2026年数学建模在工程项目中的实践问题解答题

2026年数学建模：在工程项目中的实践问题解答题第一题（3分）背景：某沿海城市计划修建一条跨海大桥，连接A岛和B岛。大桥需跨越三条主要航道，航道宽度分别为80米、100米和120米，设计要求大桥桥墩间距离不超过150米。由于航道深度不一，桥墩施工成本差异较大。已知桥墩施工成本（单位：万元/米）与航道深度（单位：米）的关系如下表所示：|航道编号|航道宽度（米）|航道深度（米）|施工成本（万元/米）||-|-|-|||1|80|15|5||2|100|20|7||3|120|25|9|问题：1.若桥墩间距离固定为150米，请设计一种桥墩布局方案，使总施工成本最低，并计算最低成本。2.若桥墩间距离可调整，请给出最优桥墩间距及对应的最低成本。第二题（4分）背景：某山区公路隧道工程需穿过一条地质条件复杂的山脉。隧道施工面临瓦斯爆炸、坍塌和渗水三大风险。根据地质勘探数据，隧道各段的风险概率及对应的防范措施成本如下表所示：|段落编号|长度（米）|瓦斯爆炸概率|坍塌概率|渗水概率|防范措施成本（万元）||-||--|-|-|-||1|300|0.05|0.03|0.02|200||2|500|0.08|0.04|0.03|250||3|400|0.06|0.02|0.05|180|问题：1.若预算限制为500万元，请设计一种防范措施方案，使总风险概率（期望风险值）最小。2.若预算增加至800万元，请重新设计最优方案，并比较两种方案的风险降低效果。第三题（5分）背景：某水利工程需修建一条引水渠道，从A水库引水至B灌区。渠道需穿越三条河流，各河流流量及过河难度如下表所示：|河流编号|流量（立方米/秒）|过河难度（万元/米）||-|-|||1|50|8||2|80|12||3|60|10|问题：1.若渠道总长度限制为20公里，请设计一种过河方案，使引水成本最低，并计算最低成本。2.若允许增加长度至25公里，请重新设计最优方案，并分析长度增加对成本的影响。第四题（6分）背景：某地铁项目需在市区内修建一条地下线路，线路需穿越三个商业区、两个居民区和一个工业区。各区域的土地征用成本及人口密度如下表所示：|区域类型|土地征用成本（万元/亩）|人口密度（人/亩）||-|-|-||商业区|1500|200||居民区|800|500||工业区|600|100|问题：1.若线路总长度限制为10公里，请设计一种最优路径方案，使总征用成本最低，并计算最低成本。2.若需增加线路长度至12公里，且商业区必须穿越至少2个，请重新设计最优方案，并分析增加长度及商业区穿越要求对成本的影响。第五题（7分）背景：某高速公路项目需在山区修建一条盘山公路，公路需绕过三个陡峭山体，各山体的绕行距离及施工难度如下表所示：|山体编号|绕行距离（公里）|施工难度（万元/公里）||-||--||1|5|300||2|8|400||3|6|350|问题：1.若预算限制为2000万元，请设计一种最优绕行方案，使总施工难度最小，并计算最小难度。2.若预算增加至2500万元，请重新设计最优方案，并分析预算增加对难度的影响。3.若绕行方案需保证至少绕过两个山体，请给出最优方案及对应难度。答案与解析第一题（3分）问题1：固定桥墩间距150米时的最优方案。解：航道跨度分别为80米、100米和120米，若桥墩间距150米，则各航道需分别设置1个或2个桥墩。计算如下：-航道1（80米）：设置1个桥墩，成本=80×5=400万元。-航道2（100米）：设置1个桥墩，成本=100×7=700万元。-航道3（120米）：设置1个桥墩，成本=120×9=1080万元。总成本=400+700+1080=2180万元。若设置2个桥墩，则航道3需设置2个桥墩，成本=60×9=540万元，总成本=400+700+540=1640万元。最优方案：航道1和2各1个桥墩，航道3设置2个桥墩，最低成本1640万元。问题2：可调整桥墩间距的最优方案。解：设桥墩间距为x米，则各航道桥墩数量及成本如下：-航道1（80米）：x≤80时1个桥墩，成本=80×5；x>80时2个桥墩，成本=40×5。-航道2（100米）：x≤100时1个桥墩，成本=100×7；x>100时2个桥墩，成本=50×7。-航道3（120米）：x≤120时1个桥墩，成本=120×9；x>120时2个桥墩，成本=60×9。通过计算，最优间距为120米（航道3设置1个桥墩，其他航道间距不超过100米），总成本=120×9+80×5+100×7=1640万元。最优方案：桥墩间距120米，总成本1640万元。第二题（4分）问题1：预算500万元的最优方案。解：设防范措施投入为x万元，风险概率为y。计算各段落风险值：-段落1：200万投入后，风险值=0.05×(1-200/200)×300+0.03×(1-200/200)×300+0.02×(1-200/200)×300=0.15。-段落2：250万投入后，风险值=0.08×(1-250/250)×500+0.04×(1-250/250)×500+0.03×(1-250/250)×500=0.21。-段落3：180万投入后，风险值=0.06×(1-180/180)×400+0.02×(1-180/180)×400+0.05×(1-180/180)×400=0.18。总风险值=0.15+0.21+0.18=0.54。最优方案：段落1投入200万，段落2投入250万，段落3投入180万，总风险值0.54。问题2：预算800万元的最优方案。解：增加预算后，可进一步投入：-段落1：投入400万，风险值=0.05×(1-400/400)×300=0。-段落2：投入500万，风险值=0.08×(1-500/500)×500=0。-段落3：投入400万，风险值=0.06×(1-400/400)×400=0。总风险值=0+0+0=0。最优方案：段落1投入400万，段落2投入500万，段落3投入400万，总风险值0。第三题（5分）问题1：长度20公里时的最优方案。解：各河流过河成本：-河流1：5公里，成本=5×8=40万元。-河流2：8公里，成本=8×12=96万元。-河流3：7公里，成本=7×10=70万元。总成本=40+96+70=206万元。问题2：长度25公里时的最优方案。解：增加长度后，可优化过河方案：-河流1：5公里，成本=40万元。-河流2：5公里，成本=5×12=60万元。-河流3：15公里，成本=15×10=150万元。总成本=40+60+150=250万元。分析：增加长度后成本上升，但可避开部分高难度河段。第四题（6分）问题1：长度10公里时的最优方案。解：假设线路路径为商业区-居民区-工业区，总长度10公里：-商业区：2公里，成本=2×1500=3000万元。-居民区：4公里，成本=4×800=3200万元。-工业区：4公里，成本=4×600=2400万元。总成本=3000+3200+2400=8600万元。问题2：长度12公里，商业区至少2个。解：最优路径为商业区-商业区-居民区-工业区，总长度12公里：-商业区1：3公里，成本=3×1500=4500万元。-商业区2：3公里，成本=3×1500=4500万元。-居民区：3公里，成本=3×800=2400万元。-工业区：3公里，成本=3×600=1800万元。总成本=4500+4500+2400+1800=12600万元。第五题（7分）问题1：预算2000万元的最优方案。解：最优绕行方案为山体1和山体3，总难度=5×300+6×350=3150万元，超出预算。调整方案：绕山体1和山体2，总难度=5×300+8×400=4100万元，超出预算。最优方案：绕山体2，难度=8×400=3200万元，超出预算。实际最优：绕山体1，难度=5×300=1500万元。问题2：预算2500万元的最优方案。解：绕山体1和山体3，总难度=5×300+6×3