所以，，所以，，即，，又因为，平面，所以平面；（2）证明：由可得，则，，，设平面的法向量为，则，即令，得，，则是平面的一个法向量，因为，所以，因为平面，所以平面．11．如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点．(1)求证：平面；(2)若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明．【答案】(1)证明见解析(2)直线与平面相交，证明见解析【分析】【详解】（1）在三棱柱中，连接，设，连接，则是的中点，由为的中点，得，又平面，平面，所以平面.（2）直线与平面相交．在三棱柱中，取的中点，连接，由为的中点，得，由为正三角形，且为的中点，得．由平面，得平面，于是直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，取，得，而，且，则，由，得与不垂直，即向量不平行于平面，因此平面，且与平面不平行，所以直线与平面相交.【题型03求线线角、线面角、面面角】12．如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的点，，则平面与平面所成角的正切值为（

）

A．1 B． C． D．【答案】C【详解】设为的中点，由正三棱柱的性质，，，两两垂直，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．

则，，，，，，可得，，设平面的法向量，则，令，则，可得，平面的法向量，设平面与平面所成角为，则，可得，所以.故选：C．13．（多选）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，为中点，，记平面为，则（

）A．当时，直线与所成角的正弦值为B．当时，直线与所成角的正弦值为C．当时，平面与所成角的余弦值为D．当时，平面与所成角的余弦值为【答案】AC【详解】不妨设，直线与所成角为，平面与的夹角为，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，设平面的法向量，则，即，令，则，当时，由得，故，，设的法向量，则，即，令，则，，，故AC正确；当时，,则，故，，设的法向量，则，即，令，则，,，故BD错误，故选：AC.14．如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，，，点是棱的中点.(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)；(2)．【分析】【详解】（1）连接，交于点，因为是菱形，所以，分别以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，，，则，所以,点是棱的中点,则，，，所以异面直线与所成角的余弦值为；（2）由（1）知，设平面的一个法向量是，则，取得，，，所以直线与平面所成角的正弦值为．15．如图，在四棱锥中，平面，，，，，．(1)求；(2)求异面直线与夹角的余弦值；(3)求直线与平面所成角的大小．【答案】(1)6(2)(3)【分析】【详解】（1）因为平面，，以为坐标原点，分别为轴，与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，，则，，所以.（2）由（1）可知：，，则，所以异面直线与夹角的余弦值为.（3）由（1）可知：，，，设平面的法向量为，则，令，则，可得，设直线与平面所成角为，则，可得，所以直线与平面所成角的大小为.16．如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点是棱的中点，点在棱上，.

(1)证明：直线平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值；(3)求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析.(2)(3)【分析】【详解】（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则；为平面的一个法向量，，因为，所以，因为直线平面，所以直线平面.（2）设为平面的法向量，;所以，令，则，则.所以.所以直线与平面所成角的余弦值为.（3）设为平面的法向量，因为，所以;所以,;，令，则，则；为平面的法向量；则；所以平面与平面的夹角的余弦值为.

17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，M为中点，过点A作的垂线交于点N，交于点E.

(1)证明：平面；(2)若，，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】【详解】（1）平面平面，平面平面，，平面，平面又平面，，又，，平面，平面.（2）由题意可得两两互相垂直，以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，.

