概率论与数理统计课件-3.3 连续型随机变量

定义：函数f(x)在区间[a,b]上连续，通常称函数

积分上限函数.定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分上限函数F(x)在[a,b]上可导,且注：连续型R.V.的分布函数是连续函数。牛顿-莱布尼茨公式：定积分的简单性质:设f(x)和g(x)都是[a,b]上的连续函数，k为常数.性质1:性质2:性质3:积分可加性二、概率密度函数的性质由定义知,概率密度函数f(x)具有以下性质:[确定待定参数]※例1：设随机变量X的概率密度函数为求常数k。练习2：设X是连续型R.V.，其密度函数为求常数A。练习1：设X为连续型R.V.，其密度函数为求常数a。设有一克金,被碾成沿x轴分布的一片面积为1的金箔1.概率密度函数的几何解释三、概率密度函数的应用1.概率密度函数的几何解释注:连续型随机变量取某一确定值的概率为零.A=ΦP(A)=0即，不可能事件与零概率事件的关系：2.零概率事件与不可能事件是一回事吗？同理：必然事件与1概率事件的关系与此相似。因此,在计算连续型R.V.取值落在一个区间的概率时,不分开区间或是闭区间,这与离散型R.V.是不同的.[1]由分布函数求密度函数※例3：设随机变量X的分布函数为求概率密度函数。注：对分布函数分区间求导，得密度函数3.概率密度函数与分布函数关系：※※Exe.1：设R.V.X的分布函数求概率密度函数。Exe.2：设R.V.X的分布函数求概率密度函数。[2]由密度函数求分布函数※3.概率密度函数与分布函数关系：※※注：当密度函数为分段函数时，由于分布函数是定义在整个数轴上的函数，因此，在利用密度函数求解分布函数时应分区间求解。例3：设R.V.X的概率密度函数为求X的分布函数。[由密度函数求区间概率]※4.区间概率求解F(-∞)=0,F(+∞)=1。性质:0≤F(x)≤1；分布函数F(x)定义：应用：※定义：设函数f(x)在区间上连续,

规定：称此函数为f(x)在上的广义积分。当极限存在时,称广义积分收敛。广义积分的牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式例3续：设随机变量X的分布函数为求区间概率(两种方法)

解：由分布函数求区间概率公式得：

离散型随机变量

连续型随机变量

分布函数分布律

概率密度函数描述随机变量知识点与基本要求：（1）理解连续型随机变量概率密度函数的概念、性质及其应用（如确定密度函数中的参数；已知密度函数求分布函数或已知分布函数求密度函数；求随机变量的区间概率）；（2）掌握连续型随机变量概率密度函数与分布函数间的关系（例如确定分布函数中的参数；已知随机变量的分布律或密度函数求分布函数；已知分布函数求分布律或密度函数）；（3）会利用概率密度函数计算随机变量在某区间内取值的概率问题。教学重点：连续型随机变量概率密度函数的概念、性质及其应用，概率密度函数与分布函数间的关系。

本节小结：基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式不定积分的基本公式不定积分的基本公式不定积分的基本公式练习：设随机变量X的概率密度函数为

求X的分布函数。解：概率密度函数f(x)在(-∞,+∞)上为分段函数,其分段区间为(-∞,-1],(-1,1],(1,+∞);而分布函数为累积概率和,故应就x在上述不同区间上积分求F(x).

①当时，

②当时，[积分公式]]

③当时，[积分：为单位圆面积一半。]故分布函数为：②利用积分对积分区间的可加性，就被积函数[概率密度函数]分段积分。

由概率密度函数计算分布函数的方法①用概率密度函数取值非零的定义区间将整个x轴分成若干个子区间；计算分布函数的方法。熟练各种积分的计算是基础而重要的。实例:一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.求(1)X的分布函数.解弹着点于是故X的分布函数为其图形为一连续曲线三、几种重要的连续型随机变量1、均匀分布(Uniformdistribution)定义1:设连续型随机变量X的概率密度函数为则称X服从区间(a,b)上的均匀分布,记为其分布函数为例1:某个电阻器的电阻R服从(900,1100)上的均匀分布，求：(1)电阻R落在(950,1050)上的概率；

(2)电阻R落在(850,1050)上的概率；例2:设随机变量X服从区间(2,5)上的均匀分布，现对X进行三次独立观测，求：(1)恰好有两次观测值大于3的概率；(2)至少有两次观测值大于3的概率。注：均匀分布的概率意义，如果X落在区间(a,b)上的均匀分布，那么对于任意满足结论：X落在(a,b)中任意子区间的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的具体位置无关。

例3：设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程

有实根的概率.解:因为R.V.K~U(0,5),所以K的概率密度函数为:

又方程有实根,当且仅当即或,故事件“方程有实根”的概率为其分布函数为2、指数分布(Indexdistribution)定义2:设连续型随机变量X的概率密度函数为其中λ>0为常数,则称随机变量X服从参数为λ的指数分布，记为指数分布也被称为寿命分布，如电子元件的寿命，电话通话的时间，随机服务系统的服务时间等都可近似看作是服从指数分布的。解：X的密度函数为热水器在100小时内需要维修的概率为例4：假设某种热水器首次发生故障的时间X(小时)服从指数分布E(0.002)，求该热水器在100小时内需要维修的概率。练习：设某地连续两次地震之间相隔年数为X,X服从参数为0.1的指数分布。现在该地区刚发生一次强地震，求：(1)今后3年内发生强地震的概率；(2)今后3～5年内发生强地震的概率。思考题：设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(分钟)服从指数分布,其概率密度为某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开.他一个月要到银行5次.以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,写出Y的分布律,并求P(Y≥1).

解:这是一道综合题:指数分布+二项分布.先求“他未等到服务而离开”的概率:因为R.V.Y~B(5,e-2)，所以Y的分布律为:于是,“一个月内至少有一次未等到服务而离开”的概率为:思考：某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00,7:15,7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站的时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量，试求他候车时间少于5分钟的概率。解：以7:00为起点0，以分为单位，依题意乘客到达此站的时间X是7:00到7:30之间的候车时间少于5分钟的概率。正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。正态分布是十九世纪初，由高斯(Gauss)给出并推广的一种分布，故也称高斯分布。正态分布(Normaldistribution)应用正态分布是概率论中最重要的分布，在实际中，许多随机变量都服从或近似服从这种“两头小中间大”的正态分布，例如，测一个零件的长度的测量误差，海洋波浪的高度，农作物的单位面积产量，人的身高或体重等服从正态分布。正态分布在理论上也有很重要的意义。这条红色曲线近似我们将要介绍的正态分布的概率密度曲线。1、正态分布的定义Def:设连续型随机变量X的密度函数为其中μ,σ(σ>0)均为常数,则称随机变量X服从参数为μ,σ2的正态分布,记为X的分布函数为此积分不能直接积分出来二、标准正态分布2、正态分布密度函数的图像性质:设正态分布的密度函数为(1)对称性：f(x)曲线关于直线x=μ对称;

任意x，都有f(x+μ)=f(x-μ)(2)单调性与极值：在点处μ±σ处有拐点,并且当x→

∞时，f(x)→0，曲线f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。因此曲线以Ox轴为水平渐近线;(1)对称性：f(x)曲线关于直线x=μ对称;f(x)在x=μ处取得最大值:f(x)在(-∞,μ)内单调增加，(μ,+∞)在内单调减少2、正态分布密度函数的图像性质:(3)参数μ，σ2：

形状参数σ2(X的方差)确定概率密度曲线的形状;(4)3σ原则位置参数μ(X的数学期望)确定概率密度曲线的位置;特别的,当μ=0,σ2=1时,称R.V.X服从标准正态分布,其密度函数,分布函数分别为:二、标准正态分布由于标准正态分布概率密度函数关于y轴对称，因此，概率密度曲线在区间(-∞,-x],[x,+∞)上与x轴所围成的面积相等,而它们分别为:1、标准正态分布函数满足公式:例1：设，求若X～N(0,1),2、利用标准正态分布函数可以计算概率积分：3、正态分布函数与标准正态分布函数之间的关系定理：设R.V.注：利用定积分的换元积分法,此略.则R.V.[正态分布标准化]:任何正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。由上述定理可得:因此,关于正态分布的计算只需利用标准正态分布即可,而标准正态分布函数值可查附表2:标准正态分布函数值表[P.248]求得。

一般,有下列公式:设r.v.X~N(μ,σ2),则若X～N(0,1),重要结论例2：设随机变量X~N(3，4),(1)求P(2<X<5),P(-4<X<10),P(|X|>2),P(X>3);(2)确定c,使P(X>c)=P(X≤c).解：(1)σ=2(2)因为所以于是，即(4)正态分布的“3σ原则”设正态分布随机变量X的取值落在以μ为中心，以3σ为半径的区间(μ-3σ，μ+3σ)内的概率高达99.7%，超出这个范围的可能性还不到0.3%，此规律称为

3σ原则。1、设随机变量，试求（A）单调增大；（B）单调减小；（C）保持不变；（D）增减不定。2、设随机变量X~,则随σ的增大,概率()练习：例3：某地抽样调查结果表明，考生的数学成绩(百分)近似服从正态分布，平均成绩为72，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的数学成绩在60分至84分之间的概率。例4：假设某地区成年男性的身高(单位:cm)X～N(170,7.692),求该地区成年男性的身高超过

175cm

的概率。

解:设X～N(170,7.692),即事件{X>175