2026年高二数学寒假自学课（人教B版）专题05 椭圆与方程11大题型（原卷版）

专题05椭圆与方程11大题型内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点1：椭圆的定义我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距．根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集．知识点2：椭圆的标准方程椭圆焦点在轴上焦点在轴上标准方程图形焦点坐标焦距的关系知识点3：椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程图形对称性对称轴x轴和y轴,对称中心范围顶点轴长长轴长,短轴长焦点焦距离心率注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度．由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时,,两焦点重合,图形变为圆,方程为知识点4：直线与椭圆的位置关系1．直线与椭圆的三种位置关系类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示．2．利用方程讨论直线与椭圆的位置关系设直线方程为,椭圆方程为,由方程组消去一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则有下列结论：直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交；直线与椭圆有且只有一个公共点⇔直线与椭圆相切；直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离．3．弦长问题设直线交椭圆于点两点,则同理可得可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形：4.中点弦问题点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率【题型01椭圆的定义及其应用】1．设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（

）A． B．C． D．2．已知椭圆的左、右焦点分别是，且是椭圆上的一点．若，则（）A． B．1 C． D．53．设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（

）A． B． C． D．4．为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，，，在上，，关于点对称，，关于直线对称，则四边形的周长为（

）A．2 B．4 C．6 D．85．为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（）A． B．C．3 D．【题型02求椭圆的标准方程】6．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为．7．中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为.8．已知椭圆C：（）的右焦点为，若点F到C的上顶点的距离是点F到C的右顶点的距离的2倍，则．9．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过点，两点，则椭圆的方程为10．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点，均在x轴上，C的面积为，过点的直线交C于点A，B，且的周长为8．则C的标准方程为．11．求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程.【题型03椭圆的焦点三角形】12．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且周长为16，则的取值范围为（）A．（8，12） B．（8，16） C．（4，6） D．（4，8）13．设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（

）A． B．2 C．1 D．14．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（

）A．的周长为16 B．面积的最大值为12C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为15．已知椭圆的左、右焦点分别是，且是面积为的正三角形．过垂直于的直线交椭圆于两点，则的周长为．16．取两颗小钉子并钉在一张平板上（平板上垫有纸），将一条绳子两端固定在这两只钉子上，且绳长为12，用铅笔尖将绳子拉紧，使笔尖顺势在平板上移动一圈，则笔尖在纸上画出的图形是一个椭圆.在上述实验中，笔尖与两个钉子所围成的三角形的面积的最大值是.17．椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，，则．【题型04椭圆的几何性质】18．已知椭圆的焦点在轴上，且其短轴长等于焦距，则（

）A． B． C． D．219．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（）A． B． C． D．20．把椭圆的长轴分为2024等份，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于2023个点，F是椭圆的一个焦点，则这2023个点到F的距离之和为（

）A．10120 B．10110 C．10115 D．1011021．若椭圆：（）仅经过，，中的一个点，则椭圆的短轴长为（

）A．2 B．4 C． D．22．曲线与曲线的（

）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等23．已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为.【题型05求椭圆的离心率】24．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积是的面积的两倍，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．25．已知椭圆的左、右焦点为，，过点与曲线相交于两点若，以为直径的圆过点，则的离心率为（

）A． B． C． D．26．已知、分别是椭圆（）的左右焦点，A、B是以坐标原点为圆心，以为半径的圆与该椭圆在轴左侧的两个交点，且是等边三角形，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．27．设椭圆的左、右焦点分别是、，为椭圆上的一点，且，，则该椭圆的离心率为.28．已知椭圆的半焦距为c，原点O到经过两点，的直线的距离为，则椭圆C的离心率为．29．已知椭圆：，曲线：，曲线与椭圆在第一象限内有两个交点，，若的斜率为，则椭圆的离心率为.30．设椭圆的焦点为，，是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【题型06求椭圆离心率的取值范围】31．已知椭圆的左、右焦点分别是，其中．椭圆上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．32．若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．33．已知为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，若满足的点恰好有4个，则此椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．34．已知椭圆的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为．35．已知椭圆，点在直线上，直线交椭圆于点，且为线段的中点，则椭圆的离心率的取值范围是．36．已知，分别是椭圆的左､右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为.【题型07与椭圆有关的轨迹方程问题】37．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B． C． D．38．已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．39．已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（

