（2026春新版）人教版八年级数学下册全册教案

教学设计(教案)版本：2026春人教版版科目：初中数学(新版本)时间：2026年3月19.1二次根式及其性质第1课时一、教学目标【知识与技能】1.理解二次根式的概念.2.掌握二次根式有意义的条件，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围.3.会利用二次根式的双重非负性解决相关问题.【过程与方法】经历观察、比较，总结二次根式的概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括能力.【情感态度与价值观】经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性二、课型新授课三、课时【教学重点】会根据二次根式有意义的条件求字母的取值范围，掌握二次根式的双重非负性.【教学难点】运用二次根式的双重非负性解决问题.五、课前准备教师：课件、平方根、立方根知识等.学生：铅笔、平方根、立方根知识等.(一)导入新课(出示课件2)广播电视塔越高，从塔顶发射的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广.实际上，广播电视塔高h(单位：km)与电视节目信号的传播半径r(单位：km)之间存在近似关系r=√2Rh,其中R是地球半径，R≈6400km.如果两个广播电视塔的高分别是hikm、h₂km,那么它们的传播半径之比教师问：式表示什么?公式r=√2Rh中的√2Rh表示什么意义?(二)探索新知1.师生共同探究二次根式的定义和有意义的条件(出示课件4-7)用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点：(1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m²,则它的宽为m.(2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_·(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)的关系近似为h=5t²,如果用含有h的式子表示t,那么t为_学生独立思考后，教师找三名学生回答.教师问：这些式子分别表示什么意义?学生答：分别表示65,a²+1,的算术平方根.学生答：①根指数都为2;②被开方数为非负数. 学生答：被开方数是非负数.课件10)解：由x-2≥0,得x≥2.教师问：当x是怎样的实数时，√x²在实数范围内有意义?学生答：因为x²≥0,所以x可以为任意实数.因为x³≥0,所以x≥0.考点1:利用二次根式的定义识别二次根式下列各式中，哪些是二次根式?哪些不是?(出示课件8)师生共同分析：次根号不是非负数根式否否不是二次根式师生共同解答如下：出示课件9,学生独立思考后口答，教师订正。考点2:利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?(出示学生答：分母不为0.学生独立思考后，教师找两位学生解答.学生1解：(1)由题意得x-1>0,∴x>1.学生2解：(2)由题意得x+3≥0,x-1≠0.∴x≥-3且x≠1.2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?(出示课件11)(1)√-x²+2x-1;(2)√-x²学生独立思考后，教师找两位学生解答.含完全平方的形式，再进行分析讨论.教师总结点拨：(出示课件12)出示课件13,学生自主练习后口答，教师订正.2.探究二次根式的双重非负性(出示课件14)√a≥0(a≥0).教师总结点拨：(出示课件15)二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平方根.对于二次根式的双重非负性：①二次根式的被开方数非负；②二次根式的值非负.考点1:利用二次根式的双重非负性求字母的值教师问：二次根式的值是什么数?学生答：是非负数.教师问：绝对值的结果是什么数?学生答：是非负数.教师问：一个数的平方是什么数?学生答：非负数.教师提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.师生共同解答如下：解：由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,解得a=-3,b=2,c=1.所以2a-b+3c=-3×2-2+3×1=-5.出示课件17,学生自主练习，教师给出答案.考点2:二次根式的双重非负性和不等式求字母的值已知实数x、y满足等式y=√2-x+√x-2-5,求x²-2xy+y²的值.(出示课件18)教师问：二次根式的被开方数(2-x)和(x-2)有何特点?学生答：(2-x)和(x-2)互为相反数.师生共同解答如下：解得x=2.把x=2代入得y=-5.师生共同归纳：若y=√a+√-a+b,则根据被开方数≥0,可出示课件19,学生自主练习，教师给出答案。教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。(三)课堂练习(出示课件20-26)练习课件第20-26页题目，约用时20分钟(四)课堂小结(出示课件27)概念二次根式有非负数被开方数(式)为意义的条件非负数二次根式的双重非负性(五)课前预习预习下节课(19.1第2课时)的相关内容.知道算术平方根的意义和七、课后作业1、教材第3页练习第1,2,3题.2、培优练习19.1第1,6题.八、板书设计二次根式及其性质第1课时1.二次根式的定义和有意义的条件考点1考点22.二次根式的双重非负性考点1考点2九、教学反思成功之处：我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点，想方设法创设生动活泼的教学情境，使学生学习是快乐的事，学会了更是幸福的事.在教学中，我增加了有拓展性的练习，层层递进，想使不同的学生得到不同程度的发展和提高.由于课堂时间有限，加上学生个体的差异，有部分学生不能灵活运用所学来解决相关的问题.补救措施：在教学方案的实施上，要想方设法调动学生学习的积极性，尽量发挥学生的主体作用，团队作用.19.1二次根式及其性质一、教学目标【知识与技能】2.用具体数据结合算术平方根的意义推出(√a)²=a(a≥0)和探究√a²=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.【过程与方法】 实用性.【情感态度与价值观】学生解决问题的能力.二、课型新授课【教学重点】掌握二次根式的性质，并能将二次根式的性质运用于化简.【教学难点】能运用二次根式的性质化简.五、课前准备教师：课件.学生：铅笔、练习本.六、教学过程(一)导入新课(出示课件2-3)观察课件中所列数字的进出情况，想一想你发现了什么?(二)探索新知1.探究(√a)²a≥0)的性质(出示课件5-7)教师问：什么叫作一个数的平方根?如何表示?学生答：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a,那么教师问：什么叫作一个数的算术平方根?如何表示?学生答：正数有两个平方根，其中正的平方根√a叫作a的算术学生答：(√3)²=3,(√0.5)²=0.5,教师问：通过(1)的计算，你能确定(√a)²(a≥0)的化简结果吗?说说你的理由.师生一起解答：√3是3的算术平方根，根据算术平方根的意义，√3是一个平方等于3的非负数，因此有(√3)²=3. 同理，√0.5,√0分别是0.5,0的算术平方根. 教师总结点拨：(出示课件8)即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.义的前提条件.考点1:利用(√a)²(a≥0)的性质进行计算计算：(1)(√1.5)²;(2)(2√5)².(出示课件9)师生共同解答如下：出示课件10,学生自主练习，教师给出答案。考点2:利用(√a)²(a≥0)的性质分解因式在实数范围内分解因式：(出示课件11)(1)4x²-5;(2)m⁴-6m²+9.师生共同解答如下：本题逆用了(√a)²=a(a≥0)在实数范围内分解因式.出示课件12,学生自主练习，教师给出答案.2.探究√a²的性质(出示课件13-15)教师问：你能解释下列式子的含义吗? 学生独立思考后，教师找四名学生回答.学生1答：√22表示2的平方的算术平方根.学生2答：√0.12表示0.1的平方的算术平方根.学生3答：表的平方的算术平方根.学生4答：√02表示0的平方的算术平方根.化简下列根式，想一想.学生答：教师追问：请说出得到结论的依据.学生独立思考后，教师找四名学生回答.教师问：从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?