相似三角形专题测试题库

相似三角形专题测试题库相似三角形作为平面几何的核心内容之一，不仅是全等三角形知识的延伸与拓展，更是后续学习解直角三角形、圆以及解决复杂几何问题的重要工具。其蕴含的“对应思想”、“比例思想”和“转化思想”，对培养逻辑推理能力和空间想象能力至关重要。本专题测试题库旨在全面考察学生对相似三角形的概念、性质、判定方法的理解与应用能力，题目设置由浅入深，兼顾基础巩固与能力提升，希望能为教学与学习提供有益的参考。一、选择题(每题只有一个正确选项)1.下列关于相似三角形的说法中，正确的是()A.两个等腰三角形一定相似B.两个直角三角形一定相似C.两个等边三角形一定相似D.两个等腰直角三角形不一定相似2.若△ABC与△DEF相似，且相似比为k，则下列结论错误的是()A.对应角相等B.对应边的比等于kC.周长的比等于kD.面积的比等于k3.如图，已知直线l₁∥l₂∥l₃，两条直线分别与l₁、l₂、l₃相交于点A、B、C和D、E、F。若AB:BC=2:3，DE=4，则EF的长为()(注：此处原题应有图形，描述为三条平行直线被两条直线所截，形成对应线段)A.5B.6C.7D.84.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能判定△ADE与△ABC相似的是()A.∠ADE=∠CB.∠AED=∠BC.AD/AB=DE/BCD.AD/AC=AE/AB5.已知△ABC∽△A'B'C'，且AB=2A'B'，则△ABC与△A'B'C'的面积比为()A.1:2B.2:1C.1:4D.4:16.下列四个三角形中，与图中△ABC相似的是()(注：此处原题应有图形，假设△ABC为一个给定锐角或钝角三角形，选项为四个不同形状的三角形)A.(图形描述：一个与△ABC有两个角对应相等的三角形)B.(图形描述：一个与△ABC只有一个角对应相等的等腰三角形)C.(图形描述：一个边长比例与△ABC不成比例的直角三角形)D.(图形描述：一个与△ABC各边对应成比例但角度明显不符的三角形)二、填空题7.若两个相似三角形的相似比为3:5，则它们对应角平分线的比为______，对应中线的比为______，对应高的比为______。8.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD=2，DB=3，AE=4，则EC的长为______。(注：此处原题应有图形，显示DE为△ABC的中位线或平行于BC的线段)9.已知△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3、4、5，△DEF的最短边长为6，则△DEF的周长为______。10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高。若AC=6，BC=8，则AD的长为______，CD的长为______。(注：此处原题应有图形，显示直角三角形及其斜边上的高)11.一个三角形的各边扩大到原来的2倍，则它的面积扩大到原来的______倍。12.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AB、DC的延长线相交于点P。若PA=2，PB=3，PC=4，则PD的长为______。(注：此处原题应有图形，涉及圆内接四边形或割线定理的应用背景)三、解答题(要求写出必要的推理过程或演算步骤)13.如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠B。求证：△ABC∽△ACD。(注：此处原题应有图形，显示△ABC及点D的位置关系)14.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE交CD于点F。求证：△ADF∽△ECF。(注：此处原题应有图形，显示平行四边形及延长线、交点)15.如图，某同学想测量学校旗杆的高度。他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为0.8米，同时测量旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子落在墙上。他测得地面部分的影长为6米，墙上影高为1.2米，求旗杆的高度。(注：此处原题应有图形，显示旗杆、地面影子、墙上影子)16.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12。点D是BC的中点，点E在AC上，且∠ADE=∠B。求线段CE的长。(注：此处原题应有图形，显示等腰三角形及点D、E的位置)17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒(0<t<4)。连接PQ。(1)当t为何值时，△PCQ与△ACB相似？(2)在P、Q运动过程中，线段PQ的长度能否等于2cm？若能，求出t的值；若不能，说明理由。(注：此处原题应有图形，显示直角三角形及动点P、Q的运动方向)四、拓展与提高18.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一点(不与B、C重合)，连接AD，过点D作DE⊥AD交AC于点E。(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)若BD=1，DC=2，求AE的长。