数学建模初体验：从生活问题到一元二次方程-八年级数学下册教学设计

数学建模初体验：从生活问题到一元二次方程——八年级数学下册教学设计一、教学内容分析

本节课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域，是学生在掌握一元二次方程解法之后，首次系统地将方程作为数学模型解决实际问题的关键节点。从知识图谱看，它上承方程解法这一工具性知识，下启二次函数等更复杂的模型，扮演着从“学会解方程”到“会用方程想问题”的认知桥梁角色。课标强调的“模型观念”在本课得到集中体现，即引导学生在具体情境中发现数量关系，用数学语言（方程）予以表征，并通过求解、检验、解释的完整流程，解决现实问题，体验数学的实用性。这不仅是技能的操练，更是数学建模思想的启蒙。其素养价值在于，通过将芜杂的实际问题“数学化”，发展学生的数学抽象与逻辑推理能力；通过分析解的合理性，培养严谨求实的科学态度和批判性思维。

八年级学生已具备一元一次方程应用的经验和一元二次方程的解法技能，这为学习新知奠定了基础。然而，从一元一次到一元二次，问题的数量关系从线性跃升至非线性，建模的思维跨度显著增大。预计学生的认知障碍将集中于：一是从复杂文字描述中准确抽象出等量关系，尤其是涉及面积、增长率等典型模型；二是理解方程的解必须符合实际意义（如边长非负、增长率合理），进行双重检验。因此，教学需设计梯度任务，搭建“脚手架”，帮助学生突破从“识别题型”到“自主建模”的思维瓶颈。在过程中，我将通过巡视、聆听小组讨论、分析草稿、设置关键提问等方式，动态评估学生的理解层次，并对理解滞后的学生提供更具象的图表支持，对学有余力的学生则引导其探寻一题多模或多解归一。二、教学目标

知识目标：学生能识别并归纳出增长率、面积、数字、营销利润等典型问题中的基本数量关系，并准确用一元二次方程进行数学表达；理解并践行解一元二次方程应用题“审、设、列、解、验、答”的六步法，特别是明确“验”的双重含义（检验是否满足方程及实际情境）。

能力目标：学生能够从生活化或跨学科（如物理、经济）情境中，提取关键信息，分析并建立等量关系，独立完成一元二次方程模型的初步建构；在小组合作中，能够清晰陈述自己的建模思路，并对他人的模型进行合理性评价与质疑。

情感态度与价值观目标：在解决贴近生活的实际问题过程中，学生能体会到数学的应用价值，增强学习内驱力；在小组探究与讨论中，养成乐于分享、敢于质疑、严谨求实的科学态度与合作精神。

科学（学科）思维目标：重点发展数学建模思维，经历“现实问题→数学问题（方程）→数学解→现实解”的完整过程；同时强化分类讨论思想，例如在面对方程的两个根时，能主动根据实际背景进行取舍。

评价与元认知目标：引导学生使用“六步法”清单作为自我监控和同伴互评的工具；在课堂小结时，能回顾并反思自己在“从问题中找等量关系”这一核心步骤上的成功经验或遇到的困难，规划后续学习重点。三、教学重点与难点

教学重点：从实际问题中抽象出数量关系，建立一元二次方程模型。确立依据在于，课标将“模型观念”作为核心素养之一，而本课是系统培养该素养的起点。从学业评价看，能否正确建模是解答此类应用题的先决条件和主要得分点，它综合考察了学生的阅读分析、数学抽象和符号化能力，是承托后续所有解题步骤的基石。

教学难点：对求得的方程解进行基于实际意义的检验与取舍。预设依据源于学情分析和常见错误。学生习惯于纯数学计算，往往解出方程即止步，极易忽略解的现实合理性（如负增长率、矩形边长为负等）。这需要学生完成思维上的“回归”，实现数学世界与现实世界的二次对接，是认知的完整闭环，也是思维严谨性的直接体现。突破方向在于强化“双重检验”意识，并通过反例加深印象。四、教学准备清单1.教师准备

1.1媒体与教具：多媒体课件（内含问题情境动画/图片、探究任务、分层练习题）；交互式白板或黑板，用于呈现学生建模思路。

1.2学习材料：设计并打印《学习任务单》（包含探究引导、分层练习区、课堂小结框架）；准备几个典型的错误解答案例（供分析用）。2.学生准备

2.1知识回顾：熟练一元二次方程的四种解法（直接开平、配方法、公式法、因式分解法）。

2.2学具：草稿纸、笔、直尺（便于画示意图）。3.环境准备

3.1座位安排：四人异质小组围坐，便于合作探究。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设，抛出挑战：“同学们，学校计划将一块长方形花园进行扩建。已知原来的长是10米，宽是8米。现在要求扩建后，花园的面积要增加80平方米，并且长和宽增加的长度相同。如果你是设计师，这个增加的长度你会定为多少米呢？来，先凭感觉猜一猜。”