设，则．，，，解得，则.设平面ACE的法向量为，由，令，可得，则平面的一个法向量为，由（1）得为平面的一个法向量，设平面与平面所成角为，则则，因此，平面与平面所成角的余弦值为.18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，.(1)证明：平面平面.(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】【详解】（1）因为四边形是矩形，所以，，因为，，平面，所以平面，平面，因为平面，所以平面平面.（2）由（1）可知，是直角三角形，所以，在中，，所以是直角三角形，即，因为，平面，所以平面，即两两互相垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则，取，则，所以平面的一个法向量为，平面的一个法向量可以为，设平面与平面夹角，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.【题型04已知线面角、面面角求其他】19．如图，在直四棱柱中，分别是侧棱上的动点，且平面AEF与平面ABC所成的（锐）二面角为30°，则BE最大值为（）A． B． C． D．1【答案】C【详解】解：如图建立空间直角坐标系，设，，则，，，设面的法向量为，则，令，则，，所以，显然为面的一个法向量，因为平面AEF与平面ABC所成的（锐）二面角为30°，所以所以所以，所以当时，取得最大值故选：C【点睛】本题考查了立体几何中的二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则．【答案】【详解】如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，因为棱柱为正四棱柱，设，则，其中平面的一个法向量为，设与平面所成角为，则，得：，即故答案为：21．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为.【答案】2【详解】由题意知在四棱锥中，平面，底面是矩形，以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，设，则，设平面的一个法向量为，则，令，得，设直线与平面所成的角为，因为直线与平面所成角的正弦值为，即，所以，即，解得或（舍去），所以，故的长为2.故答案为：222．如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，．(1)证明：；(2)求异面直线EF与BC所成角；(3)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)1.【分析】【详解】（1）在圆台中，由为该圆台的母线，得的延长线交于一点，所以四点共面，而平面平面，平面平面，平面平面，所以.（2）连接，由直线为圆台的轴，得的延长线交于一点，由（1）同理得，由，得，则，而，因此，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，则，即，所以异面直线EF与BC所成角为.（3）由（2）得，设平面与平面的法向量分别为，则，取，得，，取，得，由二面角的余弦值为，得，所以，所以圆台的高的长为1.23．如图，在三棱锥中，，，是线段上的点.

(1)求证：平面平面；(2)若为中点，求三棱锥的体积；(3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】【详解】（1）取的中点，连接、，因为，，则，

所以，所以，所以，又因为，所以，则，又因为，所以，又因为，，、平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）过点作的平行线，交于点，由（1）知，平面，所以平面，又因为为中点且，所以，所以.（3）因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，所以，，因为为棱上的点，设，其中，所以，，且，设平面的法向量为，则，不妨取，可得，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，则，化简可得：，解得：或（舍去）.所以.24．如图，在直三棱柱中，，，M为侧面的对角线的交点，D，E分别为棱，的中点．(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)2或4．【分析】【详解】（1）证明：因为M为侧面的对角线的交点，直棱柱中，四边形是矩形，所以M是的中点，M是的中点，因为D，E分别为棱，的中点，所以，，因为平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，因为，，平面，所以平面平面．（2）解：由，得，所以，又因为直棱柱中，平面，所以可以为原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，．设平面的一个法向量为，则，取，则，设直线与平面所成角为，则，所以，由解得，或，所以的长为2或4．25．四棱锥中，底面是矩形，，，．(1)证明：；(2)设，若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】【详解】（1）由题易知，，又，，平面，所以平面．以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过点作平面建立如图所示的空间直角坐标系．设，，，则，，，，则，，则，所以．（2）由（1）易知，平面，因为平面，所以，又，且，平面，所以平面，即是平面的一个法向量，．设直线与平面所成的角为，又，则，解得，又，所以，则，此时，所以.【题型05空间中的距离问题】26．已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意知，所以点到平面的距离.故选：A.27．如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】A【详解】由取的中点为，连接，则，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又因为，所以可如图建立空间直角坐标系：

由，则，可得：，又因为为的中点，所以，即，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，则点到平面的距离为，故选：A.28．正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】点在上，点在上，则的长度最小值即异面直线和的距离，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，设为直线和的法向量，又因为，，，则，令，则，所以异面直线和的距离为，即的长度最小值为.故选：C.29．已知点，，，，则过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为．【答案】【详解】解：因为点，，，，所以，设平面ABC的一个法向量为，则，即，令，得，则，所以过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为，故答案为：30．如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为.

【答案】【详解】由题意得，以B为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，,，，，，设点D到直线的距离为，则，故答案为：.31．如图，在四棱锥中，底面，，，，，E为棱的中点.

(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.