师生讨论后共同解答如下：一个非负数的平方的算术平方根等于教师问：根据算术平方根的意义填空.学生分组讨论后回答如下：学生答：教师问：请说出得到结论的依据.学生独立思考后，教师找三名学生回答.学生1答(-2)²=4.:√(一2)²=√4=2,因此 此学生2答：∵(-0.1)²=0.01,,因此学生3答：教师问：从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?师生讨论后共同解答如下：一个负数的平方的算术平方根等于这教师总结点拨：(出示课件16)教师强调：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.考点1:利用√a²(a≥0)的性质进行计算化简：(出示课件17)学生独立思考后，师生共同解答如下：出示课件18,引导学生讨论相关问题.师生共同归纳：(出示课件19)①去根号及被开方数的指数，写成绝对值的出示课件20-21,学生独立思考后口答，教师给出答案。教师拓展归纳：(出示课件22)从运算顺序看先开方，后平方先平方，后开方从取值范围看a取任何实数从运算结果看a意义的算术平方根的平方的平方的算术平方根考点2:几何图形与√a²的性质相结合的题目实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简：(出示课件23)学生独立思考后，师生共同解答如下：解：由数轴可知a<0,b>0,a-b<0,出示课件24,学生自主练习，教师给出答案。(三)课堂练习(出示课件25-30)练习课件第25-30页题目，约用时15分钟.(四)课堂小结(出示课件31)知识要点关键点注意事项任何非负数的算术平方根的平方，其结果仍然是它本身被开方数a是非负数任何实数的平方的算术平方根是它的绝对值底数a可以是任何实数(五)课前预习预习下节课(19.2第1课时)的相关内容.知道二次根式的乘法法则及其逆运用.1、教材第4页练习第1,2题.2、培优练习19.1第2,3,4,5,7,9题.二次根式及其性质1.(√a)²(a≥0)的性质考点1考点2 3.例题讲解九、教学反思：本节课通过“观察——归纳——运用”的模式，让学生对知识的形成与掌握变得简单起来，将一个一个知识点落实到位，适当增加了拓展性的练习，层层递进，使不同的学生得到了不同的发展和提高.在探究活动有一定的针对性，但是学生发挥主体作用不够.在探究完成二次根式的性质1后，总结学习方法，再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率，又可以培养学生自学能力.19.2二次根式的乘法与除法第1课时一、教学目标【知识与技能】1.掌握二次根式的乘法法则.2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.【过程与方法】了解数学知识之间是互相联系的.2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.【情感态度与价值观】学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性.二、课型新授课三、课时【教学重点】会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行二次根式的乘法运算.学生2答：【教学难点】二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.五、课前准备教师：课件.学生：铅笔、练习本.六、教学过程(一)导入新课(出示课件2)求它的面积.教师提出问题：想想如何计算这个式子呢?(二)探索新知1.探究二次根式的乘法法则(出示课件4-6)学生独立思考后，教师找三位学生回答.学生1答： 学生答：观察三组式子的结果，我们得到下面的等式：教师问：你发现了什么规律?你能用字母表示你所发现的规律吗?教师问：想一想：学生答：不成立.教师问：为什么呢?教师问：因此被开方数a,b需要满足什么条件?师生一起归纳总结：(出示课件7) 二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘.教师追问：你能用语言描述一下二次根式的乘法法则吗?学生答：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.教师强调：a,b都必须是非负数.考点1:简单的二次根式的乘法运算计算：(出示课件8)师生共同解答如下：解：(1)√3×√5=√3×5=√15;教师追问：下边的式子如何运算?(出示课件9)师生共同分析如下：可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则师生共同总结如下：只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法出示课件10,学生自主练习，教师给出答案.教师问：你还记得单项式乘单项式法则吗?(出示课件11)学生答：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.学生答：20a⁶考点2:因数不是1二次根式的乘法运算师生共同解答如下：解：(1)2√5×3√7=(2×3)×(√5×√7)=6×√35=6;当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即m√a·n√b=(mn)√ab(a≥0,b≥0).教师总结点拨：(出示课件13)二次根式的乘法法则的推广：①多个二次根式相乘时此法则也适用，即√a·√b·...·√n=√ab...·n②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式),被开方数的积作为被开方数，即m√a·n√b=(mn)√ab(a≥0,b≥0).出示课件14,学生自主练习，教师给出答案.考点3:二次根式的大小比较比较大小：(出示课件15-16) (1)2√5与3√3;(2)-2师生共同解答如下：解：(1)方法一：又∵20<27,∴√20<√27,即2√5<3√3.方法二：又∵20<27,∴(2√5)²<(3√3)²,即2√5<3√3.又∵52<54,∴√52<√54,∴-√52>-√54,即-2√13>-3√6.教师问：比较二次根式大小的方法有哪些?师生共同归纳：(出示课件17)比较两个二次根式大小的方法：(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大.(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式都是正数时，平方大的二次根式大.(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的近似值，再进行比较.出示课件18,学生自主练习，教师给出答案。2.探究二次根式乘法法则的逆用(出示课件19)从前面知识点1的题目我们可以得到下面三个等式：学生答：两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积.考点1:利用二次根式的乘法法则的逆用计算化简：(出示课件20)出示课件21,学生自主练习，教师给出答案。考点2:利用二次根式的乘法法则及逆用计算计算：(出示课件22)师生共同解答如下： 教师问：你能说一下化简二次根式的步骤吗?引导学生回答并总结如下：(出示课件23)化简二次根式的步骤：1.把被开方数分解因式(或因数);2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算 3.如果因式中有平方式(或平方数),应用关系式√a²=|a|,把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.出示课件24,学生自主练习，教师给出答案。教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么(三)课堂练习(出示课件25-33)练习课件第25-33页题目，约用时20分钟(四)课堂小结(出示课件34)内容内容算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.①多个二次根式相乘时此法则也适用，即积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.二次根式的乘法二次根式的乘法法则二次根式的乘法法则拓展二次根式乘法法则的逆用(五)课前预习预习下节课(19.2第2课时)的相关内容.1、教材第7页练习第1,2,3题.2、培优练习19.2第3,6,7题.第1课时考点1考点2考点32.