2026年高一数学寒假自学课（人教B版）专题03 求函数的解析式6大题型（解析版）

专题03求函数的解析式6大题型内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点1：直接代入法求解析式直接代入法是已知函数的解析式，求的解析式常用的方法。【注意】代入时，要注意变量的取值范围。知识点2：待定系数法求解析式1.若已知函数的类型，比如一次函数、反比例函数、二次函数等，可根据已知条件求函数解析式；2.基本步骤是：根据函数类型设出其解析式的一般形式，再根据条件得到关于系数的方程，求出系数便可得到最终函数的解析式.知识点3：换元法求解析式1.换元法主要用于解决已知的解析式求的解析式的问题；2.基本的步骤：先设，再用表示，再代入原函数解析式得到关于的解析式后化简，最后把变量再换回。【注意】换元法要注意新变量的取值范围。知识点4：配凑法求解析式由已知条件，可将改写成关于的表达式然后以代替，便得到的解析式。知识点5：已知奇偶求解析式利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤：①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设；②转化到已知区间上，代入已知的解析式；③利用的奇偶性写出或，从而解出．知识点6：方程组法求解析式1.方程组法主要是解决已知与、等相结合的方程，求的解析式；2.基本想法是把方程中的变为或，得到一个新的方程，利用两个方程求出，从而得到的解析式。【注意】在求两个方程时，把与或与看成两个未知数进行求解。【题型01直接代入法求解析式】1．已知函数，则（）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，而，所以.故选：C.2．若函数，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以，，，.故选：A3．已知，则.【答案】.【详解】由题设.故答案为：4．定义在上的函数，满足，若当时，，则当时，.【答案】【详解】当时，则，因为，所以，又当时，，所以.故答案为：.5．设是定义在上的函数，且对一切均有，当时，．(1)求当时，函数的解析式；(2)求当时，函数的解析式．【答案】(1)；(2).【分析】【详解】（1）由于，则，即，当时，，则；（2）由，得，则，即函数周期，当时，，则，因为，所以；6．若定义在上的奇函数满足，当时，．(1)求的值；(2)当时，求函数的表达式．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）∵定义在上的奇函数满足，∴，，∴，即函数是以为周期的周期函数，又时，∴，（2）∵当时，∴当时，，∴，∴当时，，∴.【题型02待定系数法求解析式7．已知是二次函数，且，，，则的解析式为．【答案】【详解】设，根据题意得，解得，所以．故答案为：．8．已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】设，则，可得，解得，即，令，则，可得，因为的图象开口向上，对称轴为，可得在上单调递增，且当时，，可得，即函数的值域为.故选：B.9．（多选）已知一次函数满足，则的解析式可能是（）A． B．C． D．【答案】AC【详解】设，则，因为，所以，解得或，所以或.故选：AC10．已知二次函数满足.(1)求的解析式;(2)求在上的值域.【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）设，代入，得.所以，解得，，.故.（2）由（1）知，，在上单调递减，在单调递增.又，，.所以在上的最小值为，最大值为，值域为.11．已知二次函数满足：，．(1)求二次函数的解析式；(2)求不等式的解集．【答案】(1)；(2)或.【分析】【详解】（1）设二次函数，由，得，则；由，得，即，因此，解得，，所以二次函数的解析式为.（2）由（1）知，，不等式，即，解得或，所以原不等式的解集为或.12．已知函数是正比例函数，函数是反比例函数，且，.(1)求函数和；(2)求函数在上的最小值.【答案】(1)，(2).【分析】【详解】（1）解：由题意，设，，因为，，可得，所以，.（2）解：当时，，当且仅当，即时，等号成立，所以在上的最小值为.13．已知，，为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由可知函数的分段点为和，而函数，，为一次函数，所以可得函数和的根为和，假设的根为，的根为，分4种情况讨论：（1）时，，时，，当时，，当时，，两式相加可得，（2）时，，时，，当时，，当时，，两式相加可得，（3）时，，时，，当时，，当时，，两式相加可得，（4）时，，时，，当时，，当时，，两式相加可得，综上可得故选：B【题型03换元法求解析式】14．已知函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】令，则，而，则，可得，∴.故选：B.15．若函数，则．【答案】【详解】解法一：代入，可得，所以，解法二：因为，令，则，所以，即，所以，故答案为：.16．已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数，所以函数.故选：A17．已知函数，则函数的解析式是．【答案】，【详解】，且，所以，．故答案为：，．18．已知，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】令，则，所以，所以.故选：D19．（多选）已知是一次函数，，且，函数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】依题意可设，由可得，因此可得，解得或；又因为，所以，即，即A正确，B错误；又可得，令，所以，因此，所以，可得C正确，D错误.故选：AC【题型04配凑法求解析式】20．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意知，即，令，因为，故，则可得，故，故选：A21．若，则（

