2026年高二数学寒假自学课（人教B版）专题02 空间向量中的位置关系、夹角、距离7大题型（原卷版）

专题02空间向量中的位置关系、夹角、距离7大题型内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点1：求平面法向量的方法①设出平面的法向量为)；②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：；③依据法向量的定义建立关于的方程组④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．知识点2：点到直线的距离设为直线l的单位方向向量，是直线外一点，设，向量在直线l上的投影向量为，则知识点3：点到平面的距离设已知平面的法向量为，是直线外一点，向量是向量在平面上的投影向量，则知识点4：直线和平面所成角设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则第一步：；第二步：.知识点5：平面与平面所成角（二面角）设，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小，则第一步：；第二步：若二面角为锐二面角，则；若二面角为钝二面角，则【题型01空间中点、直线和平面的向量表示】1．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（

）A． B． C． D．2．已知，则平面的一个法向量的坐标为（）A． B． C． D．3．已知为平面的法向量，点，在直线上，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是．5．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（

）A． B． C． D．【题型02空间向量与位置关系】6．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则x的值为（

）A． B．1 C．2 D．7．（多选）在正方体中，P为的中点，则（

）A． B．平面C．平面平面 D．平面平面8．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界），平面，则点的轨迹的长度为.9．如图，在棱长为4的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面上存在一点使得平面，则点的坐标为.

10．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．(1)求证：平面；(2)求证：平面．11．如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点．(1)求证：平面；(2)若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明．【题型03求线线角、线面角、面面角】12．如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的点，，则平面与平面所成角的正切值为（

）

A．1 B． C． D．13．（多选）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，为中点，，记平面为，则（

）A．当时，直线与所成角的正弦值为B．当时，直线与所成角的正弦值为C．当时，平面与所成角的余弦值为D．当时，平面与所成角的余弦值为14．如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，，，点是棱的中点.(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求直线与平面所成角的正弦值.15．如图，在四棱锥中，平面，，，，，．(1)求；(2)求异面直线与夹角的余弦值；(3)求直线与平面所成角的大小．16．如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点是棱的中点，点在棱上，.

(1)证明：直线平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值；(3)求平面与平面的夹角的余弦值.17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，M为中点，过点A作的垂线交于点N，交于点E.

(1)证明：平面；(2)若，，求平面与平面所成角的余弦值.18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，.(1)证明：平面平面.(2)求平面与平面夹角的余弦值.【题型04已知线面角、面面角求其他】19．如图，在直四棱柱中，分别是侧棱上的动点，且平面AEF与平面ABC所成的（锐）二面角为30°，则BE最大值为（）A． B． C． D．120．正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则．21．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为.22．如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，．(1)证明：；(2)求异面直线EF与BC所成角；(3)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长．23．如图，在三棱锥中，，，是线段上的点.

(1)求证：平面平面；(2)若为中点，求三棱锥的体积；(3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.24．如图，在直三棱柱中，，，M为侧面的对角线的交点，D，E分别为棱，的中点．(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．25．四棱锥中，底面是矩形，，，．(1)证明：；(2)设，若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【题型05空间中的距离问题】26．已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．27．如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（

）

A． B． C． D．28．正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（

）A． B． C． D．29．已知点，，，，则过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为．30．如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为.

31．如图，在四棱锥中，底面，，，，，E为棱的中点.

(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求点到平面的距离.32．如图，在长方体中，．(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离．【题型06翻折问题】33．如图1，正方形中，，，是的中点.将沿折叠到的位置，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．34．（多选）已知中，，，，为边上（除端点外）一点，将沿边翻折起至，使得平面平面.下列说法正确的是（

）A．为角平分线时，四面体的外接球半径为B．为角平分线时，异面直线与所成角的余弦值为C．为角平分线时，平面与所成角的正切值为D．线段长度的最小值为，此时为角平分线36．如图（1）点，分别为矩形边，的中点，.，.将，分别沿，折叠得几何体，如图（2），平面与平面所成的二面角为.平面与平面的二面角为.(1)当时，证明：点，，，共面；(2)当时，求平面与平面所成二面角的余弦值.37．已知五边形是由等边三角形与矩形拼接而成，如图1所示，其中；现沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图2所示，其中点为线段的中点，在线段上，且平面.

(1)求证：为线段的中点；(2)已知点在线段上（包含端点位置），求直线与平面所成角的正弦值的最大值.38．如图，在等腰梯形中，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得为棱的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.39．如图，在梯形中，，，，，是的中点，将沿翻折至，使得.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【题型07存在性问题】40．如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．41．如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.42．如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形.侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且.(1)求直线与底面所成角大小；(2)求点到侧面的距离；(3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.43．如图，在多面体中，平面平面四边形为平行四边形，为的中点.(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)在线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.44．如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由.45．如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，侧面为菱形，点在底面上的射影为AC的中点D．利用空间向量法求解下列问题．

(1)求证：．(2)求直线与底面ABC所成角大小．(3)求点C到侧面的距离．(4)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．一、单选题1．在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（

）A． B． C．1 D．4．在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（

）A． B． C． D．5．如图，在长方体中，，，那么直线与平面ACD1所成的角的余弦值是（

）A． B． C． D．二、多选题6．如图，在正方体中，下列结论正确的是（

）A．平面 B．平面C．与所成的角为 D．平面平面7．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（

）A．直线与平面所成角的正弦值为B．点到平面的距离为2C．直线与所成角的正切值是2D．平面截正方体所得的截面面积为三、填空题8．在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为．9．如图所示，在四棱锥中，平面；底面是矩形，且，，、分别是、的中点.若记直线与平面的交点为，则点到平面的距离为.

四、解答题10．如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，点在线段上，点N在线段AC上，满足平面.(1)若点M是线段的中点，求线段AN的长度；(2)若点N是线段AC上靠近A的三等分点，求平面与平面所成角的余弦值.11．已知直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点，且.

(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.12．在三棱锥中，，，为边的中点，，且平面.

(1)在直线上是否存在一点M，使得直线平面?