）A． B．C． D．40．已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．41．设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（

）A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆42．已知圆的方程为，，为圆上任意一点，的中垂线与相交于点．求点的轨迹方程．【题型08椭圆的实际问题】43．“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，，则就是“天问一号”在点时对火星的观测角．图（2）所示的四个点处，对火星的观测角最小的是（

）A． B． C． D．44．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（

）

A． B．C． D．45．韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．46．如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为．47．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．(1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米）(2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米）以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式．②柱体的体积为底面积乘以高，，．【题型09椭圆的弦长问题】48．已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则.49．已知椭圆两顶点，，过焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，当时，直线l的方程为.50．已知椭圆的离心率为，右焦点..(1)求椭圆的标准方程；(2)过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求.51．已知椭圆的右焦点为，过焦点的直线与椭圆交于两点，且弦长，求直线的斜率.52．已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点.(1)求椭圆的方程；(2)已知，过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，求的面积.53．已知点在椭圆上，是坐标原点，是椭圆的右顶点，的面积是.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知斜率为1的直线交椭圆于不同的两点，，求的取值范围.【题型10椭圆的中点弦问题】54．若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为．55．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则．56．已知椭圆：，若直线与椭圆相交于不同的两点，，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为．57．斜率为的直线与椭圆相交于两点，的中点为，则．58．过点作斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为.59．已知，为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，则点的横坐标为．60．过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为.【题型11椭圆的综合问题】61．（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若，是上关于原点对称的两点为第一象限内一点），是上异于，的一点，直线与轴交于点，为的离心率，则下列说法正确的是（

）A．若能成立，则的取值范围为B．若，则的面积为C．直线与的斜率之积为D．若，的横坐标是的横坐标的4倍，则62．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．若椭圆是“黄金椭圆”，则，若“黄金椭圆”两个焦点分别为，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则63．已知椭圆（）M，N分别为E的上顶点、右顶点，，坐标原点O到直线MN的距离为(1)求的方程.(2)若为上不同的两点，的面积为直线的斜率均存在且分别为.（i）证明:为定值；（ii）设P为线段的中点，点，求面积的最大值.64．已知椭圆的离心率，左右焦点分别为，直线过椭圆的右焦点分别交椭圆于两点，周长为(1)求椭圆的方程．(2)若弦长为，求直线的方程．(3)是否存在使为直径的圆过，若存在求出直线方程，若不存在，说明理由．65．已知椭圆（）的离心率为，且过点．(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，．①求证：为定值；②求的面积S的最大值．66．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离和E到直线的距离之比是常数.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点的动直线(斜率存在)与曲线C交于，两点，在x轴上存在点，使得,试问是否为定值，若是，求出的值；若不是，请说明理由.67．（多选）已知椭圆的左、右顶点分别为，且的离心率为，点在直线上，点为直线上的动点，直线与的另一个交点为，记线段的中点为，则下列说法正确的是（

）A．B．当时，的面积为C．当变化时，直线与直线的斜率之积恒为定值D．存在，满足一、单选题1．椭圆的左焦点坐标为（

）A． B． C． D．2．已知方程表示椭圆，则实数m的范围是（

）A． B．C． D．3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（

）A．的周长为6B．面积的最大值为C．的取值范围为D．的最小值为4．若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．5．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则下列结论错误的是（）A．椭圆的离心率为 B．的周长为6C．椭圆上存在点，使得 D．若，则的面积为6．已知半径为1的动圆圆心在直线上，过椭圆上一点作圆的切线，切线长的最小值为（

）A．2 B．