模型1 等时圆模型

模型1等时圆模型1.模型界定物体沿光滑轨道运动，轨道的一端在圆周上，另一端在同一圆周的最高点或最低点。2.模型构建1.如图1所示，当质点从静止开始从圆周上不同的点沿光滑的弦运动到圆的最低点，所需的时间相同，都等于沿竖直直径自由下落的时间即。图1图12.如图2所示，当质点从静止开始，从圆周的顶点沿不同的光滑弦运动到圆周上，所需的时间也相等，都等于沿竖直直径自由下落的时间。图2图23.如图3所示，若轨道的顶端O不在圆周的最高点也不在圆周的最低点时，从静止开始下滑的质点，沿不同轨道运动的时间不同，但随着轨道末端位置单调变化，aabcdo图3【典例】如图所示，A、B、C是同一半径为R的竖直圆周上的三个点，C为最低点，AC、BC为两条分别与水平方向成α、β角的光滑导轨。则物体从A、B点滑到C点所经历的时间之比为，到达C点时的速率之比为。【解析】当物体沿AC轨道运动时，对物体受力分析可知，物体在AC轨道上的合力的大小为，所以物体的加速度大小为。设圆的半径为R，由圆的几何关系可知，AC的长度为，由，可得物体由A运动到C得时间为。同理可得，沿BC运动时，加速度的大小为，BC的长度为，物体由B运动到C得时间，所以物体分别从A、B点滑到C点所经历的时间之比。由速度公式可得，沿AC运动时，物体的速度的大小为，沿BC运动时，物体的速度的大小为，所以A、B点到达C点时的速率之比为。【答案】【针对训练】1．如图所示，是竖直面内三根固定的光滑细杆，位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，c点为最低点．每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从O点无初速释放，用、、依次表示滑环到达a、b、c所用的时间，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】以O点为最高点，取合适的竖直直径Oe作等时圆，交Ob于b，如图所示根据等时圆原理可知，O到f、b、g、e时间相等，比较图示位移，有，可得，故选D。2．如图所示，球壳内有三条弦OA、OB、OC，O为球内的最低点，它们与水平面间的夹角分别为60°、45°、30°。三个光滑的小环分别从A、B、C处由静止沿所在弦下滑，运动到最低点所用的时间分别为、、，则三者之间大小关系为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】设弦与竖直方向夹角为，球的半径为R，由小环沿弦做匀加速运动有，解得运动时间为，与弦与竖直方向夹角无关，所以小环运动到最低点的时间相等。故选A。3．如图所示，在竖直平面内有一矩形，其长边与一圆的底部相切于O点，现在有三条光滑轨道a、b、c，它们的上端位于圆周上，下端在矩形的底边，三轨道都经过切点O，现在让一物块先后从三轨道顶端由静止下滑至底端(轨道先后放置)，则物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为（）A．ta＞tb＞tc B．ta＜tb＜tcC．ta＝tb＝tc D．无法确定【答案】B【解析】设上面圆的半径为r，矩形宽为R，则轨道的长度，下滑的加速度，根据位移时间公式得，因为轨道a、b、c与圆竖直直径的夹角由小至大，所以有tc＞tb＞ta，故选B。4．如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心。每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环从O点无初速释放，一个滑环从d点无初速释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、ad到达a、b所用的时间，则下列关系正确的是（）A．t1=t2=t3 B．t3>t1>t2C．t1＜t2＜t3 D．t2>t1=t3【答案】D【解析】设圆半径为R，oa与竖直方向的夹角为α，环沿oa下滑时的加速度大小为，根据运动学公式有，解得，同理可得，因此t1=t