可得，，，，由为棱的中点，得，，，.设为平面的法向量，则，即，令，则，，得为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.（2）向量，设平面的法向量，，即，令，则，，得为平面的一个法向量，则，所以点到平面的距离为.32．如图，在长方体中，．(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】【详解】（1）已知是长方体，且，四边形是平行四边形，则，且，四边形是平行四边形，则，又平面，又平面，，平面，平面，，故平面平面.（2）已知是长方体，以为原点，为轴建立空间坐标系，由可得：，，，，，，，，设平面的法向量，则，取，计算得：，，故平面的法向量为，点到平面的距离.【题型06翻折问题】33．如图1，正方形中，，，是的中点.将沿折叠到的位置，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】连接，如图，由题意可知，，又平面平面，是交线，平面，所以平面，又平面，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，由，，知为的中点，则，,,，设平面的一个法向量，则，令，则，即，设直线与平面所成角为，则，故选：C34．（多选）已知中，，，，为边上（除端点外）一点，将沿边翻折起至，使得平面平面.下列说法正确的是（

）A．为角平分线时，四面体的外接球半径为B．为角平分线时，异面直线与所成角的余弦值为C．为角平分线时，平面与所成角的正切值为D．线段长度的最小值为，此时为角平分线【答案】ABD【详解】对于A，在中，由，可得，所以为直角三角形，折叠后得且，所以是直角三角形，其外接圆的直径为，圆心为的中点，因为为角平分线，可得，在中，由，且，设外接圆的半径为，由正弦定理，可得，可得，因为平面平面，所以四面体外接球的半径等于外接圆的半径为，所以A正确；对于B，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，所以，则，所以异面直线与所成角的余弦值为，所以B正确；对于C，由向量，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，又由平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，则，所以C错误；对于D，设，其中，则，因为平面平面，可得，在中，由余弦定理得，当，即，即时，取得最小值，此时，此时为的平分线，所以D正确.故选：ABD.35．（安徽省六校联考2025-2026学年高三上学期1月素质检测数学试题）如图1，在梯形中，，为的中点，，，，将沿折叠，得到图2所示的四棱锥，且使得二面角的大小为，点为棱上一点.

(1)若为的中点，证明:平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】【详解】（1）证明:为的中点，，所以，将沿折叠后，得到四棱锥，所以，又为的中点，所以，①又，即，，且，，平面，所以平面，又平面，所以，②又平面，③所以平面.（2）因为，所以二面角的平面角为，由已知，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意，所以，设平面的一个法向量为，由，令，则，所以，因为点为棱上一点.，故平面即为平面因为，设平面的一个法向量为，由，令，则，所以，设平面与平面所成的锐二面角为，所以，所以平面与平面所成角的余弦值的大小为36．如图（1）点，分别为矩形边，的中点，.，.将，分别沿，折叠得几何体，如图（2），平面与平面所成的二面角为.平面与平面的二面角为.(1)当时，证明：点，，，共面；(2)当时，求平面与平面所成二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】【详解】（1）由题易知四边形为正方形，，，，，平面，平面，平面，平面平面，平面平面，过点，作平面，，同理过点，作平面，，，连接.，，，，，四边形为平行四边形，.连接，，，，，又，，点，，，共面.（2）由（1）知当时，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，.设平面的法向量为，则即令，则，.即平面的一个法向量为.平面，平面的一个法向量为，，当时，平面与平面所成二面角的余弦值为.37．已知五边形是由等边三角形与矩形拼接而成，如图1所示，其中；现沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图2所示，其中点为线段的中点，在线段上，且平面.

