数学租船问题专项练习题集

数学租船问题专项练习题集引言租船问题是小学数学中一类经典的优化问题，它不仅考察学生对基本运算的掌握，更重要的是培养其分析问题、解决问题的能力，以及初步的优化意识和策略思想。这类问题通常需要在给定的人数、不同船型的载客量及租金等条件下，寻找最省钱或最合理的租船方案。本练习题集旨在通过一系列有梯度的题目，帮助学生熟悉租船问题的各种类型，掌握解决此类问题的基本方法和技巧，提升逻辑思维能力与实际应用能力。一、解题策略概述在解决租船问题时，通常需要考虑以下几个关键步骤和策略：1.明确需求与限制条件：首先要清楚总共有多少人需要乘船，以及各种船型的载客人数（通常会有大船、小船之分，注意是否包含船夫，题目未提及则默认为仅载乘客）和各自的租金。特别要注意，所有乘船人员必须全部坐下，不能超载，这是大前提。2.比较单位成本：一般情况下，大船的人均租金会比小船便宜，因此在尽量满载的前提下，应优先考虑租用大船。但这并非绝对，有时小船的灵活性能更好地满足剩余人数的需求，从而整体降低成本。因此，计算并比较不同船型的人均租金是重要的一步。3.列举可能方案：在优先考虑大船的基础上，逐步减少大船数量，增加小船数量，列出所有可能的、能满足总人数的租船组合方案。这里要注意，小船的数量不能是负数，且每种船的数量应为整数。4.计算各方案成本：对每一种列出的可行方案，计算其所需的总租金。5.选择最优方案：比较所有可行方案的总租金，选择租金最低的方案作为最优解。如果租金相同，则可以考虑其他因素，如船只数量最少等，但通常以租金最低为首要标准。6.验证方案：确保所选方案能够容纳所有人员，且没有超载情况发生。对于一些特殊情况，如所有人必须同时乘船，或船只数量有限制等，也需要在验证时考虑。常用的辅助方法有：列表法（将可能的大船、小船数量组合及对应租金列出）、假设法（先假设全租大船或全租小船，再根据剩余人数调整）、尝试法（逐步调整大小船数量，观察租金变化趋势）。二、练习题集（一）基础巩固篇题目1：一群学生去划船，他们一共有三十余名。如果租用限载6人的大船，每艘租金为30元；租用限载4人的小船，每艘租金为24元。怎样租船最省钱？题目2：老师带着若干名学生去公园划船，共需乘坐船只。大船每条坐8人，租金40元；小船每条坐5人，租金30元。如果师生总人数为42人，怎样租船才能使租金最少？最少租金是多少？题目3：有28名同学去划船，大船可坐6人，租金35元；小船可坐4人，租金25元。请问怎样租船最划算？需要多少钱？题目4：某班组织划船活动，共有36人参加。现有两种船型：A型船限乘5人，每条租金28元；B型船限乘3人，每条租金20元。若要使每条船都坐满，有几种不同的租船方案？哪种方案最省钱？（二）能力提升篇题目5：一群游客若干人，若租用4座游船，每艘租金16元；若租用6座游船，每艘租金21元。已知游客人数在40至50人之间，且租用的船只均为整艘。如何租用这两种游船，才能使所付租金最少？题目6：学校组织学生去湖心岛春游，需要乘船前往。已知大船每条可坐10人，租金50元；小船每条可坐7人，租金40元。五年级共有学生45人，老师4人。请你设计一种最省钱的租船方案，并计算出最少需要多少租金。（注：老师也需要占座位）题目7：有33名同学去划船，大船每条租金10元，限坐6人；小船每条租金8元，限坐4人。如果每条船都必须坐满，一共有多少种不同的租船方法？哪种方法最省钱？题目8：某旅行团共有48人，准备租用两种型号的游船游览。一种是“海燕号”，每艘可乘12人，租金60元；另一种是“白鹭号”，每艘可乘8人，租金50元。要求租用的船只不留空位，且“海燕号”船只数量不超过“白鹭号”船只数量。请你设计出所有可能的租船方案，并指出哪种方案最省钱。（三）拓展挑战篇题目9：某班学生去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。这个班一共有多少学生？如果已知大船每条坐10人租金15元，小船每条坐7人租金12元，那么基于这个学生人数，怎样租船最省钱？