第02讲 平行四边形的性质和判定（知识解读+例题精讲+随堂检测）（原卷版） 初中数学人教版（2024）八年级下册

第02讲平行四边形的性质和判定考点1：平行四边形的定义考点2：平行四边形的性质考点3：平行四边形的判定定理考点4：平行线的间的距离考点5：三角形的中位线定理重点：（1）平行四边形性质的应用（2）平行四边形的判定（3）三角形中位线定理的灵活运用难点：（1）平行四边形性质与判定的综合证明

（2）动态几何中的平行四边形存在性问题

（3）遇中点连中位线，转化线段关系或平行关系。知识点1：平行四边形的性质边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO【题型1根据平行四边形的性质求边长/周长】【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC=6，则AO的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，BE=3，则CE的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【变式2】在▱ABCD中，AB=6，则CD的长为（）A．2 B．4 C．6 D．12【变式3】已知在▱ABCD中，AB=4cm，BC=7cm，则▱ABCD的周长为（A．11cm B．28cm C．22cm D．44cm【题型2根据平行四边形的性质求角度】【典例2】如图，在平行四边形ABCD中，∠B=50°，则∠D的度数是（

）A．30° B．40° C．50° D．130°【变式1】如图，在▱ABCD中，∠A=32°，则∠B的度数是（

）A．32° B．148° C．158° D．168°【变式2】如图，在▱ABCD中，若∠A+∠C=130°，则∠B的度数是（

）A．65° B．130° C．135° D．115°【变式3】如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，若∠AEB=30°，则∠C的大小为（

）A．150° B．135° C．130° D．120°【题型3根据平行四边形的性质求点坐标】【典例3】如图，将▱ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．若点A的坐标是(6，0)，点C的坐标是(1，A．(6，4) B．(4,6) C．(7，【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A3,1，C0,5．若四边形OABC是平行四边形，则点B的坐标为（

）A．3,2 B．3,4 C．3,6 D．3,9【变式2】如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为（

）A．−2,−1 B．−1,−2 C．−1,−1 D．−2,−2【变式3】如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(2,0)，(−2,0)，(0,3)，则顶点D的坐标为（

）A．(2,2) B．(2,3) C．(3,3) D．(4,3)知识点2：平行线之间的距离与平行四边形的综合定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.性质：平行线之间距离处处相等【题型4利用平行线间距离的性质求解】【典例4】如图，l1∥l2，AB=4，S△DAB=4，则点A．2 B．8 C．10 D．12【变式1】如图，已知直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点．若AB=4，AC=10，则平行线b，A．2 B．4 C．6 D．14【变式2】如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB=5cm，AC=4cm，那么点A到直线A．5cm B．4cm C．3【变式3】如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，过点A作AE⊥BC，垂足为E，AE=2，则AB与CD之间的距离为（

）A．83 B．6 C．7 D．知识点3：平行四边形的判定与边有关的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形【题型5添一个条件成为平行四边形】【典例5】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件是（

）A．AB=CD B．AC=BD C．AO=DO D．AO=CO【变式1】如图，要使四边形ABCD为平行四边形，则需要添加的条件是（

）A．∠B=∠A B．AD=BC C．AB=DC D．∠B+∠C=180°【变式2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且BO=DO，请你添加的一个条件是，使四边形ABCD是平行四边形．【变式3】如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC,BF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接BE,FD，请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形DFBE为平行四边形，你添加的条件是【题型6平行四边形的判定】【典例6】已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=BC求证：四边形ABCD是平行四边形．【变式1】如图，▱ABCD中，E，F分别是边AB,CD的中点．求证：DE=BF．【变式2】如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥DE，AC∥DF．求证：BD=AE．【变式3】已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且AE=CF．(1)若∠A=70°，求∠C的度数；(2)求证：四边形DEBF是平行四边形．【题型7求与已知三点组成平行四边形的点的个数】【典例7】在下面的网格图中有A，B，D三个点，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上．请在本网格图中找出点C，使得以A，A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式1】在平面直角坐标系中，已知点A−1,0、B2,2、C0,3，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D【变式2】小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．

【变式3】△ABC(1)在网格内画出△ABC关于y轴对称的图形△(2)平面内有一点D，使得以点A，B，C，D构成平行四边形，请直接写出点D的坐标．【题型8利用平行四边形的判定与性质求解】【典例8】如图，在平行四边形▱ABCD中，点M，N分别在边AB,CD上，且AM=CN，连接DM，BN．(1)求证：四边形DMBN为平行四边形．(2)若已知∠A=50°，CN=CB，求∠ABN的度数【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，(1)求证：AD=BC；(2)若∠A=40°，求∠B的度数．【变式2】如图，在▱ABCD中，过点B作BM⊥AC，交AC于点E，交CD于点M，过点D作DN⊥AC，交AC于点F，交AB于点N．(1)求证：四边形BMDN是平行四边形；(2)已知AF=12,EM=5，求AN的长．【变式3】如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且AE=CF．(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)连接CE，若CE平分∠DCB，CF=2，DE=3，求▱ABCD的周长．知识点4：三角形的中位线定理1.定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线（一个三角形有3条中位线）。2.核心定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。3.推论：三条中位线围成的三角形，周长是原三角形的​，面积是原三角形的​【题型9与三角形中位线有关的求解问题】【典例9】如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为5，则△ABC的周长为（

）A．12 B．10 C．5 D．2．5【变式1】如图，为测量池塘两端A、B的距离，小明在池塘外选取了一个点C，使得点C可以直接到达A、B，他分别找到AC、BC的中点D、E，并且测得DE的长为16米，则池塘两端A、B的距离为（

）A．8米 B．20米 C．25米 D．32米【变式2】如图，D是△ABC内一点，连接DA，DB，DC，E，F，G，H分别为AB，BD，CD，AC的中点．若BC=10，AD=6，则四边形EFGH的周长是（

）A．8 B．12 C．16 D．20【变式3】如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB=6，BC=9，则EF的长为（

）A．0.5 B．1 C．1.5 D．21．如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=5，则AD的值为（A．4 B．5 C．6 D．72．如图，在▱ABCD中，若∠A=138°，则∠C的度数为（

）A．148° B．42° C．120° D．138°3．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（

）A．AC=BD B．AD∥BC C．OB=OD D．AD=BC4．以下条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（

）A．AB=CD,BC=AD B．AB=CD,AB∥C．∠A=∠C,∠B=∠D D．AB=CD,AD∥5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC．若BD=8，AC=4，则AB的长为（A．22 B．27 C．30 D．6．如图，在▱ABCD中，AB=7，AD=5，则▱ABCD的周长为．7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A−3,2，B−1,−2，C3,−2，则点D8.如图，MN∥AB，P，Q为直线MN上的任意两点，若S△ABP=59．如图，∠1=∠2，