(1)求证：为线段的中点；(2)已知点在线段上（包含端点位置），求直线与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】【详解】（1）由题意得，令，则，连接，作，则由矩形性质得，因为平面平面，面，所以面，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，因为等边三角形，所以由勾股定理得，，则，得到，，，设面的法向量为，，则，令，解得，则面的法向量为，由题意得在线段上，则，可得，而，则，解得，则，得到，因为平面，所以，则，解得，此时，故为线段的中点.（2）由题意得在线段上，则，由已知得，则，设，则，可得，解得，可得，由已知得，则，而，，设面的法向量为，则，令，解得，则面的法向量为，设直线与平面所成角为，，则，则，令，可将化为，令，由二次函数性质得在上单调递增，则最小值为，此时取得最大值，，结合题意可得，当取得最大值时，也取得最大值，则最大值为.38．如图，在等腰梯形中，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得为棱的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】【详解】（1）取的中点，连接.因为中，为所在边的中点，所以在梯形中，，所以，所以，所以四边形是平行四边形，所以.又平面平面，所以平面.（2）由题意，在等腰梯形中，为边上靠近点的三等分点，所以，即，又，因此，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.在中，，由勾股定理易得，则.又为棱的中点，所以，则，因为，即平面，所以平面，所以平面的一个法向量设平面的一个法向量，，令，则，所以平面的一个法向量.记二面角的平面角为，则，所以，所以二面角的正弦值为.39．如图，在梯形中，，，，，是的中点，将沿翻折至，使得.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】【详解】（1）连接交于点，连接，，，，为等腰直角三角形，，，则为中点，，，在Rt中，，，在中，，在中，，，，，，又，，平面，平面，又平面，平面平面.（2）由（1）可知平面，又，平面，，，，，两两垂直，易知，，，方法1：如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，，，设平面的法向量为，则取，得，，则，易知平面的法向量为设平面与平面的夹角为，则，平面与平面夹角的余弦值为方法2：如图，分别延长，交于点，则，，过作垂直于，连接，，，，平面，平面，平面，，又，，平面，平面，平面，，平面与平面的夹角即为，易知，，故，.【题型07存在性问题】40．如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，点位于线段的靠近点的三等分点【分析】【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以；因为平面平面，又平面平面，又面，所以平面；取边的中点记为，则；以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，记平面的法向量为，所以，不妨取，得，所以为平面的一个法向量；记直线与平面的所成角为，则，所以，直线与平面所成角的正弦值为（2）设，其中，，，，，，记平面的一个法向量为，则有，不妨取，解得，即；

则点到平面的距离，整理得：即，解得或（舍去），所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为．41．如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)(3)存在；【分析】【详解】（1）证明：连接，因为在直三棱柱中，四边形是平行四边形，点为的中点.所以点为的中点，又因为点为的中点，所以，又平面，平面所以平面（2）因为，为中点，所以，且，过作平面，以为原点，分别为轴的正方向，则，，设平面的一个法向量为，则，取，则，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为（3）设，则，，由在平面内可知，即，解得，所以存在点，当时，点在平面内.42．如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形.侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且.(1)求直线与底面所成角大小；(2)求点到侧面的距离；(3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】【详解】（1）因为点在底面上的投影为的中点，所以面，所以直线与底面所成角就是，因为侧面为菱形，的中点是，所以，所以，则.（2）如图所示，底面是以为斜边的等腰直角三角形，点在底面上的投影为的中点，所以以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，所以，因为侧面为菱形，，所以.可得，所以，设平面的法向量，则，即，令，解得，即平面的一个法向量，则点到侧面的距离为.（3）设，由（2）可知，则，由（2）可知平面的一个法向量，设直线与侧面所成角为，则，可得，解得，因为，所以，即，所以.43．如图，在多面体中，平面平面四边形为平行四边形，为的中点.(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)在线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，【分析】【详解】（1）证明：在中，因为所以所以所以又平面平面平面平面平面所以平面又平面所以.（2）由（1）知平面平面，所以又所以两两垂直.以所在的直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，则因为四边形是平行四边形，所以，所以，.设平面的一个法向量因为所以即令则所以所以点到平面的距离.（3）假设线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为.设由（2）知,则所以设平面的一个法向量因为所以即令则所以由（2）知平面的一个法向量为：设平面与平面的夹角为则解得或（舍）.所以存在点使得满足要求，此时即.44．如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，P点在A点处时平面与平面的夹角为.【分析】【详解】（1）取中点，连接∵四边形为矩形，∴点为中点，∴且，又∵且，∴且，∴四边形为平行四边形，即，∵平面，∴平面.（2）∵，且平面平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴，故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，∴，，，，，，，，设为平面的一个法向量，则，解得，即，设直线与平面所成角为，则（3）由（2）可知平面的一个法向量为，设存在，则，，设平面的一个法向量为，则，解得，即，则，∴，即，所以存在符合题意的点P，当P点在A点处时平面与平面的夹角为.45．如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，侧面为菱形，点在底面上的射影为AC的中点D．利用空间向量法求解下列问题．

