第七章第40节空间直线、平面的平行

第40节空间直线、平面的平行考试要求考题分析1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系的定义.2.理解空间中有关平行的性质定理和判定定理,并加以证明.3.能运用已获得的结论证明空间中有关平行关系的简单命题.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷2022年-T202023年T18-2024年T17-【主干梳理基础落实】【知识梳理】1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点,则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理项目文字语言图形表示符号表示判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α性质定理一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b[注意点]a∥b,b⊂αa∥α,因为a可能在平面α内.2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理项目文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒α∥β性质定理两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b[注意点]α∥β,a⊂α,b⊂β/⇒a∥b,因为a与b可能是异面直线.【常用结论】1.垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.2.平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.3.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面,即若α∥β,a⊂α,则a∥β.4.两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.【知能自测】类型回源教材澄清盲点结论应用题号2,3141.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若a,b是两条直线,且a∥b,则a平行于经过b的任何平面.(×)(2)若直线a和平面α满足a∥α,则a与α内的任何直线平行.(×)(3)平面α内有无数条直线与平面β平行,平面α与平面β平行.(×)(4)若两个平面平行,则分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(√)2.(必修第二册P137例2变式)在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则直线AC和平面DEF的位置关系是()A.平行 B.相交 C.在平面内 D.不能确定【解析】选A.如图,由AEEB=CFFB得AC∥EF,又因为EF⊂平面DEF,AC⊄平面DEF,所以AC∥3.(必修第二册P138例3变式)如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是()A.异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能【解析】选B.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,因为AB⊂平面ABC,A1B1⊄平面ABC,所以A1B1∥平面ABC.因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE,所以DE∥A1B1,所以DE∥AB.4.如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=2cm,DE=4cm,EF=3cm,则AC的长为________cm.