1.1建立联系，唤醒旧知：待学生猜测后，引导思考：“感觉有点难猜准了，对吧？因为我们遇到了一个变化中的面积问题。回想一下，解决复杂的‘变化中求定量’问题，我们以前常用什么数学工具？”（预期回答：方程）“没错，方程是我们的好帮手。那今天，我们就一起深入探讨，如何请出一元二次方程这位‘大将’，来解决这类更富挑战的生活问题。”

1.2明晰路径，提出核心问题：“这节课，我们的核心任务就是：如何从一个个生活问题中，‘请’出合适的一元二次方程模型，并让它为我们提供精准的答案。我们将通过几个典型任务，掌握一套清晰的‘请神六步法’。”第二、新授环节任务一：破解花园扩建之谜——审题与设元

教师活动：首先，引导学生集体朗读花园扩建问题。接着提问：“面对应用题，第一步切忌盲目动笔。我们要做什么？”（审题）。“审什么？审出已知量、未知量和核心的等量关系。谁能告诉我，本题中，什么量变了，什么量没变？”（形状是矩形没变，长、宽、面积都变了）。然后引导：“扩建后面积怎么表示？能试着用代数式表示吗？如果设增加的长度为x米。”教师在白板上画出原矩形与扩建后的矩形对比示意图，为学生提供直观支撑。

学生活动：学生跟随教师引导，在《学习任务单》上标注已知、未知。尝试用含x的代数式表示新长方形的长(10+x)米、宽(8+x)米。思考并尝试表达等量关系：新面积原面积=80。部分学生可能直接列出(10+x)(8+x)108=80。

即时评价标准：1.能否准确找出所有已知量和未知量。2.能否在教师提示下，借助图形理解变化过程。3.能否尝试用字母（设元）表示未知量，并初步建立代数式。

形成知识、思维、方法清单：★审题三要素：找已知、设未知、挖等量。这是建模的起点。▲设元技巧：通常将所求量设为未知数x，并关注其单位。画图策略：对于几何问题，示意图是化抽象为形象的利器，能有效厘清数量关系。任务二：合作列出第一战方程——列式与化简

教师活动：“现在，我们已经有了等量关系的雏形，接下来请小组合作，尝试把这个关系用方程完整地‘翻译’出来，并把它整理成一元二次方程的一般形式。看看哪个小组‘翻译’得既准确又整洁。”教师巡视各小组，重点关注列式是否正确、化简过程是否规范（如去括号、移项、合并同类项）。对于列式有困难的小组，提示回归“扩建后面积怎么算”这个基本点。

学生活动：小组内交流讨论，共同完成方程的建立与整理。一名学生主笔，其他成员补充或检查。最终得到方程x²+18x80=0。小组代表准备分享列式思路。

即时评价标准：1.小组合作是否有序，每个成员是否参与。2.所列方程是否能正确反映等量关系。3.化简过程是否遵循代数运算的基本法则，结果是否为一般形式。

形成知识、思维、方法清单：★列方程：将用自然语言描述的等量关系，转化为用数学符号（数、字母、运算符号）连接的等式。▲方程一般形式：ax²+bx+c=0(a≠0)。这是使用公式法等解法的前提。合作学习价值：集思广益，相互纠正，降低个人思维盲点。任务三：多法求解并发现新问题——求解与初验

教师活动：“方程已经列好，接下来是大家的老本行——解方程。请独立思考，用你最喜欢或最擅长的方法解出这个方程。”待大部分学生解完后，请用不同方法（如因式分解法、公式法）的学生上台板演。“大家看，两位同学得到了相同的两个解：x1=4，x2=22。现在问题来了：作为花园增加的长度，这两个答案都合适吗？说说你的理由。”

学生活动：学生独立解方程。观察板演过程，对照自己的解法。面对教师提问，积极思考并回答：“增加的长度不能是负数，所以x2=22要舍去。”

即时评价标准：1.解方程的过程是否规范、计算是否准确。2.面对方程的两个根，是否第一时间联系实际问题背景进行思考。3.能否清晰陈述舍去负根的理由。

形成知识、思维、方法清单：★双重检验：第一重，检验是否是原方程的根（计算检验）；第二重，也是本节课难点，检验根是否符合实际问题的意义（如长度为正、人数为整数、增长率合理等）。★解的取舍：不符合实际意义的根，必须舍去。方法择优：根据方程特点，灵活选择最简便的解法。任务四：归纳建模“六步法”——流程化

