2024全国理科数学高考模拟题及详解

2024全国理科数学高考模拟题及详解前言高考数学作为检验学生逻辑思维、空间想象与综合应用能力的重要学科，其备考过程离不开系统的训练与精准的解析。为助力广大理科考生更好地把握高考数学的命题趋势与考查重点，我们精心命制了这份2024年全国理科数学高考模拟题。本试卷严格参照最新高考大纲要求，在题型设置、考点分布及难度梯度上力求贴近真题，旨在为考生提供一次全真的模拟演练机会。希望同学们能充分利用这份模拟题，查漏补缺，强化薄弱环节，在即将到来的高考中取得理想成绩。2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x²-3x+2<0}，集合B={x|x>a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是A.a<1B.a≤1C.a<2D.a≤22.若复数z满足(1+i)z=2i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量a=(1,m)，b=(m,2)，若a与b共线，则实数m的值为A.√2B.-√2C.√2或-√2D.1或24.函数f(x)=sinx+x³的图象大致是A.（选项A图形描述：关于原点对称，在R上单调递增）B.（选项B图形描述：关于y轴对称，在正半轴先增后减）C.（选项C图形描述：在原点附近有波动，整体上升）D.（选项D图形描述：在x轴负半轴单调递减，正半轴单调递增）5.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=7，S₆=63，则公比q的值为A.2B.-2C.3D.-36.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是A.12cm³B.18cm³C.24cm³D.36cm³（注：此处应有三视图，但文本中无法显示，实际出题时需配图。本题可理解为一个简单组合体，例如一个长方体挖去一个三棱锥等常见模型）7.执行如图所示的程序框图，若输入的x值为1，则输出的y值为A.2B.3C.4D.5（注：此处应有程序框图，文本中无法显示。可设计一个包含条件判断和简单运算的流程，例如分段函数求值）8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，b=3，C=60°，则c的值为A.√7B.√13C.4D.59.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别为A.ω=2，φ=π/6B.ω=2，φ=π/3C.ω=1，φ=π/6D.ω=1，φ=π/3（注：此处应有函数图象，文本中无法显示。可根据常见的正弦函数图象特征，给出周期和初相的信息）10.从5名男生和4名女生中选出3人参加一项活动，要求至少有1名女生参加，则不同的选法种数是A.70B.74C.84D.50411.已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为√3的直线与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），AM⊥l于点M，则△AFM的面积为A.√3B.2√3C.3√3D.4√312.已知函数f(x)=x³-3x²+ax+b在x=-1处取得极大值，在x=3处取得极小值，则a+b的值为A.-1B.0C.1D.2第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。13.曲线y=x³-2x+1在点(1,0)处的切线方程为__________。14.若x，y满足约束条件{x+y≥1,x-y≤1,y≤1}，则z=2x+y的最大值为__________。15.已知tanα=2，则sin2α+cos²α的值为__________。16.已知球O的表面积为16π，点A，B，C在球O的球面上，且AB=AC=2，∠BAC=120°，则球心O到平面ABC的距离为__________。三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且满足Sₙ=2aₙ-n(n∈N*)。（Ⅰ）求数列{aₙ}的通项公式；（Ⅱ）设bₙ=log₂(aₙ+1)，求数列{1/(bₙbₙ₊₁)}的前n项和Tₙ。18.（本小题满分12分）某学校为了解学生的体质健康状况，从高一、高二两个年级中各随机抽取了100名学生进行体质健康测试，得到身高（单位：cm）的频数分布表如下：高一学生身高频数分布表身高区间[150,160)[160,170)[170,180)[180,190]:-------:--------:--------:--------:--------频数10304020高二学生身高频数分布表身高区间[150,160)[160,170)[170,180)[180,190]:-------:--------:--------:--------:--------频数5255020（Ⅰ）分别估计高一、高二两个年级学生身高的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（Ⅱ）从两个年级身高在[180,190]的学生中随机抽取3人，记这3人中高一年级的学生人数为X，求X的分布列和数学期望。19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，点D是AB的中点。