二次根式乘法法则的逆用考点1考点2成功之处：本节课以问题的方式提出要解决的问题，让学生观察、神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性，基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.存在问题：学生已经掌握了二次根式的乘法法则和积的算术平方根性质，但在实际计算时，部分学生倾向于直接计算被开而没有先行分解因数.正确的做法应该是先将被开方数分解因数，以便将可以开方的因数提到根号外，这样能使计算过程更加简便.自我反思：进一步放手让学生自学本节内容，让学生在观察、归纳出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质基础上，重点进行19.2二次根式的乘法与除法第2课时一、教学目标【知识与技能】1.会进行简单的二次根式的除法运算.2.能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.3.理解最简二次根式的概念，能熟练地将二次根式化成最简二次根式.【过程与方法】1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比，得出除法的运算法则.【情感态度与价值观】在经历探索二次根式除法运算法则的过程中，认识到事物之间的二、课型新授课【教学重点】会进行简单的二次根式的除法运算，会用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.【教学难点】二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.五、课前准备教师：课件.学生：铅笔、练习本.六、教学过程(一)导入新课(出示课件2-3)站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为,他看到的水问题1某一登山者爬到海拔100米处，即平线的距离d₁是多少?,他看到的水)时，此问题2该登山者接着爬到海拔200米的山顶，时他看到的水平线的距离d₂是多少?)时，此问题3他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍?解：教师提出问题：乘法法则是如何得出的?二次根式的除法该怎样算呢?除法有没有类似的法则?(二)探索新知1.探究二次根式的除法(出示课件5-7)教师出示问题：计算下列各式：学生独立思考后，教师找三名学生回答.教师问：观察两者有什么关系? 教师问：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式的结果吗?学生答：教师问：在前面发现的规,a,b的取值范围有没有限制呢?学生讨论回答：a≥0,b>0.师生一起归纳总结：(出示课件8)二次根式的除法法则：教师问：你能利用文字描述二次根式的除法法则吗?学生答：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.教师追问：当二次根式根号外的因数(式)不为1时，如何处理呢?学生答：类比单项式除以单项式法则进行化简.教师总结如下：文字叙述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易(a≥0,b>0,n≠0)考点1:利用二次根式的除法法则计算根号外因数是1的二次根式计算：(出示课件9)师生共同解答如下：教师追问：像(2)中除式是分数或分式时，如何化简呢?学生答：先要转化为乘法再进行运算.出示课件10,学生自主练习，教师给出答案.考点2:利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的二次根式计算：(出示课件11)学生独立思考后，师生共同解答如下：教师问：类似(2)中被开方数中含有带分数的怎样计算呢?学生答：应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.出示课件12,学生自主练习后口答，教师订正.2.探究商的算术平方根的性质从前面知识点1的题目我们可以得到下面三个等式：教师问：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式的结果吗?教师问：在前面发现的规律中，a,b的取值范围有没有限制呢?师生一起归纳总结：(出示课件13)二次根式的商的算术平方根的性质：教师问：你能利用语言描述商的算术平方根的性质吗?学生答：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.考点1:商的算术平方根的性质的应用化简：(出示课件14-15)学生独立思考后，师生共同解答.教师问：像(5)可以如何计算的呢?学生答：可以先用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方根性质.出示课件16,学生自主练习，教师给出答案。3.探究最简二次根式的定义(出示课件17-18)教师出示问题：设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b已知S=√10,b=学生答：教师问：这个结果能否再化简.学生答：不能.教师问：观察下面式子中的二次根式.它们有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了?教师引导学生归纳总结(出示课件19)最简二次根式应满足的条件：(1)被开方数不含分母或分母中不含二次根式；(2)被开方数中不含开得尽平方的因数或因式.教师强调：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数),若是则说明含有能开方的因式，不满足条件，不是最简二次根式.考点1:分母有理化计算：(出示课件20)学生独立思考后，师生共同解答.分母形如n√a的式子，分子、分母同方法点拨：(出示课件21)化成最简二次根式的一般方法：(1)将被开方数中能开得尽平方的因数或者因式进行开方，如(2)若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再去分母，并将能开得尽方的因数或者因式进行开方，如(3)若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数后再进行化简， 出示课件22,学生自主练习，教师给出答案。教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。(三)课堂练习(出示课件23-27)练习课件第23-27页题目，约用时20分钟.(四)课堂小结(出示课件28)二次根式的除法内容二次根式的除法法则算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.即二次根式的除法法则的拓展商的算术平方根的性质商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.即最简二次根式最简二次根式满足两个条件：①被开方数不含②被开方数中不含能开得尽平方的因数或因(五)课前预习预习下节课(19.3第1课时)的相关内容.知道二次根式加减运算的法则.七、课后作业1、教材第10页练习第1,2,3题.2、培优练习19.2第1,2,4,5,8,9题.八、板书设计二次根式的乘法与除法第2课时考点1考点22.商的算术平方根的性质考点1考点1九、教学反思成功之处：本节课以问题的方式提出要解决的问题，计算、归纳，运用类比学习的方法探究得出二次根式的除法法则.在探究过程中注意观察知识产生、发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展.本课时的设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性，基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.把结果化成最简二次根式.补救措施：在总结二次根式乘法一课的学习方法之后，进一步放手让学生自学本节内容，让学生观察、归纳出二次根式的除法法则和能力.19.3二次根式的加法与减法第1课时一、教学目标【知识与技能】1.理解二次根式可以合并的条件.2.类比整式的合并同类项，掌握二次根式的加减运算法则.3.能熟练地进行二次根式的加减法运算.【过程与方法】【情感态度与价值观】体会合作学习的乐趣.二、课型新授课三、课时【教学重点】二次根式加减法的运算.【教学难点】快速准确进行二次根式加减法的运算.五、课前准备教师：课件.学生：铅笔、练习本.(一)导入新课(出示课件2)(二)探索新知1.探究二次根式可以合并的条件(出示课件4-5)教师问：在七年级我们就已经学过合并同类项的法则.