四川省成都市石室天府中学2025-2026学年九年级中考数学二诊试卷(含答案)

2025年四川省成都市石室天府中学中考数学二诊试卷一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所.以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是(

)A. B.

C. D.2.下列计算正确的是(

)A. B. C. D.3.方程的解为(

)A. B. C.或 D.无解4.世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》.书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”.现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的.如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是(

)

A.内错角相等，两直线平行 B.同旁内角互补，两直线平行

C.对顶角相等 D.两点确定一条直线5.不等式的解集是(

)A. B. C. D.6.《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”.大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆设这批椽有x株，则符合题意的方程是(

)A. B. C. D.7.如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点下列各式中，错误的是(

)A.

B.

C.

D.8.要测一个残损轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，再作弦AB的垂直平分线交AB于点C，交圆弧于点D，测出AB和CD的长度，即可计算出轮子的半径.若测得，，则轮子的半径为(

)

A.20cm B.30cm C.40cm D.50cm二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。9.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______.10.已知点，在反比例函数的图象上，且，则______填“>”、“<”或“=”11.因式分解：

.12.如图，与位似，点O为位似中心，已知OA：：2，则与的面积比为______.

13.如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；画射线，以点为圆心，OC为半径画弧交于点；依次截取，分别交前弧于点E、F、G；画射线，反向延长至点H；画出的角平分线则______结果用含的代数式表示14.四位数字标注法是电子元件标注的一种标准化方法.如标注为“1502”的电阻，第四位数字“2”为10的幂指数，对应的阻值单位：为若某一电子元件标注为“2304”的电阻，则这个数用科学记数法表示为______.15.已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则______.16.如图，AD是中BC边的中线，点E，F，G分别是AD，BC，AB的中点，连接EF、DG，现随机向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是______.

17.如图，和中，，，，，，点M在边BC上，点N在边EF上，AM分割所得的两个三角形分别与DN分割所得的两个三角形相似，那么线段DN的长是______.18.如图，等边内一点D满足，延长CD交AB于E，，则______.

三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.本小题12分

计算：

先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值.20.本小题8分

即将于今年8月7日至8月17日在成都举行的世界运动会将再次引发成都市的校园运动热潮.某校准备举办专题体育活动，在全校范围内邀请学生参加以下四项活动：拔河，飞盘，轮滑，棒球为了解学生对这四项活动的参与意愿，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理，绘制了如下两幅不完整的统计图.

根据以上信息，解答下列问题：

求参与调查的学生中，愿意参加飞盘活动的学生人数，并补全条形统计图；

若该校共有1000名学生，请你估计该校愿意参加轮滑活动的学生人数；

若从参与调查的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，进行四项活动体验，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.21.本小题8分

桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处.这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度.

如图1所示，线段OM代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段BD、AC是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米.当水桶C的位置低于地面米如图2所示，支架OM与绳子BD之间的距离OH是米，且，求这个桔槔支架OM的高度.

22.本小题10分

如图，为的外接圆，经过点B作直线PQ，连接BC使，直径AD的延长线交直线PQ于点

求证：PQ为的切线；

若点C是弧AB的中点，，求DE的长.23.本小题10分

如图，点P为一次函数与反比例函数的图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为B，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点

求m的值.

点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接

①连接OP，若，求点M的坐标.

②过点M作于点D，若，求M的坐标.24.本小题8分

某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品.现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套.已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折.

求毛巾和扫把簸箕套装的单价；

如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？25.本小题10分

如图1，抛物线与x轴的交点为、B两点，与y轴交于C点，连接AC，BC，

求抛物线的解析式；

若P为抛物线第四象限内的一点，AP交BC于点Q，若，求点P的坐标；

如图2，若点D为y轴上C点下方一动点，DM、DN分别与抛物线交于唯一公共点M、在N的左侧，连接MN交y轴于E，求的值.

26.本小题12分

综合与探究

【问题背景】

如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，

【问题探究】

求证：为等边三角形.

如图2，将沿AC方向平移，得到，且交BD于点E，交BC于点连接EF，，若，求的长.

【深入探究】

如图3，继续平移，使得顶点与点O重合，然后将绕点顺时针旋转，若旋转过程中始终保持与AB，BC分别交于点G，H，是否存在某些位置使得为直角三角形，若存在，求GH的长及的面积，若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：1.

2.

3.4.A

5.D

6.B

7.A

8.B

二、填空题：9.

10.>

11.

12.1：9

13.

14.

15.

16.

17.4或

18.

三、解答题：19.解：

；

，

时，原分式无意义，

为0，

当时，原式

20.解：参与调查的学生总数为人，

愿意参加飞盘活动的学生人数为人，

补全条形统计图如下：

人，

答：估计该校愿意参加轮滑活动的学生人数约为175人；

画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，

恰好抽到1名男生和1名女生的概率为

答：恰好抽到1名男生和1名女生的概率为

21.解：过点A作于点G，交OM于点N，

，，

，，

，，

，

，

，

又，

，

答：这个桔槔支架OM的高度为

22.证明：如图，连接BO并延长交于点F，连接FC，OC，

，

，，

是的直径，

，即，

，

，

即，

过点B，且OB是半径，

是的切线；

如图，连接BD，

是的直径，

，

在中，

由于，

设，则，

，

，

在中，，，，由勾股定理得，

，

即，

解答或舍去，

，，

，，

是的切线，切点为B，

，

，

，

是直径，

，

，

，

又，

∽，

，

设，则，

，

即，

解得或舍去，

23.解：对于，

当时，，

解得：，

点，

把点代入得：

，

解得：；

①如图，过点M作轴于点N，

对于，

当时，，当时，，

点，，

，，

轴，点，

，，

，

，

，

由得：反比例函数解析式为，

设点M的坐标为，则，

，

，

即，

解得：或舍去，

点M的坐标为；

②如图2，过点P作交BP延长线于点G，作于点H，

，，

是等腰直角三角形，

，

，，

，

，

≌，

，，

设，

，

，

，

点M是反比例函数的图象上的一点，

，

解得：，，

点M在点P的右侧，

点M的坐标为

24.解：设毛巾的单价是x元，扫把簸箕套装的单价是y元，

根据题意得：，

解得：

答：毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元；

设学校应购进m套扫把簸箕套装，则购进3m条毛巾，

按方案1购买时，，

解得：，

条；

按方案2购买时，，

该不等式组无解，

不能按方案2购买．

答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾．

25.解：由抛物线的表达式知，点，则，

，则，

则点，

则抛物线的表达式为：，

则，

则，

故抛物线的表达式为：；

由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：，设点，

，则，

即，

解得：舍去或2，即点，

由点A、Q的坐标得，直线AP的表达式为：，

联立上式和抛物线的表达式得：，

解得：舍去或，

即点；

设过点P的直线为：，，，

联立抛物线和直线的表达式得，

直线与抛物线有唯一公共点，

，

，

此时，

，，

，

则，

即，

，，

，，

如图，过M，N分别作y轴的垂线，垂足分别为R，S，设，

则，，，，

轴，轴，

，

∽，则MR：：ES，

即，

解得：，

，

即，