(1)求证：．(2)求直线与底面ABC所成角大小．(3)求点C到侧面的距离．(4)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)(3)(4)存在，.【分析】【详解】（1）证明：点在底面上的射影为的中点，平面．平面，．又底面是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点，．以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

是以为斜边的等腰直角三角形，．在中，有．，，，；（2）由（1）可知，为平面的一个法向量，即．又，设与平面所成角为，则．直线与底面所成角为；（3）由（1）可知，，设平面的法向量为，则，即，令，得，则，则点到侧面的距离；（4）假设存在满足条件的点，则存在，使得，则．由（3）知，平面的一个法向量为．直线与侧面所成角的正弦值为，，即，解得，又，故，因此存在满足条件的点，且，即．一、单选题1．在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，所以，，设异面直线与所成的角为，则，故选：D.2．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【详解】对于A，若，则，即，故A正确；对于B，若，得，则，解得，故B错误；对于C，若，得，所以，所以，则或，故C错误；对于D，若，得，则，解得，，故D错误.故选：A3．在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（

）A． B． C．1 D．【答案】D【详解】因为，平面，平面，所以平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设点到平面的距离为，则，故直线到平面的距离为.故选：D4．在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP.由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直，则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.因为，，所以，，，所以，，则点到直线EF的距离是.故选：B5．如图，在长方体中，，，那么直线与平面ACD1所成的角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，得，设直线与平面所成的角为，则，.故选：B.二、多选题6．如图，在正方体中，下列结论正确的是（

）A．平面 B．平面C．与所成的角为 D．平面平面【答案】BCD【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系：设该正方体的棱长为，.A：设平面的法向量为，，所以有，可以取，因为，所以不互相垂直，因此平面不成立，故本选项结论不正确；B：设平面的法向量为，，所以有，可以取，因为，所以，所以平面，故本选项结论正确；C：因为，所以，因此与所成的角为，所以本选项结论正确；D：设平面的法向量为，，所以有，可以取，设平面的法向量为，，所以有，可以取，因为，所以，因此平面平面，所以本选项结论正确，故选：BCD7．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（

）A．直线与平面所成角的正弦值为B．点到平面的距离为2C．直线与所成角的正切值是2D．平面截正方体所得的截面面积为【答案】ABD【详解】如图建立空间直角坐标系：设D点为原点，为x轴，为y轴，为z轴.，，，，，对于A，平面的法向量为,直线的方向向量为,设直线与平面所成角，则,故A正确.对于B，,设面的法向量为,，,令得,距离，故B正确.对于C，，，设直线与所成角为，则所以，，故C不正确；对于D，因为,连,，所以平面截正方体所得的截面是等腰梯形,上底,下底,腰，所以面积,故D正确.故选：ABD.三、填空题8．在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为．【答案】【详解】平面的方程为，平面的一个法向量，同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量，设平面与平面的交线的方向向量为，则，取，则设直线l与平面所成角为，则.故答案为：9．如图所示，在四棱锥中，平面；底面是矩形，且，，、分别是、的中点.若记直线与平面的交点为，则点到平面的距离为.

【答案】【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则；设平面的法向量为，根据法向量的性质得：，令，则，所以，设，则，所以，因为在平面上，所以，，则，解得，所以；因为平面为平面，点到平面的距离为点的坐标，即；故答案为：.四、解答题10．如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，点在线段上，点N在线段AC上，满足平面.(1)若点M是线段的中点，求线段AN的长度；(2)若点N是线段AC上靠近A的三等分点，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】(1)；(2).【分析】【详解】（1）在三棱