观察下图并思考，你能得到什么算式呢?学生答：由上图，易得2a+3a=5a.学生独立思考后，教师找两名学生回答.学生答：二次根式的被开方数相同的可以合并.学生答：当a=√2,b=√8时，得2a+3b=2√2+3√8.教师问：这两个二次根式可以合并吗?学生回答：不能.教师问：把3√8化为最简二次根式是多少?教师问：化简后可以合并了吗?学生答：可以.教师问：你又有什么发现吗?学生共同讨论后解答如下：二次根式化简后，被开方数相同的可以合并.教师总结点拨：(出示课件6)将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.1.判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式2.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根出示课件7,学生独立思考后口答，教师给出答案。考点1:利用二次根式可以合并的条件求字母的值 课件8)教师提示：求可以合并的最简二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为2列关于字母的方程(组)求解即可.师生共同解答如下：出示课件9,学生自主练习，教师给出答案。2.探究二次根式的加减(出示课件10-11)学生答：不能.教师问：如果不能，把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据).师生共同解答如下：师生分析如下：二次根分配律整式加减法则用分配律合并加减依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题.教师总结点拨：(出示课件12)一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并.加减法的运算步骤：(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；(2)找——找出被开方数相同的二次根式；(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.“一化简二判断三合并”考点1:二次根式的加减计算(较简单)计算：(出示课件13)学生独立思考后，师生共同解答.出示课件14,学生自主练习，教师给出答案.考点2:二次根式的加减运算(较复杂)计算：(出示课件15)师生共同分析后，教师找两位学生解答.学生1解：学生2解：出示课件16,学生自主练习，教师给出答案。3.探究二次根式的加减的应用(出示课件17-18)教师出示问题：有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm²和18dm²的正方形木板?师生共同分析如下：由图可知，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板.师生共同解答如下：大正方形木板的边长为√18dm.因为√18<5,所以这块木板够宽. 两个正方形木板的边长的和为(√8+√18dm,而√8+√18=2√2+3√2=(2+3)√2=5√2.而√8+√18=2√2+3√2=(2+3)√2=5√2.因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8dm²和18dm²的正方形木板.出示课件19,学生自主练习，教师给出答案。教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么(三)课堂练习(出示课件20-26)练习课件第20-26页题目，约用时20分钟(四)课堂小结(出示课件27)二次根式的加减内容法则再将被开方数相同的二次根式合并.注意序一样；(3)结果要化成最简形式.(五)课前预习预习下节课(19.3第2课时)的相关内容.知道二次根式四则混合运算的运算法则.七、课后作业1、教材第14页练习第1,2,3题.2、培优练习19.3第2题.八、板书设计二次根式的加法与减法第1课时1.二次根式可以合并的条件考点12.二次根式的加减考点1考点23.二次根式的加减的应用九、教学反思生自己发现规律，得出概念.在例题的选择上由简到难，符合学生的认不足之处：在教学过程中，存在着一些不足之处.一是对学情分析复习工作做得不够，导致后续的新知识的学习遇到许多麻烦.二是在学生自主学习方面还存在着不足.遇到困难有畏难情绪、对老师的依赖性太强.这些都有待于在今后的教学中进行教育和引导.补救措施：适当增加习题练习量，被开方数有分母时化简易出错，对此类题目重点训练.19.3二次根式的加法与减法一、教学目标【知识与技能】在有理数的混合运算及整式的混合运算基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的联系，在比较中得到方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算.【过程与方法】1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较，注意运算顺序及运算律在计算过程中的作用.2.通过引导，在多解中进行比较，寻求有效快捷的计算方法.【情感态度与价值观】1.学会知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性.2.通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度.新授课四、教学重难点【教学重点】能熟练进行二次根式的混合运算.【教学难点】灵活运用因式分解、约分等技巧，运用运算律使计算简便.五、课前准备教师：课件.学生：铅笔、练习本.六、教学过程(一)导入新课(出示课件2)如何进行单项式与多项式相乘的运算?你能用字母表示这一结论吗?教师问：若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组),然后对比归纳，你们发现了什么?让我们进入今天的学习吧!(二)探索新知1.出示课件4,探究二次根式的混合运算教师问：二次根式四则混合运算如何进行呢?学生讨论后师生共同总结：二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.考点1:考查二次根式的多项式与单项式乘除运算能力计算：(出示课件4)学生讨论后，师生共同解答如下：出示课件5,学生自主练习，教师给出答案.考点2:考查二次根式的多项式乘法的运算计算：(出示课件6)学生独立思考后，师生共同解答.解：(1)原式=(√2)²+3√2-5√2-15教师追问：指出上式运算每一步的依据?第一步的依据是：多项式乘多项式法则；第三步的依据是：合并同类项.出示课件7,学生自主练习，教师给出答案.2.出示课件8,探究利用乘法公式计算二次根式教师问：整式乘法运算中的乘法公式有哪些?学生1答：平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²;教师问：整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?学生答：已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用.考点1:考查利用乘法公式计算二次根式计算：(出示课件9)学生独立思考后，教师找两名学生解答..学生1解：学生2解：出示课件10-11,学生自主练习后，教师给出答案.考点2:有关代数式的二次根式运算学生独立思考后，师生共同解答.把x=√3+1,y=√3-1代入上式得原式=[(√3+1)+(√3-1)]²=12.出示课件13,学生自主练习，教师给出答案.3.出示课件14,探究分母有理化师生共同讨论后，教师找两名学生回答.考点1:分母有理化的应用计算：(出示课件15)学生独立思考后，师生共同解答.分母形如m√a±n√b的式子，分子、分母同乘以m√a+n√b的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.出示课件16,学生自主练习，教师给出答案.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。(三)课堂练习(出示课件17-26)练习课件第17-26页题目，约用时20分钟(四)课堂小结(出示课件27)师生共同回顾本节课所学主要内容：的乘法和因式分解类似，可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.(五)课前预习预习下节课(20.1第1课时)的相关内容.知道勾股定理的内容和勾股定理的证明七、课后作业1、教材第15页练习第1,2题.2、培优练习19.3第1,3,4,5,6,7题.