4. 2 一元二次不等式及其解法　

4.2

一元二次不等式及其解法明确目标发展素养1.掌握一元二次不等式的解法．2.能根据三个“二次”之间的关系解决简单问题.1.通过解一元二次不等式，培养数学运算素养．2.通过三个“二次”关系的应用，提高数学运算和逻辑推理素养.(一)教材梳理填空1．一元二次不等式的概念一元二次不等式一般地，

只含有

未知数，并且未知数的最高次数是

的不等式叫作一元二次不等式一般表达式ax2＋bx＋c

0或ax2＋bx＋c

0，或ax2＋bx＋c

0，或ax2＋bx＋c

0，其中，x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0一元二次不等式的解集使一元二次不等式成立的所有未知数的

组成的______叫作这个一元二次不等式的解集一个><≥≤值集合22．三个“二次”的关系(a＞0)3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解方法(二)基本知能小试1．判断正误(1)mx2＋5x＋3＜0是一元二次不等式．

(

)(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}(x1＜x2)，则必有a＞0.(

)(3)方程ax2＋bx＋c＝0的解就是函数图象与x轴的交点．

(

)(4)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}(x1＜x2)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2. (

)(5)若方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(

)×√×√×3．已知全集U＝{x|x2＞1}，集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，则∁UA等于(

)A．{x|1＜x＜3} B．{x|x＜1或x≥3}C．{x|x＜－1或x≥3} D．{x|x＜－1或x＞3}答案：C4．若不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则a，c的值分别为________，________.答案：－1－6题型一不含参数的一元二次不等式的解法

【学透用活】[典例1]解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3＞0；[方法技巧]解不含参数的一元二次不等式的步骤

【对点练清】1．不等式x(x＋2)＜3的解集是

(

)A．{x|－1＜x＜3}

B．{x|－3＜x＜1}C．{x|x＜－1，或x＞3} D．{x|x＜－3，或x＞1}解析：由题意x(x＋2)＜3，∴x2＋2x－3＜0，即(x＋3)·(x－1)＜0，解得－3＜x＜1，∴该不等式的解集是{x|－3＜x＜1}，故选B.答案：B

2．解下列不等式.(1)－x2＋8x－3＞0；(2)x2－4x－5≤0；(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．(3)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，因为Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.题型二含参数的一元二次不等式的解法

【学透用活】[典例2]解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.[解]

当a＝0时，原不等式可化为x>1.当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.[方法技巧]解含参数的一元二次不等式的步骤题型三三个“二次”之间对应关系的应用

【学透用活】三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：[典例3]

已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．【对点练清】1．[变设问]本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通二、应用性——强调学以致用2．在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶谁应负主要责任？[析题建模]三、创新性——强调创新意识和创新思维