）A． B． C． D．11【答案】A【详解】由题意知，，所以，则.故选：A22．已知，则的解析式是.【答案】，【详解】因为，则，当时，，当且仅当时等号成立，当时，，当且仅当时等号成立，所以，.故答案为：，.23．已知函数，则的解析式为.【答案】.【详解】因为函数，且，所以.故答案为：.24．已知函数满足，则的解析式为（

）.A．， B．C． D．【答案】C【详解】因为函数满足，即，令，则，故.故选：C.【题型05已知奇偶求解析式】25．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为【答案】【详解】设，可得，因为当时，，可得，又因为是定义在上的奇函数，则，所以当时，可得，所以在上的解析式为故答案为：.26．已知偶函数的定义域为，且当时，，当，．【答案】【详解】当时，，而是偶函数，所以.故答案为：27．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则的解析式是.【答案】【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，且；因为当时，；所以当时，，所以；因为；所以的解析式是.故答案为：28．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（

）A．1 B．5 C．6 D．4【答案】C【详解】因为①，所以②，又因为分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以②式可化为③，联立①③得，所以.故选：C.29．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】函数为偶函数，则，即①，函数为奇函数，则，即②，联立①②可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即时，等号成立，故函数的值域为.故选：B30．已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数.【答案】【详解】因为偶函数，所以，又，得，即①.又为奇函数，所以，又，得②.将①代入②得，，，解得.故答案为：.31．已知定义在上的偶函数；当时，.(1)求的解析式；(2)求方程的解集.【答案】(1)；(2).【分析】【详解】（1）函数为定义在上的偶函数，且当时，，当时，，则，所以的解析式为.（2）当时，，则，即，而，因此，解得，且，由偶函数图象的对称性知，当时方程的解为，所以原方程的解集为.【题型06方程组法求解析式】32．已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】A【详解】因为，①用置换得，②①-②得.设当时，当时，可转化为函数，又因为，所以当时，，，当时，，，所以当，即时，取得最大值，对应地，当时，取得最大值.综上，函数的最大值为，故选：A.33．已知函数的定义域为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，代替,得，，令，得，解得.故选：B.34．若，求的解析式．【答案】（且）【详解】由题可知，令，其中，则，，于是有：①，由上式有意义，得且，即且，用替换得：②，联立①②，解得（且），所以（且）．35．已知函数满足，则等于（

）A． B．1 C．5 D．9【答案】C【详解】令得，令得，联立解得.故选：C.36．已知函数的定义域为R，且对，则（

）A． B． C． D．3【答案】C【详解】已知对，令得：；令得：.由，解得：，即.故选：C37．已知函数的定义域为，对定义域内的任意均满足，则，的最大值为．【答案】【详解】令，代入已知等式可得，解得；令x替换为，可得，联立原等式，解得，当时，，令（），则，又，当且仅当即时取等号，因此，即的最大值为．故答案为：，．1．已知，则函数的解析式为（

）.A． B．C． D．【答案】B【详解】，且，所以，故选：B2．已知，则的解析式是（

）.A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，所以，则.故选：C3．设函数满足等式，则的值域为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由可得：，两式联立可得：，所以，，因为，所以，所以的值域为，故选：A4．定义在上的函数满足，则的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【详解】因为，①令，可得.②①②得，所以.所以.故选：B.5．若是定义在上的函数，为奇函数，为偶函数，则的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】D【详解】根据已知条件，为奇函数，为偶函数，可得：，联立解得：计算得：因此，.故选：D.6．已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为是定义在上的奇函数，为偶函数，所以，，即，所以，所以，可得，所以的最小正周期为，又当时，，当时，则，所以，又由是周期为的奇函数，则，故，.故选：D．7．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意知，所以函数是以4为周期的周期函数，又当时，，且是定义在上的奇函数，所以时，，，所以当时，，.故选：B.8．若函数为奇函数，为偶函数，则（）A．的最小值为，无最大值B．的最大值为，无最小值C．的最小值为，最大值为D．既没有最小值，也没有最大值【答案】A【详解】因为为奇函数，为偶函数，所以，，即，，解得．因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为