教师活动：“经过刚才的实战，我们完整地解决了一个问题。现在请大家回头看看，我们一共经历了哪几个关键步骤？试着给它起个名字，总结出一个流程。”引导学生从“审题、设元、列方程、解方程、检验、作答”六个方面进行概括，并板书“审、设、列、解、验、答”六字诀。强调：“这‘六步法’就是我们‘请’方程模型的标准化流程，能让我们解题更有条理，不丢步。”

学生活动：回顾解题过程，在教师引导下总结步骤，并记录在任务单上。齐读或默记“六步法”。

即时评价标准：1.能否完整回忆并概括出解题的主要阶段。2.是否理解每一步的核心任务及其必要性。

形成知识、思维、方法清单：★一元二次方程应用题的解题流程（六步法）：审题→设未知数→列方程→解方程→（双重）检验→写出答案。这是建模思维的程序化体现，是解决一类问题的通用框架。任务五：挑战增长率模型——迁移与应用

教师活动：呈现新情境：“某种药品经过两次降价，单价由原来的每盒60元降至48.6元，求平均每次降价的百分率。这次没有几何图形了，等量关系藏在哪？”引导学生分析“两次降价”的含义：若设百分率为x，第一次降价后单价为60(1x)，第二次是在此基础上再降，即60(1x)²。“这里的等量关系是？”（两次降价后的现价=48.6）。让学生模仿“六步法”独立尝试列方程。巡视时，关注学生能否理解“连续增长或下降”的模型a(1±x)^n=b。

学生活动：独立阅读问题，分析“平均每次”和“两次降价”的含义。尝试设元，并推导出方程60(1x)²=48.6。感受不同情境下（几何变化、连续增长/下降）建模的差异与共通之处。

即时评价标准：1.能否独立审题并找到核心等量关系。2.能否准确理解并表达“连续变化”的数学模型。3.是否自觉运用“六步法”框架指导解题。

形成知识、思维、方法清单：★平均增长率（下降率）模型：若起始量为a，平均变化率为x，经过n次变化后的量为b，则关系为a(1±x)^n=b。这是另一类高频且重要的模型。▲模型识别：开始培养学生识别问题类型（如面积问题、增长率问题）的敏感性，以便快速调用相关数量关系结构。第三、当堂巩固训练

设计核心：实施分层巩固，提供即时反馈。

1.基础层（全体必做）：“一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm²。求较长的直角边的长。”（直接应用面积公式建模，巩固基本流程）

2.综合层（多数人完成）：“某社群群主决定在节日期间发红包。若每名成员发5元，则余下18元；若每名成员发6元，则最后一名成员只能拿到不足4元（但至少拿到1元）。请问这个社群至少有多少名成员？”（需结合一元一次不等式与方程，考验综合分析与建模能力）教师提示：“‘不足4元但至少1元’这个条件，怎么转化为关于红包总额的等式或不等式？”

3.挑战层（学有余力选做）：“在一块长32m、宽20m的矩形空地上，修建两条等宽且互相垂直的小路，其余部分种草。已知草坪的面积为540m²，请问小路的宽度是多少？”（需通过画图巧妙处理道路重叠部分，是面积问题的变式与深化）

反馈机制：学生独立练习时，教师巡视，个别辅导。完成后，采用“小组内部交换批改基础题，教师讲评综合题与挑战题思路”的方式。重点讲评：综合题中如何从“不足4元”挖掘等量关系；挑战题中如何通过“平移”思想，将道路“挤到一边”，从而简化图形，直观得到方程(32x)(20x)=540。展示一种典型错误列式（未考虑道路重叠），引导学生辨析。第四、课堂小结

设计核心：引导学生自主进行结构化总结与元认知反思。

1.知识整合：“请同学们在任务单的小结区，用关键词或简易思维导图的形式，梳理一下本节课我们收获了哪些‘硬核’知识和‘软性’方法。”邀请一位学生上台分享他的梳理结果。

2.方法提炼：“回顾整个过程，你觉得在‘从现实问题到方程’这个最关键的跳跃中，哪一步最难？你有什么好经验可以分享给同学？”（引导学生聚焦审题、找等量关系等核心思维过程）。

3.作业布置：

必做题：1.完成教材课后对应基础练习题。2.用流程图或口诀默写一遍“六步法”。

选做题：1.寻找一个生活中可能与一元二次方程有关的现象或问题，并尝试用今天所学进行分析（不要求解出复杂方程）。2.探究本节课“挑战层”小路问题的另一种设未知数的方法（如设草坪的长和宽）。