八、板书设计二次根式的加法与减法第2课时考点1考点22.利用乘法公式计算二次根式考点1考点2考点1九、教学反思成功之处：教学中强调了前面学过的运算法则和运算律对二次根起，并不断巩固运算法则和运算律在二次根式的运算中的运用.不足之处：过分注重了探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用的问题，让学生运用法则和公式计算二次根式的混合运算的练习时间较少，一些学生还容易出现运算顺序错误和错用公式的现象.补救措施：适当增加变式练习，增加二次根式混合运算的例题，提高分析问题和解决问题的能力，真正达到灵活运用因式分解、约分等技巧，运用运算律使计算简便的目的.20.1勾股定理及其应用一、教学目标【知识与技能】1.了解勾股定理的文化背景，了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.能说出勾股定理，并能应用其进行简单的计算.【过程与方法】证的数学发现过程.2.发展合情推理的能力，体会数形结合思想、由特殊到一般的数学思想、分类讨论思想.【情感态度与价值观】通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历发学生的民族自豪感和爱国情怀.二、课型新授课三、课时第1课时共3课时四、教学重难点【教学重点】探索和验证勾股定理，并能应用其进行简单的计算.【教学难点】用拼图的方法验证勾股定理.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、方格纸、三角模型等.学生：三角尺、铅笔、练习本、方格纸、三角模型.六、教学过程(一)导入新课(出示课件2)引导学生观察勾股定理相关图片，引出本节要学知识(二)探索新知1.出示课件4-14,探究勾股定理的认识与证明如图，红色直角三角形的三边长分别为3,4,5,分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9,16,25,且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.教师依次展示下列问题：看图完成下面的题目：(1)A中含有个小方格，即A的面积是个单位面(3)C的面积是_个单位面积.教师找三个学生回答.学生1答：(1)A中含有9个小方格，即A的面积是9个单位面积.学生2答：(2)B的面积是9个单位面积.学生3答：(3)C的面积是18个单位面积.教师问：三个正方形A,B,C的面积有什么关系?学生回答：图1中三个正方形A,B,C的面积之间的数量关系教师问：SA+SB=Sc在图2中还成立吗?学生讨论后回答：仍然成立.教师问：你是如何得到结果的呢?学生答：A的面积是25个单位面积.B的面积是9个单位面积.C的面积是34个单位面积.教师问：你是怎样得到正方形C的面积的?与同伴交流交流.学生答：如下图所示：教师问：至此，我们在网格中验证了：直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=Sc.去掉网格结论会改变吗?学生答：不会.教师问：式子SA+SB=Sc能用直角三角形的三边a、b、c来表示师生一起解答：如图所示：教师问：去掉正方形结论会改变吗?学生答：不会.教师问：那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是什么呢?教师讲解：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a²+b²=c².教师讲解：是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢?光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚.这就需要我们对一般的直角三角形进行证明.下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的.教师依次展示各种证明方法：(1)赵爽拼图证明法：以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能做到吗?试试看.a小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.教师展示剪、拼过程.教师问：如何进行证明呢?师生共同讨论后解答如下：b(2)毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.教师问：观看拼图过程演示后，你能证明吗?师生共同讨论后解答如下：b即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.教师总结点拨：(出示课件16)公式变形勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方.a²+b²=c²a²+b²=c²b²出示课件17,学生口答，教师订正.考点1:利用勾股定理求直角三角形的边长如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.(出示课件18)师生共同讨论解答如下：解：(1)据勾股定理得c=√a²+b²=√5²+5²=√50=5√2;出示课件19,学生自主练习后口答，教师订正.考点2:勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长在Rt△ABC中，∠C=90°.(出示课件20)学生独立思考后，师生共同解答.解：(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得x²+(2x)²=解得x=5√3,x=-5√3(舍去)已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.出示课件21,学生自主练习后口答，教师订正.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么(三)课堂练习(出示课件22-27)练习课件第22-27页题目，约用时20分钟.(四)课堂小结(出示课件28)勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a²+b²=c².1.在直角三角形中2.看清哪个角是直角3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论(五)课前预习预习下节课(20.1第2课时)的相关内容.会用勾股定理解决实际问题.1、教材第30-32页习题20.1第1,7,8,13题.2、培优练习20.1第1题.第1课时考点1考点2的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位，一方面要求学生在老师的引导下自主探索，合作交流，另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，达到培养能力的目的.整节课以“问题情境——分析探究——得出猜想——实践验证——总结升华”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程，努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.困难在于一些学生不能对图形进行正确的割补.对图形的割补过程没有给学生详细的呈现.20.1勾股定理及其应用第2课时一、教学目标【知识与技能】1.能应用勾股定理计算直角三角形的边长.2.能应用勾股定理解决简单的实际问题.实际问题.【过程与方法】1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生解决现实问题的意识和能力.2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，进一步体会勾股定理的应用方法.【情感态度与价值观】在例题分析和解决过程中，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用.同时在学习过程中体会获得成功的喜悦，提高学生学习数学的兴趣和信心.二、课型新授课第2课时共3课时【教学重点】运用勾股定理解决实际问题.【教学难点】勾股定理的灵活运用.教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔、直尺、练习本、三角形模型.(一)导入新课(出示课件2)波平如镜一湖面，3尺高处出红莲.亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲.课知识后，自己再想想怎么计算此题吧!(二)探索新知1.