（Ⅰ）求证：AC₁∥平面CDB₁；（Ⅱ）若∠ACB=90°，AC=BC=AA₁=2，求二面角B-CB₁-D的余弦值。（注：此处应有立体几何图形，文本中无法显示。可描述为：直三棱柱，底面为等腰直角三角形ABC，∠C为直角，侧棱垂直于底面）20.（本小题满分12分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，且过点(1,√3/2)。（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，求证：原点O到直线l的距离为定值。21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=eˣ-ax-1(a∈R)。（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）若函数f(x)有两个零点x₁，x₂(x₁<x₂)，求证：x₁+x₂<0。（二选一）22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2cosθ,y=sinθ}（θ为参数）。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π/4)=√2。（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求点P到直线l的距离的最大值。（二选一）23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|。（Ⅰ）求不等式f(x)≥5的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f(x)≥a²-2a对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围。---2024年全国理科数学高考模拟题详解一、选择题1.答案：C解析：解集合A中的不等式x²-3x+2<0，得(x-1)(x-2)<0，所以1<x<2，即A=(1,2)。集合B=(a,+∞)。要使A∩B≠∅，则a必须小于2，否则若a≥2，B中的元素都大于等于2，与A无交集。故选C。2.答案：D解析：由(1+i)z=2i，得z=2i/(1+i)。分子分母同乘以(1-i)进行化简：z=2i(1-i)/[(1+i)(1-i)]=2i(1-i)/2=i(1-i)=i-i²=1+i。所以z的共轭复数为1-i，在复平面内对应的点为(1,-1)，位于第四象限。故选D。3.答案：C解析：向量a与b共线的充要条件是a₁b₂-a₂b₁=0。即1×2-m×m=0，2-m²=0，解得m²=2，所以m=±√2。故选C。4.答案：A解析：函数f(x)=sinx+x³。首先判断奇偶性，f(-x)=sin(-x)+(-x)³=-sinx-x³=-f(x)，所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B。再看单调性，f'(x)=cosx+3x²。因为3x²≥0，且cosx≥-1，所以f'(x)=3x²+cosx≥3x²-1。当|x|≥√(1/3)时，3x²≥1，所以f'(x)≥0；当|x|<√(1/3)时，3x²+cosx>0+cos(√(1/3))>0（因为√(1/3)<1弧度，cos1>0）。所以f'(x)在R上恒大于0，f(x)在R上单调递增。只有选项A符合。故选A。5.答案：A解析：等比数列前n项和公式Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q)(q≠1)。已知S₃=7，S₆=63。则S₆=S₃+q³S₃=S₃(1+q³)，即63=7(1+q³)，解得1+q³=9，q³=8，所以q=2。故选A。（若q=1，则S₆=2S₃，显然7×2=14≠63，故q≠1）6.答案：B解析：（假设三视图对应的几何体为一个底面为长3宽3的正方形，高为2的长方体，在一个角上挖去一个底面为直角边2和3，高为2的三棱锥）长方体体积=3×3×2=18cm³。挖去的三棱锥体积=(1/3)×底面积×高=(1/3)×(1/2×2×3)×2=2cm³。所以该几何体体积=18-2=16cm³。（此处为假设，实际需根据给出的三视图计算。若按选项，可能原几何体为一个直三棱柱，底面是直角边为3和4的直角三角形，高为3，则体积为(1/2×3×4)×3=18cm³。）假设正确答案为B。7.答案：C解析：（假设程序框图为：输入x，若x<0，则y=x²+1；若x≥0，则y=x+3。输入x=1，x≥0，所以y=1+3=4）。假设正确答案为C。8.答案：A解析：根据余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC。代入a=2，b=3，C=60°，得c²=4+9-2×2×3×cos60°=13-12×(1/2)=13-6=7，所以c=√7。故选A。9.答案：B解析：（假设图象显示函数的周期T=π，且过点(π/12,2)）。由周期T=2π/ω=π，得ω=2。所以f(x)=2sin(2x+φ)。图象过点(π/12,2)，则2sin(2×π/12+φ)=2，即sin(π/6+φ)=1。所以π/6+φ=π/2+2kπ，k∈Z，解得φ=π/3+2kπ。又|φ|<π/2，所以φ=π/3。故选B。10.答案：B解析：从9名学生中选3人的总选法有C(9,3)=84种。“至少有1名女生”的对立事件是“没有女生”（即全是男生）。全是男生的选法有C(5,3)=10种。所以至少有1名女生的选法有84-10=74种。故选B。11.答案