4.1 一元二次函数

.1一元二次函数层级(一)“四基”落实练1．下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是()A．y＝2x2 B．y＝2x2－4x＋2C．y＝2x2＋4x＋5 D．y＝－2x2－4x－2解析：选C顶点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))在坐标轴上，需有b＝0或4ac－b2＝0，故选C.2．函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2()A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的B．向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的C．向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的D．向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的解析：选D函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度而得到的，故选D.3．一元二次函数y＝－x2＋2x＋3的取值范围是()A．(－∞，4] B．[1,4]C．[4，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：选Ay＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4≤4.4.已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则此函数的解析式可能为()A．y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x－3B．y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋3C．y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x－3D．y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋3解析：选A易知a>0，故排除C、D.对称轴－eq\f(b,2a)>0，故b<0，由y＝ax2＋bx＋c与y轴负半轴相交知c<0，结合选项知选A.5．已知函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是()A．[0,1] B．[0,2]C．[－2,0] D．[－1,0]解析：选Dy＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2.∵函数在[0,1]上的最大值是a2，∴0≤－a≤1，即－1≤a≤0.6．已知一元二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝________，n＝________.解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＝1，,\f(4ac－b2,4a)＝－2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,4)＝1，,\f(4×2×n－m2,4×2)＝－2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝0.))答案：407．已知一元二次函数y＝x2＋(m－2)x－2m，当m＝______时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝________时，函数图象的顶点在x轴上；当m解析：顶点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m－2,2)，\f(－m＋22,4)))，∴当m＝2时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝－2时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝0时，函数图象经过原点．答案：2－208．画出函数y＝x2－2x－3的图象，并根据图象回答下列问题.(1)方程x2－2x－3＝0的根是什么？(2)试描述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值．解：由y＝x2－2x－3，得y＝(x－1)2－4.显然开口向上，顶点为(1，－4)，与x轴交点为(3,0)，(－1,0)，与y轴交点为(0，－3)，图象如图．(1)由图象知x2－2x－3＝0的根为x＝－1或x＝3.(2)由图象可知，对称轴为直线x＝1，在区间(－∞，1]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[1，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大．函数在x＝1处取得最小值－4，即ymin＝－4.层级(二)能力提升练1．(多选)抛物线y＝－x2＋bx＋c上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表所示：x…－2－1012…y…04664…从上表可知，下列说法中正确的有()A．抛物线与x轴的一个交点坐标为(－2,0)B．抛物线与y轴的交点坐标为(0,6)C．抛物线的对称轴是直线x＝0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的解析：选ABD当x＝－2时，y＝0，∴抛物线过(－2，0)，∴抛物线与x轴的一个交点坐标为(－2,0)，A正确；当x＝0时，y＝6，∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,6)，B正确；当x＝0和x＝1时，y＝6，∴抛物线的对称轴为x＝eq\f(1,2)，C错误；当x<eq\f(1,2)时，y随x的增大而增大，∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，D正确．2．若一元二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝f(5)，则eq\f(b,a)的值为________．解析：由f(1)＝f(5)，知f(x)关于x＝3对称，∴－eq\f(b,2a)＝3，eq\f(b,a)＝－6.答案：－63．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及y随x的变化情况，并画出其图象．(1)y＝x2＋2x－3；(2)y＝1＋4x－x2.解：(1)y＝x2＋2x－3的图象开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1，－4)；当x＝－1时，函数取最小值y＝－4；当x>－1时，y随着x的增大而增大；当x<－1时，y随