2026年高一数学寒假自学课（人教B版）第07讲 向量数量积的坐标运算（2知识点+7大题型）（解析版）

第07讲向量数量积的坐标运算内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：简单数量积坐标运算】【题型02：模的坐标运算】【题型03：夹角的坐标运算】【题型04：向量垂直的坐标运算】【题型05：投影向量的坐标运算】【题型06：平面几何与坐标运算】【题型07：利用坐标求平面几何的最值范围】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量,（1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即（2）向量垂直:知识点2：平面向量的模与夹角的坐标表示（1）向量的模:设,则（2）两点间的距离公式:若,则（3）向量的夹角公式:设两非零向量,a与b的夹角为θ,则【题型01：简单数量积坐标运算】1．设，为平面直角坐标系内两点，若，则（

）A．16 B． C．4 D．【答案】B【详解】，，故－16.故选：B.2．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为2，则（）A．0 B．3C．6 D．12【答案】D【详解】以两向量公共点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，则，，，则，，，所以.故选：D3．已知其中k为实数，若向量与的夹角为钝角，则k的取值范围（

）A． B． C．6 D．【答案】D【详解】，不共线时，.所以.故选：D．4．已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，化简得，即，解得．故选：C5．已知向量与，且，则【答案】或【详解】，即，解得或.故答案为：或.6．已知向量，，若，且，则．【答案】【详解】因为，所以，即，解得或.当时，，，此时，，满足；当时，，，此时，，不满足，舍去；因此，，，所以．故答案为：.【题型02：模的坐标运算】7．已知向量，，若，则（

）A． B． C．1 D．【答案】C【详解】，由题意：，所以.故选：C.8．已知，.，且点在第四象限，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，且，①，，②，又，③，由①②③解得，则点的坐标为.故选：A.9．已知向量.若，则（

）A． B．5 C． D．45【答案】A【详解】由题意可得，，得，则，所以，则.故选：A.10．已知，，若，则（

）A．3 B． C． D．【答案】C【详解】由，，得故，由得，解得或，当时，，则，故；当时，，则，故.综上，.故选：C11．在四边形中，，，，则四边形的面积为（）A． B．4 C． D．6【答案】B【详解】因为在四边形中，，所以且，则四边形为梯形，又，，所以，则，且，则，所以四边形的面积为.故选：B.12．在平面直角坐标系中，已知，，，若，则.【答案】【详解】，，，得，.故答案为：【题型03：夹角的坐标运算】13．已知向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，，所以.故选：A14．已知向量，，则向量与的夹角的正切值等于（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【详解】设向量与的夹角为，因为，，所以，所以，故.故选：C.15．已知向量，若，则实数（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】由题意知，因为，解得或，由，得，因此.故选:D.16．已知不共线的向量，，，且，则（

）A．1 B． C． D．6【答案】D【详解】因为，所以，即，解得，当时，，，不共线，满足题意；故.故选：D17．已知平面向量，向量与夹角的余弦值为，且，为实数，则.【答案】【详解】由夹角公式，又，.故答案为：18．已知向量，，向量在方向上的投影为2．(1)求实数的值；(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）由题可得，解得.（2）由向量与的夹角为锐角，可得且与不共线，，所以，又，即，此时可得所以实数的取值范围为.【题型04：向量垂直的坐标运算】19．已知向量，，若，则（

）A． B．5 C． D．8【答案】C【详解】因为向量，，所以.由于，所以，所以，解得.所以，所以.故选：C.20．已知平面向量，若，则=（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，因为，所以，解得.故选：D21．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】设，因为四边形是正方形，所以，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，即得，解得或，因为，所以不合题意舍去，所以，所以点.故选：A.22．若向量，则.【答案】【详解】因为，则，又因为，所以，解得.所以，，故答案为：.23．平面上有三点，，，向量，．(1)若三点，，不能构成三角形，求实数满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，其中是直角，求的值【答案】(1)(2)或j．【分析】【详解】（1）若三点不能构成三角形，则，又，所以，解得．（2）因为，所以，因为，所以，解得或.【题型05：投影向量的坐标运算】24．已知向量，则在方向上的投影数量为（

）A．4 B． C．2 D．【答案】B【详解】向量，则，，，，所以在方向上的投影数量为.故选：B25．已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，由题意知，所以，所以，即=2，解得.故选：C.26．已知平面向量满足，则在上的投影向量为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意得，又，所以在上的投影向量为.故选：B27．在平面直角坐标中，已知三点，，，若向量，在上的投影向量相等，则的值为（