出示课件4-6,探究利用勾股定理解决线段长度问题教师出示问题：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?教师问：木板能横着或竖着从门框通过吗?学生答：不能.教师问：这个门框能通过的最大长度是多少?学生讨论后回答：如图所示，小于线段AC的长度才可以.DD教师问：怎样判定这块木板能否通过木框?学生答：求出斜边AC的长，与木板的宽比较.师生一起解答如下：解：连接AC,在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC²=AB²+BC²=1²+2²=5.AC=√5≈2.24.因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.出示课件7,学生自主练习后口答，教师订正.2.出示课件8-9,探究利用勾股定理解决线段移动问题教师问：如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m.如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m,那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8m吗?师生一起解答如下：解：当梯子底端沿OB向外移动0.8m时，设梯子的底端由点B移动到点D、顶端由点A下滑到点C.可以看出，AC=OA-OC.在Rt△AOB中，根据勾股定理，OA=2.4.在Rt△COD中，根据勾股定理，OC=2.所以，AC=OA-OC=2.4-2=0.4.因此，当梯子底端向外移动0.8m时，梯子顶端并不是下滑0.8m,出示课件10-11,学生自主练习后口答，教师订正.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么(三)课堂练习(出示课件12-18)练习课件第12-18页题目，约用时20分钟.(四)课堂小结(出示课件19)关系，再灵活运用勾股定理计算.在利用勾股定理进行有关计算和证明勾股定理求解.(五)课前预习预习下节课(20.1第3课时)的相关内容.知道如何在数轴上标出无理数及构造直角三角形表示出无理数.七、课后作业1、教材第27页练习第2,3题.2、培优练习20.1第5题.八、板书设计勾股定理及其应用第2课时1.利用勾股定理解决线段长度问题2.利用勾股定理解决线段移动问题九、教学反思成功之处：本节课运用勾股定理解决实际问题，整节课注重基础，提高学生运用勾股定理解决简单问题的能力.不足之处：虽然只是勾股定理的实际应用这一知识点，但是涉及乏开放性.一类题目的变式训练题，提高学生分析问题和解决问题的能力.同时，在后续学习中加强与勾股定理的综合运用训练.20.1勾股定理及其应用第3课时一、教学目标【知识与技能】勾股定理解决简单的实际问题.【过程与方法】勾股定理解决问题的能力.展学生的动手操作能力和创新精神.【情感态度与价值观】1.在利用勾股定理寻找数轴上表示无理数的点的过程中，体会勾立自信心.2.在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯.二、课型新授课四、教学重难点【教学重点】能利用勾股定理在数轴上表示无理数.【教学难点】利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、圆规等.学生：复习尺规作图的有关知识，准备三角板、直尺、圆规、铅笔.六、教学过程(一)导入新课(出示课件2)欣赏课件中海螺的图片：在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，如第七届国际数学教育大会的会徽.这个图是怎样绘制出来的呢?这就是今天我们探究的问题.(二)探索新知1.出示课件4-5,探究证明“HL”教师问：在八年级上册中，我们曾经通过探究得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗?学生讨论后回答：定理，得BC=√AB²-AC2,B'C'=√A'B'2-A'C¹².2.出示课件6-8,探究利用勾股定理在数轴上确定无理数师生一起解答：(放幻灯片，展示作图过程.)教师问：用同样的方法作√3,√4,√5,√6,√7呢?学生答：如下图所示(放映幻灯片，展示作图过程)总结点拨：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.教师问：长为√13的线段是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗?教师找三名学生回答.学生1答：学生2答：学生3答：教师总结如下，其中有两种符合要求.123教师问：根据上面问题你能在数轴上画出表示√13的点吗?1.在数轴上找到点A,使OA=3;2.作直线1⊥OA,在1上取一点B,使AB=2;3.以原点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴交于C点，则点C即为表示√13的点.教师总结点拨(出示课件9)利用勾股定理表示无理数的方法：(1)利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正数的直角三角形的斜边.(2)以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理考点1:利用勾股定理在数轴上确定无理数的点在数轴上作出表示√17的点.(出示课件10)师生共同讨论解答如下：解：作法：(1)在数轴上找到点A,使OA=1;(2)过点A作直线1垂直于OA,在直线1上取点B,使AB=4,(3)以原点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴交如图，在数轴上，点C为表示√17的点出示课件11,学生自主练习后口答，教师订正.3.出示课件12-13,探究利用勾股定理在网格上做长度为无理数的线段教师问：在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,请在给定网格中以A出发分别画出长度为√2,√5,√8的线段AB.教师找三名学生回答.学生1答：学生2解答：学生3解答：画出几条边长为√10的线段?学生讨论后回答：如图所示：教师总结点拨：勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.考点1:利用勾股定理在网格上作线段如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为√5的线段?(出示课件14)学生独立思考后，师生共同解答.解：如图所示，有8条.教师总结点拨：一个点一个点地找，不要漏解.出示课件15,学生自主练习，教师给出答案.4.利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A的对应点为A',且B'C=3,求AM的长.(出示课件16)学生独立思考后，师生共同解答.解：连接BM,MB'.设AM=x,师生共同归纳如下：(出示课件17)折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法：(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x);(2)用已知线段或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.出示课件18,学生自主练习，教师给出答案.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.(三)课堂练习(出示课件19-26)练习课件第19-26页题目，约用时20分钟.(四)课堂小结(出示课件27)师生共同回顾本节课所学主要内容：形中常常通过作辅助线构造直角三角形，以利用勾股定理.(五)课前预习预习下节课(20.2第1课时)的相关内容.知道勾股定理的逆定理的定义七、课后作业1、教材第29页练习第2,3题.2、培优练习20.1第2,3题.八、板书设计勾股定理及其应用第3课时1证明“HL”2.利用勾股定理在数轴上确定无理数考点13.利用勾股定理在网格上做长度为无理数的线段考点14.利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度5.例题讲解九、教学反思成功之处：本节课注重数学与生活的联系，注重数学知识的应用，生会将长为无理数的线段看成一个直角三角形的斜边，再按照尺规作不足之处：由于学生尺规作图的能力较差，学生在确定了作图思路之后，却难以按照尺规作图的步骤完成作图.