2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ.理）高考数学（含答案）

2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ.理）高考数学【含答案】2/22007年普通高等学校招生全国统一考试（必修+选修Ⅱ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷参考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互独立，那么如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率球的表面积公式 其中R表示球的半径球的体积公式 其中R表示球的半径一、选择题（1）a是第四象限角，（A） （B） （C） （D）（2）设a是实数，且是实数，则a＝（A） （B）1 （C） （D）2（3）已知向量a＝（-5，6），b＝（6，5），则a与b（A）垂直 （B）不垂直也不平行（C）平行且同向 （D）平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 （A） （B） （C） （D）（5）设，集合 （1）1 （B）-1 （C）2 （D）-2（6）下面给出的四个点中，到直线=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是 （A）（1，1） （B）（-1，1） （C）（-1，-1） （D）（1，-1）（7）如图，正四棱柱中，，则异面直线所成角的余弦值为 （A）（B）（C）（D）（8）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则 （A） （B）2 （C）2 （D）4（9）是定义在R上的函数，，则“均为偶函数”是“为偶函数”的 （A）充要条件 （B）充分而不必要的条件 （C）必要而不充分的条件 （D）既不充分也不必要的条件（10）的展开式中，常数项为15，则＝ （A）3 （B）4 （C）5 （D）6（11）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，垂足为，且△的面积是 (A)4 (B)3 (C)4 (D)8(12)函数的一个单调增区间是 （A）（） （B）（） （C）（） （D）（-） 第Ⅱ卷(非选择题共95分)二、填空题:本大共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在横线上.（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种.(用数字作答)(14)函数的图像与函数的图像关于直线对称,则=_.(15)等比数列{an}的前n项和Sn,已知成等差数列,则{an}的公比为.(16)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求的取值范围.(18)（本小题满分12分）某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期为ζ的分布列为ζ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，基利润为200元；分2期或3期付款，基利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(Ⅱ)求η的分布列及期Eη.(19)(本小题满分12分)四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝.(Ⅰ)证明：SA⊥BC；(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小.(20)(本小题满分12分)设函数f（x）＝ex－e－x.(Ⅰ)证明：f（x）的导数f＇（x）≥2；(Ⅱ)若对所有都有f（x）≥ax，求a的取值范围.(21)(本小题满分12分)已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P.(Ⅰ)设P点的坐标为（x0，y0），证明：；(Ⅱ)求四过形ABCD的面积的最小值.(22)(本小题满分12分)已知数列｛an｝中a1＝2，an＋1＝()(an＋2)，n＝1，2，3….(Ⅰ)求｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若数列｛bn｝中b1＝2，bn＋1=,n＝1，2，3，…，证明：….2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题：（1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）A二、填空题：（13） （14） （15） （16）三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得．（Ⅱ）．由为锐角三角形知，，．,所以．由此有，所以，的取值范围为．（18）解：（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”,．（Ⅱ）的可能取值为元，元，元．，，．的分布列为（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．因为，所以，又，故为等腰直角三角形，，由三垂线定理，得．DBCAS（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依DBCAS故，由，，，得，．的面积．连结AB，得的面积设到平面的距离为，由于，得，解得．设与平面所成角为，则．所以，直线与平面所成的我为．解法二：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．因为，所以．又，为等腰直角三角形，．DBCAS如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，DBCAS，，，，，，，所以．（Ⅱ）取中点，，连结，取中点，连结，．，，．，，与平面内两条相交直线，垂直．所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．，．，，所以，直线与平面所成的角为．（20）解：（Ⅰ）的导数．由于，故．（当且仅当时，等号成立）．（Ⅱ）令，则，（ⅰ）若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即．（ⅱ）若，方程的正根为，此时，若时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件的的取值范围是．（21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．设，，则，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，．四边形的面积．当时，上式取等号．（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面