【解析】过点D作直线AB的平行线分别交平面β与平面γ于点M,N,连接AD,BM,CN,ME,NF,如图所示,所以AD∥BM∥CN,ME∥NF,所以ABBC=DMMN=DEEF.因为AB=2cm4cm,EF=3cm,所以2BC=43,解得BC=所以AC=AB+BC=2+32=72答案:7【考点探究核心突破】考点一直线与平面平行的判定与性质角度1直线与平面平行的判定【例1】(一题多法)如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,E,F分别是PA,BD上的点,且PE∶EA=BF∶FD.求证:EF∥平面PBC.【证明】(法一)连接AF并延长交BC于点G,连接PG.因为BC∥AD,所以FGFA=FB又因为PEEA=BFFD,所以PEEA=GFFA,又因为PG⊂平面PBC,EF⊄平面PBC,所以EF∥平面PBC.(法二)过点F作FM∥AD,交AB于点M,连接EM.因为FM∥AD,AD∥BC,所以FM∥BC.又因为FM⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以FM∥平面PBC.由FM∥AD得BMMA=BFFD.又因为PEEA=BFFD,所以PEEA=BM因为PB⊂平面PBC,EM⊄平面PBC,所以EM∥平面PBC.因为EM∩FM=M,EM,FM⊂平面EFM,所以平面EFM∥平面PBC.因为EF⊂平面EFM,所以EF∥平面PBC.思维升华1.线面平行的证明方法(1)定义法:一般用反证法.(2)判定定理法:关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行,证明时注意用符号语言叙述证明过程.(3)性质法:即两平面平行时,其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.2.构造平行直线的常用方法(1)构建三角形或梯形的中位线:可直接利用线段的中点、等腰三角形三线合一或利用平行四边形对角线的交点找中点,从而构建中位线.(2)构建平行四边形:可以利用已知的平行关系(如梯形的上下底边平行)或构建平行关系(如构造两条直线同时平行于已知直线),从而构建平行四边形.对点训练如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为矩形,AB=2,平面ABCD⊥平面CDD1C1,E,F分别为AA1,CD的中点.证明:EF∥平面A1CD1.【证明】连接DC1,与D1C交于点G,连接A1G,FG,易知点G为D1C的中点.在△D1DC中,因为G,F分别为D1C,DC中点,所以FG∥D1D,且FG=12D1因为E为AA1的中点,所以A1E∥D1D,且A1E=12D1D所以FG∥A1E,且FG=A1E,因此四边形A1EFG为平行四边形,则EF∥A1G,又EF⊄平面A1CD1,A1G⊂平面A1CD1,所以EF∥平面A1CD1.角度2直线与平面平行的性质【例2】如图所示,已知四边形ABCD是正方形,四边形ACEF是矩形,EF⊄平面ABCD,M是EF的中点.(1)求证:AM∥平面BDE;(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,试分析l与m的位置关系,并证明你的结论.【解析】(1)记AC与BD的交点为O,连接OE,OM(图略).因为O,M分别是AC,EF的中点,四边形ACEF是矩形,所以四边形AOEM是平行四边形,所以AM∥OE.因为OE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,所以AM∥平面BDE.(2)l∥m,证明如下:由(1)知,AM∥平面BDE.因为AM⊂平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,所以l∥AM.因为AM⊂平面ABM,平面ABM∩平面BDE=m,所以m∥AM,所以l∥m.思维升华应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.对点训练如图所示,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.求证:AB∥平面EFGH.【证明】因为四边形EFGH为平行四边形,所以EF∥HG.因为HG⊂平面ABD,EF⊄平面ABD,所以EF∥平面ABD.又EF⊂平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,所以EF∥AB.又EF⊂平面EFGH,AB⊄平面EFGH,所以AB∥平面EFGH.考点二平面与平面平行的判定与性质角度1平面与平面平行的判定【例3】如图,在几何体ABCDEF中,已知四边形ABCD是正方形,ED∥FC,AD=ED=2FC=4,M,N,Q分别为AD,CD,EB的中点,P为ED上靠近点D的四等分点.(1)证明:FQ∥平面ABCD.(2)证明:平面PMN∥平面EBF.【证明】(1)如图,连接AC,BD,设AC与BD相交于点O,连接OQ.因为四边形ABCD是正方形,所以O为BD的中点,又Q为EB的中点,于是OQ∥ED∥FC,OQ=12ED=FC,即四边形OQFC为平行四边形,则QF∥OC而QF⊄平面ABCD,OC⊂平面ABCD,所以FQ∥平面ABCD.(2)取ED的中点H,连接AH,CH,HF,因为EH=HD=FC,且ED∥FC,所以四边形HDCF,EHCF都为平行四边形,有EF∥HC,HF∥CD∥AB,HF=CD=AB,于是四边形AHFB为平行四边形,即有AH∥BF,而P为ED上靠近点D的四等分点,则P为HD的中点,又N为CD的中点,则PN∥HC,因此EF∥PN.又EF⊂平面EBF,PN⊄平面EBF,则PN∥平面EBF.同理PM∥AH∥BF,又BF⊂平面EBF,PM⊄平面EBF,则PM∥平面EBF.因为PM∩PN=P,PM,PN⊂平面PMN,所以平面PMN∥平面EBF.思维升华证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α,l⊥β⇒α∥β).(3)利用面面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(α∥β,β∥γ⇒α∥γ).对点训练如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点,求证:(1)EG∥平面BDD1B1;(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【证明】(1)连接SB,如图所示:因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1,所以EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD,如图所示,因为F,G分别是DC,SC的中点,所以FG∥SD.又因为SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,所以FG∥平面BDD1B1.由(1)得EG∥平面BDD1B1,且EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面BDD1B1.角度2平面与平面平行的性质【例4】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在棱AA1上,点F在棱CC1上,G在棱BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是棱B1C1上一点.(1)求证:E,B,F,D1四点共面;(2)若平面A1GH∥平面BED1F,求证:H为B1C1的中点.【证明】(1)如图,在DD1上取一点N使得DN=1,连接CN,EN,则AE=DN=1,CF=ND1=2.因为CF∥ND1,所以四边形CFD1N是平行四边形,所以D1F∥CN.同理四边形DNEA是平行四边形,所以EN∥AD,且EN=AD.又BC∥AD,且AD=BC,所以EN∥BC,EN=BC,所以四边形CNEB是平行四边形,所以CN∥BE,所以D1F∥BE,所以E,B,F,D1四点共面.(2)因为平面A1GH∥平面BED1F,平面BB1C1C∩平面A1HG=HG,平面BB1C1C∩平面BED1F=BF,所以BF∥HG,所以∠B1GH=∠FBG=∠CFB.在Rt△BCF中,tan∠CFB=BCCF=3在Rt△HB1G中,tan∠B1GH=B1HB1G所以B1H=32,即H为B1C1的中点思维升华当已知两平面平行时,可以得出线面平行,如果要得出线线平行,必须是与第三个平面的交线平行.对点训练如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,E,F分别是棱PA,PB的中点,连接OE,OF,EF.(1)求证:平面OEF∥平面PCD.(2)若平面ABCD∩平面OEF=l,求证:AB∥l.【证明】(1)因为E,F分别是棱PA,PB的中点,所以EF∥AB.因为四边形ABCD为菱形,所以AB∥CD,所以EF∥CD.又CD⊂平面PCD,EF⊄平面PCD,所以EF∥平面PCD.又O是BD的中点,所以FO∥PD.又PD⊂平面PCD,FO⊄平面PCD,所以FO∥平面PCD.因为FO∩EF=F,FO,EF⊂平面OEF,所以平面OEF∥平面PCD.(2)由(1)可知平面OEF∥平面PCD,又平面ABCD∩平面OEF=l,平面ABCD∩平面PCD=CD,所以CD∥l.又因为四边形ABCD为菱形,所以AB∥CD,故AB∥l.考点三空间平行关系中的探索性问题【例5】(1)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱C1C,C1D1,D1D,DC的中点,点M在四边形EFGH边上及其内部运动,则M只需满足________,就有MN∥平面B1BDD1,其中N是BC的中点.(填写一个正确的条件即可,不必考虑全部可能的情况)

【解析】因为H,N分别是CD,CB的中点,连接HN,易知BD∥HN.又BD⊂平面B1BDD1,HN⊄平面B1BDD1,故HN∥平面B1BDD1,故取M点与H点重合便符合题意.答案:与H点重合(答案不唯一)(2)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为线段AC1,A1C1的中点.①求证:EF∥平面BCC1B1.②在线段BC1上是否存在一点G,使平面EFG∥平面ABB1A1?请说明理由.【解析】①因为E,F分别为线段AC1,A1C1的中点,所以EF∥A1A.因为B1B∥A1A,所以EF∥B1B.又因为EF⊄平面BCC1B1,B1B⊂平面BCC1B1,所以EF∥平面BCC1B1.②存在.当G是线段BC1的中点时,平面EFG∥平面ABB1A1.理由如