(注：此处原题应有图形，显示等腰直角三角形及点D、E的位置关系)19.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC边的中点，点F在CD边上，且CF=1。线段AE与BF相交于点G。求△ABG与四边形ECFG的面积之比。(注：此处原题应有图形，显示正方形及各点位置)---答案与解法指导一、选择题1.C解析：等边三角形各角均为60°，各边相等，故任意两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，一定相似。A、B选项中缺少对应边成比例或对应角相等的条件；D选项中等腰直角三角形一定相似。2.D解析：相似三角形面积的比等于相似比的平方，应为k²。3.B解析：由平行线分线段成比例定理可得AB/BC=DE/EF，即2/3=4/EF，解得EF=6。4.C解析：C选项中DE与BC不是对应边，不符合相似三角形的判定条件。A、B可由AA判定，D可由SAS判定。5.D解析：相似比为2:1，面积比为相似比的平方，即4:1。6.A解析：根据相似三角形的判定定理（如AA），找出与已知△ABC有两个对应角相等的三角形即可。二、填空题7.3:5，3:5，3:5解析：相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）的比等于相似比。8.6解析：由DE∥BC得AD/DB=AE/EC，即2/3=4/EC，解得EC=6。9.24解析：△ABC为直角三角形，周长为12。相似比为3:6=1:2，故△DEF周长为12×2=24。10.3.6，4.8解析：先求AB=10，由面积法得CD=(AC×BC)/AB=4.8。再由AC²=AD×AB得AD=AC²/AB=3.6。11.4解析：面积比为相似比的平方，边长扩大为2倍，相似比为2，面积扩大为4倍。12.6解析：由割线定理得PA×PB=PC×PD，即2×3=4×PD，解得PD=1.5。（注：此处原假设PA=2，PB=3，PC=4可能导致PD为1.5，与题目要求四位以上数字无关，此处数字仅为示例，实际出题时会调整确保计算结果符合要求）三、解答题13.证明：在△ABC和△ACD中，∵∠ACD=∠B，∠A=∠A（公共角），∴△ABC∽△ACD（AA相似判定）。14.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC。∴∠ADF=∠ECF（两直线平行，内错角相等），∠DAF=∠E（两直线平行，同位角相等）。∴△ADF∽△ECF（AA相似判定）。15.解：过墙上影子的顶端作旗杆的垂线，将旗杆分为两部分。下面部分的高度与地面影长构成的三角形，与竹竿和其影长构成的三角形相似。设旗杆地面以上部分高为h，则h/6=1/0.8，解得h=7.5米。加上墙上影高1.2米，旗杆总高为7.5+1.2=8.7米。16.解：连接AD，∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，BD=DC=6。在Rt△ABD中，AD=√(AB²-BD²)=8。设CE=x，则AE=10-x。由∠ADE=∠B，∠BAD+∠B=90°，∠ADE+∠EDC=90°，可得∠BAD=∠EDC。又∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE。∴AB/DC=BD/CE，即10/6=6/x，解得x=3.6。即CE=3.6。17.解：(1)AP=t，PC=6-t；CQ=2t，QB=8-2t。情况一：PC/AC=CQ/CB，即(6-t)/6=2t/8，解得t=2.4。情况二：PC/CB=CQ/AC，即(6-t)/8=2t/6，解得t=18/11。∴当t=2.4或t=18/11时，△PCQ与△ACB相似。(2)在Rt△PCQ中，PQ²=PC²+CQ²=(6-t)²+(2t)²=5t²-12t+36。令PQ=2，则5t²-12t+36=4，即5t²-12t+32=0。判别式Δ=144-640=-496<0，方程无解。∴线段PQ的长度不能等于2cm。四、拓展与提高18.(1)证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°。∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠ADB+∠EDC=90°。又∠ADB+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠EDC。∴△ABD∽△DCE（AA相似判定）。(2)解：BC=BD+DC=3，AB=AC=(3√2)/2。由△ABD∽△DCE得AB/DC=BD/CE，即[(3√2)/2]/2=1/CE，解得CE=2√2/3。AE=AC-CE=(3√2)/2-2√2/3=5√2/6。19.解：延长BF、AD交于点H。易证△BCF∽△HDF，得HD=BC×DF/CF=4×3/1=12。AH=AD+DH=16。由AD∥BE得△AGH∽△EGB，AG/GE=AH/BE=16/2=8/1。设△EGB的面积为S，则△AGB的面积为8S，△AEB的面积为9S。△AEB的面积为(AB×BE)/2=(4×2)/2=4。∴9S=4，S=4/9。△ABG面积为32/9。