题目10：某景点游船出租处有两种船可供选择：甲种船限载5人，每条每小时租金25元；乙种船限载3人，每条每小时租金18元。某旅游团共有22名成人和6名儿童，他们计划租船游玩2小时。考虑到儿童安全，每条船上至少要有一名成人陪同。请你为他们设计一种最省钱的租船方案，并计算出总租金。（注：儿童也需占用一个座位，所有船同时租用且游玩时间相同）题目11：某公司组织员工去度假村团建，需要租用游船。现有A、B两种游船，A型船最多可乘15人，每条每天租金120元；B型船最多可乘10人，每条每天租金90元。该公司共有员工82人，领导6人。为了便于管理，要求每条船上至少有一名领导带队，且领导不能单独乘坐一条船。请设计一种最省钱的租船方案，并说明理由。三、提示与解答（部分题目）题目1提示：首先确定人数范围是“三十余名”，即31至39人之间。这是一个变量，因此最优方案可能会随人数变化而略有不同，但解题思路一致。先比较人均租金：大船30元/6人=5元/人，小船24元/4人=6元/人，所以优先考虑大船。然后假设有31人、35人、39人等不同情况，分别计算最优方案，观察规律。通常在这个人数段内，优先大船，剩余人数用小船补齐（尽量满载）是主要思路。例如，若为36人，则6条大船刚好，租金180元；若为34人，5条大船（30人）+1条小船（4人）=34人，租金5×30+24=174元。题目5提示：人数在40至50人之间，是一个范围。首先计算单位成本：4座船16元/4人=4元/人，6座船21元/6人=3.5元/人，大船更划算。因此，对于此区间内的任意人数，都应优先租用6座船，并考虑如何组合才能恰好坐下所有人且租金最少。例如，对于42人：7条6座船（42人）租金7×21=147元；或5条6座（30人）+3条4座（12人）=42人，租金5×21+3×16=105+48=153元，显然后者不如前者。对于44人：7条6座（42人）+1条4座（2人），但4座船未坐满，租金7×21+16=163元；或6条6座（36人）+2条4座（8人）=44人，租金6×21+2×16=126+32=158元，后者更优。因此，需要对人数范围内的关键数字进行尝试，找到普适性的最优策略。题目10提示：此题条件较多：总人数22成人+6儿童=28人；游玩2小时；每条船至少1成人；儿童需占座；两种船型。首先，计算单小时人均租金：甲船25/5=5元/人/小时，乙船18/3=6元/人/小时，优先甲船。总人数28人，每条甲船需1成人，则最多租6条甲船（需6成人，可载30人，远超28人），但成人只有22名，足够分配。目标是用最少的船（或最少租金）载下28人，且每条船至少1成人。方案一：尽可能多租甲船。28人÷5人/船=5条甲船可载25人（需5成人），余3人（1成人+2儿童或3儿童，但需1成人陪同），再租1条乙船。总船数5+1=6条，成人5+1=6≤22。租金：(5×25+1×18)×2=(125+18)×2=143×2=286元。方案二：4条甲船（20人，4成人），2条乙船（6人，2成人），共26人？不对，4×5=20，2×3=6，共26人，还差2人。3条甲船（15人，3成人），4条乙船（12人，4成人），共27人，仍差1人。所以方案一似乎可行。或者5条甲船坐满25人（5成人，20游客），剩下3人（1成人，2儿童）坐乙船。总租金如上。是否有更优？比如6条甲船：6×5=30座，可坐28人，需6成人。租金6×25×2=300元，比方案一贵。因此方案一可能更优。四、总结与建议租船问题的核心在于“优化”，即在满足所有约束条件（人数、安全等）的前提下，追求成本（租金）的最小化。解决这类问题，首先要仔细审题，明确所有已知条件和限制因素；其次，掌握基本的解题步骤：比较单价、优先优船、列举方案、计算比较、选择最优；最后，要养成检验的习惯，确保方案的可行性。在练习过程中，建议从基础题型入手，熟练掌握列表法和假设法的应用。对于复杂问题，可以尝试分步骤拆解，将大问题转化为小问题。同时，要注意