补救措施：教师指导在数轴上找出表示无理数的点，示范作图步的困难.20.2勾股定理的逆定理及其应用第1课时一、教学目标【知识与技能】1.理解并能证明勾股定理的逆定理.定理判定一个三角形是否为直角三角形.【过程与方法】过程.形结合方法的应用.【情感态度与价值观】的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系.识和严谨的学习态度，同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.二、课型新授课三、课时第1课时共2课时【教学重点】勾股定理的逆定理的应用.【教学难点】勾股定理的逆定理的证明.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、绳子、铅笔、直尺、练习本.六、教学过程(一)导入新课(出示课件2)古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?这就是今天我们探究的问题!(二)探索新知1.出示课件4-9,探究勾股定理的逆定理教师问：据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.这种方法对吗?学生答：三边分别为3,4,5,满足关系：3²+4²=5²,则该三角形是直角三角形4教师问：完成下面的问题：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).师生一起解答如下：教师问：用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?师生一起解答：如下图所示，它们都是直角三角形.教师问：下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.这三组数在数量关系上有什么相同点?教师找三名学生回答.学生1答：①5,12,13满足5²+12²=13²,学生2答：②7,24,25满足7²+24²=25²,学生3答：③8,15,17满足8²+15²=17².教师问：如果用字母a,b,c代替上面每一组的数字，你能得到a,b,c之间什么关系式呢?教师问：古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗?学生答：∵3²+4²=5²,∴满足.教师问：根据上面的式子你有什么猜想呢?学生答：一个三角形的两边的平方和等于另一边的平方，这个三角形是直角三角形.教师总结如下：由上面几个例子，我们猜想：如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形.教师问：你觉得这个猜想严谨吗?为什么?学生1答：我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.学生2答：我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.教师：试着完成下面的题目.展示问题：已知：如图，在△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b,并且a²+b²=c².求证：∠C=90°.a师生共同解答如下：a证明：作△A₁B₁C1,使∠C₁=90°,B₁C₁=a,C₁A₁=b.根据勾股定理，则有A₁Bi²=B₁C₁²+C₁A₁²=a²+b².∵a²+b²=c²,∴A₁B₁=c.教师总结归纳：(出示课件10)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形.教师追问：你能利用符号语言描述一下上面的定理吗?师生一起总结如下：符号语言：在△ABC中，若a²+b²=c²则△ABC是直角三角形.教师总结点拨：(出示课件11)勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.考点1:利用勾股定理的逆定理判断直角三角形下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是，那么哪一个角是直角?(出示课件12)(1)a=8,b=15,c=17;(2)a=14,b=13,教师找两名学生解答.学生1解：根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直学生2解：∴14²+13²≠15²,不符合勾股定理的逆定理.∴这个三角形不是直角三角形.师生总结点拨：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平出示课件13,学生自主练习后口答，教师订正.考点2:利用勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形的形状直角三角形.(出示课件14)学生独立思考后，师生共同解答.解：∵a+b=4,ab=1,∴△ABC是直角三角形.出示课件15,学生自主练习，教师给出答案.2.出示课件16,探究勾股数教师问：如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²那么这个三教师找两名学生回答.学生1答：可以找到，例如3,4,5.学生2答：可以找到，例如5,12,13.教师找四名学生回答.学生1答：3,4,5.5,12,13学生2答：6,8,10.7,24,25.学生4答：10,24,26得到一组新数，这组数同样是勾股数.出示课件17,学生自主练习后口答，教师给出答案.(三)课堂练习(出示课件18-22)练习课件第18-22页题目，约用时20分钟(四)课堂小结(出示课件23)师生共同回顾本节课所学主要内容：三角形是不是直角三角形.数的平方和等于最大的一个数的平方；②三个数必须都是正整数.三角形中运用的，而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的.(五)课前预习预习下节课(20.2第2课时)的相关内容.知道利用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法七、课后作业1、教材第36页练习第1,2题.2、培优练习20.2第1,2,3,5题.八、板书设计勾股定理的逆定理及其应用第1课时考点1考点2九、教学反思成功之处：1.本节课以“提出问题——解决问题”为主线，以学生的自主探索学习为中心，从解决问题的完成情况看，知识目标完全达到，能力目标基本实现，情感目标基本实现.2.在本节课教学中，充分发挥学生在教学中的主体作用，教师不能让学生去自主探究，注重了知识上的及时巩固，也侧重了学生各方面的素质的培养.不足之处：生学好，中等生也能跟上.同时，缺少了板书示范，不利于学生养成良好的书写习惯.2.本节课内容较多，由于时间紧，还是不敢放手，总是牵着学生走，结果学生的积极性没有充分调动起来，还需要注意教师精讲，留足时间让学生探究.20.2勾股定理的逆定理及其应用第2课时一、教学目标【知识与技能】1.进一步理解勾股定理的逆定理；2.灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题.【过程与方法】成的过程.2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状的应用，体验数形结合方法的应用.【情感态度与价值观】1.通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状的应用，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系.识和严谨的学习态度，同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.二、课型新授课三、课时第2课时共2课时【教学重点】灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.【教学难点】将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔、练习本.六、教学过程(一)导入新课(出示课件2-3)工厂生产的产品都有一定的规格要求，如图所示：该模板中的AB、BC相交成直角才符合规定.你能测出这个零件是否合格呢?(身边只有刻度尺)观察课件图片，引出本课知识点。(二)探索新知1.出示课件5-7,探究利用勾股定理的逆定理解答角度问题船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile,“海天”号每小时航行12nmile.它们离号沿什么方向航行?教师问：认真读题，找已知是什么?学生讨论后回答：“远航”号的航向、两艘船的1.5h后的航程及距离已知，如下图.教师问：需要解决的问题是什么?