4.预告延伸：“今天我们用方程模型解决的是静态的、确定的问题。下节课，我们将探讨当条件发生变化时，如何利用我们学过的‘根的判别式’，来判断这个方程模型是否还能给我们带来想要的答案。”六、作业设计

基础性作业（全体必做）：

1.教材习题：完成与本课两个核心模型（面积、增长率）直接对应的34道基础练习题，确保掌握“六步法”和基本建模。

2.整理反思：在作业本上整理一道今天课堂练习中的错题或经典题，用红笔标注“审题关键点”和“等量关系式”。

拓展性作业（建议大多数学生完成）：

设计一个简单的“问题情境卡”：情境中包含一个可以用一元二次方程解决的问题（例如：一个数字问题或一个简单的营销利润问题），并附上你列出的方程（不要求求解）。次日与同桌交换“情境卡”互解。

探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：

微型项目探究：“从剪纸中发现的方程”。请你用一张正方形纸，通过剪裁和拼接，制作一个无盖的长方体小纸盒。在制作前，先进行数学设计：假设正方形边长为a，要制作容积为V的纸盒，如何计算剪去的四个小正方形的边长x？建立x与a、V之间的方程模型，并尝试探讨当a固定时，V随x变化的大致趋势（可用具体数字代入感受）。七、本节知识清单及拓展

★1.一元二次方程应用题核心步骤（六步法）：审、设、列、解、验、答。这是解决应用问题的程序性知识框架，确保思维严谨、步骤完整。

★2.常见数量关系模型：

（1）几何面积问题：核心是利用面积公式。变化中抓等量（如：原面积+增加面积=新面积）。善用示意图化抽象为具体。

（2）平均增长率/下降率问题：模型为a(1±x)^n=b。理解“连续变化”的本质，注意x为百分率形式，n为变化次数。

▲3.数字问题：若连续整数可设为x,x+1,x+2；若个位、十位数字问题，要明确数字与数值的关系（如：十位数字为a，个位为b，则数值为10a+b）。

★4.双重检验原则：检验解是否为原方程的根（计算检验）；检验解是否符合实际问题的意义（意义检验）。后者是建模还原本质的要求，易被忽略，需格外强调。

▲5.设元的技巧：通常直接设所求量为x（直接设元）；有时为方便列方程，可设间接未知数（间接设元），但最后需回答题目所问。

★6.数学建模思想初识：经历“实际问题→数学问题（一元二次方程）→求解数学解→解释实际解”的过程。体会数学作为工具在描述和解决现实问题中的作用。八、教学反思

（一）教学目标达成度分析

本节课以“花园扩建”为核心情境贯穿新授，使“建模六步法”的生成自然流畅，学生通过任务驱动，基本达成了知识与应用技能目标。从“当堂巩固”环节看，约85%的学生能独立完成基础层练习并正确检验，表明建模的基本流程已初步掌握。能力目标方面，小组合作探究列方程时，学生表现出较好的互动与分享意愿，但部分小组的讨论仍停留在表面，深度分析等量关系的能力有待后续持续培养。情感目标在解决生活化问题中有所体现，学生兴趣较高。“检验与取舍”这一难点，通过反例强调，多数学生已形成意识，但在综合层问题的快速判断中仍有部分学生失察，需在后续教学中反复强化。

（二）教学环节有效性评估

1.导入环节：真实情境快速聚焦，猜测活动有效激发了认知冲突和求知欲。“如何请出方程大将”的拟人化表述，契合学生心理，使学习过程带有“闯关”趣味。

2.新授任务链：五个任务由易到难，层层递进，搭建了合理的认知脚手架。任务三（求解与初验）是思维转折点，学生在此处从纯数学计算转向联系实际，教学预设的“认知闭环”基本实现。任务五（增长率模型）的设计有效促进了知识迁移，但部分学生从几何模型切换到连续变化模型时存在思维惯性，过渡时间可稍作延长，增加一个口头对比分析的微环节。

3.巩固与小结：分层练习满足了不同学生的需求，特别是挑战层问题引发了优生的热烈讨论。课堂小结引导学生梳理“硬核”与“软性”收获，促进了知识的结构化和元认知发展。我意识到，让更多学生分享“找等量关系的经验”可能会比教师总结更具启发性。

（三）学生表现与差异化应对

观察发现，学生的差异主要体现在“抽象速度”和“迁移能力”上。对于抽象速度慢的学生，教师提供的示意图和“审题三要素”清单起到了关键支撑作用；小组合作中，他们更多是聆听者和执行者。对于迁移能力强的