）A．2 B．0 C．2 D．3【答案】B【详解】依题意，向量，在上的投影向量相等，所以，则，即，所以.故选：B28．已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则.【答案】【详解】依题意，向量在向量方向上的投影向量为，因此，又，所以.故答案为：29．光束是由一粒一粒运动着的粒子流组成的，这种粒子被称为光量子，简称光子．已知在某次光学实验中，实验组相关人员用感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A，B，通过数学建模与数据分析得知，在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为，设光子相对光子的位移为，则在上的投影向量的坐标表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由向量，可得，所以在上的投影向量为．．故选：C．【题型06：平面几何与坐标运算】30．已知在等腰三角形中，，，是的中点，且，则（

）A． B． C．0 D．【答案】D【详解】在等腰三角形中，是的中点，所以，所以，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以，，则.故选：D.31．如图，为等边三角形的中线上任一点，，，则（）

A． B．C． D．【答案】D【详解】方法一：因为为等边三角形，是边的中点.所以.故.所以.因为是边上的中点，所以有.因此.故选：D方法二：

以为原点，，为轴，轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设，，，.则，，，.所以.又因为，，所以有两式作差得.故.故选：D32．已知点，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，又，则，，，因为，所以，即，解得，所以，则，，所以，，所以在上的投影向量为.故选：D33．如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，而，从而，所以.故选：A.34．已知在中，是内一点，且，则.【答案】40【分析】【详解】解法1：设，，，则由得，由得，所以，，所以.解法2：如图，取的中点，取的中点，则，即，故，，所以.故答案为：40.35．已知，，，判断的形状，并给出证明．【答案】直角三角形，证明见解析【详解】是直角三角形.证明：因为，，，则，，所以，则，故是直角三角形．36．已知在中，，，若，判定的形状．【答案】是等腰三角形【详解】以为原点建立平面直角坐标系，不妨设，如图，

所以，由有，整理得，则，即，解得．所以，所以是等腰三角形．【题型07：利用坐标求平面几何的最值范围】37．已知正方形的边长为2，点是的中点，点是对角线上的动点，则的最大值为（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】以为坐标原点，方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：则，，，设，则，，所以．所以当时，取得最大值为2．故选：B．38．如图所示，已知正方形的中心为点，其边长为2.分别以为圆心，1为半径作圆.若动点分别在圆，圆，圆，圆上，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【详解】如图建立平面直角坐标系，由题意可设：则所以，当且仅当时取等号，故选：D.39．在平面直角坐标系中，，，，，，则的最大值为（

）A．280 B． C．300 D．【答案】C【详解】因为，，，由，所以，所以．，设是中点，，，因为，即，当且仅当同向时取等号，所以故选：C.40．如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（

）

A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

，，设，则（其中），，，所以，当时，取得最小值11.故选：C41．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（）A． B．2 C． D．【答案】C【详解】设的夹角为，当与重合时，；当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时，，所以，当与重合时，，所以，以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系，根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为，则，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，当在线段（除）上运动时，设，所以，当在线段上运动时，设，所以，当在线段（除）上运动时，设，所以.综上所述，的最小值为.故选：C42．如图，在直角梯形中，．若、分别是、上的动点，满足，其中，则的最大值为．【答案】【详解】建立如图所示的直角坐标系，由题意可得：，设，即，据此可得：，故，同理可得，据此可得：，则，由于，所以当时，取得最大值，为．故答案为：43．已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是.【答案】【详解】取，连接，如图所示，则，设，则B，D，E三点共线，由，可知当时，有最小值，故，即为等腰直角三角形，以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则，，设，，则，，故，故当时，可得的最小值是故答案为：一、单选题1．已知向量，．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题可知，，解得.故选：D.2．已知向量满足，，，则（

）A．1 B．C． D．2【答案】B【详解】因为，则，又因为，则，所以.故选：B.3．若向量，且向量在向量上的投影向量为，则（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【详解】由题意可知，，则，因为，所以，则.故选：C4．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（

）

A．12 B． C．16 D．【答案】A【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：

由于正六边形的边长为1，所以，，所以，所以，故选：A5．在平面直角坐标系中，已知点，，，若向量，在的投影向量相等，则的值是（

）A．0 B． C． D．3【答案】A【详解】，，，由条件可知，所以，即，即.故选：A6．已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，则，，两点在以为圆心，为半径的圆上，设，由可取，，，则当时，取得最小值，.故选：C.二、多选题7．已知向量，，，，且，则（

）A．与的夹角为B．在上的投影向量为C．D．【答案】ABD【详解】，与的夹角为，所以A正确；因为在上的投影向量为，所以B正确；由且，得，解得或，则或，所以C不正确；当时，，当时，，故D正确.故选：ABD.8．设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（

）A．B．C．在上的投影向量的坐标为D．【答案】ACD【详解】由题可得，，，，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，在上的投影向量为，由B分析可得，又，则，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD三、填空题9．已知向量，若与的夹角的余弦值为，则.【答案】【详解】由题意知，，，则，整理，得且，解得.故答案为：.10．已知