学生回答：求出两艘船航向所成角.教师问：由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此我们想到利用什么思想?师生一起解答：转化的思想.教师问：知道线段长度，通过线段长度来求角的度数，我们可以利用什么转化呢?学生回答：勾股定理的逆定理.教师问：你能写出解答过程吗?师生一起解答：解：根据题意得PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.∵24²+18²=30²,即PQ²+PR²=QR²,∴∠QPR=90°.∴∠2=45°,即“海天”号沿西北方向航行.教师总结点拨：解决实际问题的步骤：①标注有用信息，明确已知和所求；②构建几何模型(从整体到局部);③应用数学知识求解.出示课件8-9,学生自主练习，教师给出答案.2.出示课件10,探究利用勾股定理的逆定理解答面积问题如图，四边形ABCD中，AB⊥AD,已知AD=3cm,AB=4cm,CD=12cm,BC=13cm,求四边形ABCD的面积.师生共同讨论解答如下：解：连接BD.又∵CD=12cm,BC=13cm,∴△BDC是直角三角形.出示课件11,学生自主练习，教师给出答案.3.出示课件12,探究利用勾股定理的逆定理解答检测问题如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8m,AD=BC=6m,AC=9m,请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格?学生独立思考后，师生共同解答.解：∵AB=DC=8m,AD=BC=6m,∴该农民挖的不合格.出示课件13-14,学生自主练习，教师订正给出答案.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。(三)课堂练习(出示课件15-22)练习课件第15-22页题目，约用时20分钟(四)课堂小结(出示课件23)用法应方(五)课前预习预习下节课(21.1第1课时)的相关内容.知道平行四边形的定义和平行四边形的性质及两平行线之间的距离.七、课后作业1、教材第38页习题20.2第4,5题.2、培优练习20.2第4,6,7题.八、板书设计勾股定理的逆定理及其应用第2课时1.利用勾股定理的逆定理解答角度问题2.利用勾股定理的逆定理解答面积问题3.利用勾股定理的逆定理解答检测问题九、教学反思成功之处：在本节课的教学活动中，尽量给学生充足的时间和空间，让学生以平等的身份参与到学习活动中去，教师要帮助、指导学生进行实践活动，这样既锻炼了学生的实践、观察能力，又在教学中渗透了人文和探究精神，体现了“数学源于生活、寓于生活、用于生不足之处：教学中学生的方位角掌握不是很好，课上未能及时解决，在以后教学中应该多让学生自己动手画图，增加解决方位角问题的能力.第二十一章四边形一、教学目标【知识与技能】1.了解四边形及其有关概念.内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算.3.了解四边形的不稳定性.【过程与方法】【情感态度与价值观】经历探索、归纳等过程，学会研究问题的方法.二、课型新授课三、课时第1课时，共1课时【教学重点】1.了解四边形的边、顶点、内角、外角、对角线等有关概念.2.了解四边形的内角和和外角和公式3.四边形的不稳定性.【教学难点】1.在四边形的概念中，对“在同一平面内”的理解.2.四边形的内角和与外角和的相关计算五、课前准备教师：课件、三角尺、四边形图片等。学生：三角尺、直尺、四边形纸片。六、教学过程(一)导入新课在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗?(出示课件2)(二)探索新知1.师生互动，探究四边形的定义及其有关概念教师问1:同学们想一想，什么是三角形呢?学生回答：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.做一做教师讲解：请同学们拿出准备好的材料，随意画几个四边形.教师问2:观察画四边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗?学生回答：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作四边形.(出示课件4)教师问3:比较四边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢?怎样命名四边形呢?学生交流，教师讲解并强调“在平面内”,并总结：这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点就有可能不在同一个平面内.根据边数的多少来命名为，有四条边就是四边形.教师问4:回想三角形的表示方法，四边形应如何表示?学生讨论回答并得出结论.四边形用它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.(出示课件5)教师问5:根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是四边形的边、顶点、内角、外角和对角线.学生讨论回答，教师引导如下：边：组成四边形的各条线段；内角：四边形相邻两边组成的角.外角：四边形角的一边与另一边的延长线组成的角.对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段.教师问6:请分别画出下列两个图形各边所在的直线，你能得到什么结论?学生讨论回答，并得出结论：如图(1)这样，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.(出示课件7)如图(2)这样，此类四边形被一条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧是凹四边形.例：下列长度的两条线段与长度为2,5的线段首尾依次相连能组成四边形的是()(出示课件8)师生共同解答总结：任意三条线段之和大于另一条线段的长度.出示课件9,学生自主练习后口答，教师订正.2.探究四边形的内角和定理教师问7:你知道三角形的内角和是多少度吗?学生回答：三角形的内角和等于180°.教师问8:你知道长方形和正方形的内角和是多少度?学生回答：都是360°.(出示课件4)教师问9:你能猜想四边形的内角和是多少度吗?学生回答：四边形的内角和等于360°.教师问10:你是如何得到这个结论的?你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗?学生讨论回答并得出结论.(出示课件11)证明：如图，连接对角线AC,则四边形ABCD被分成△ABC和△ACD两个三角形.在△ABC中，根据三角形内角和定理，得∠同理∠2+∠4+∠D=180°.=180°+180°=360°.即四边形的内角和等于360°.教师问11:同学们想一想，还有其他的证明方法吗?学生讨论回答并得出结论.(出示课件12-14)解法二：如图，在BC边上任取一点E,连接AE,DE,所以该四边形被分成三个三角形，所以四边形ABCD的内角和为=360°.解法三：如图，在四边形ABCD内部取一点E,连接AE,BE,CE,DE,把四边形分成四个三角形：所以四边形ABCD内角和为：=180°×4-360°=360°.C解法四：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.所以四边形ABCD内角和为180°×3-180°=360°.CC结论：四边形的内角和为360°.总结点拨：这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.例1:如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系?试说明理由.(出示课件15)师生共同解答如下：解：如图，四边形ABCD中，∠.所以∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)总结点拨：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.出示课件16,学生思考后找同学口答，教师订正.3.合作探索四边形的外角和如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少?教师问12:看图想一想，四边形任意一个外角和它相邻的内角有什么关系?学生回答：互补教师问13:四个外角加上它们分别相邻的四个内角和是多少?学生回答：4×180°=720°(出示课件17)师生共同解答如下：(出示课件18)解：如图，∵∠DAB与∠1是邻补角，720°.结论：四边形的外