2025年统计学各章测试题及答案

2025年统计学各章测试题及答案一、数据收集与整理1.选择题：某社区拟开展居民健康状况调查，计划将辖区按街道划分为10个区域，随机抽取3个区域，对抽中区域内所有居民进行调查。这种抽样方法属于（）A.简单随机抽样B.分层抽样C.整群抽样D.系统抽样2.简答题：指出以下数据的类型：①某城市2024年各月平均气温（℃）；②居民对社区服务的满意度（非常满意、满意、一般、不满意、非常不满意）；③某医院2023年住院患者的年龄（岁）。3.计算题：某班级50名学生统计学考试成绩如下（单位：分）：4558626568707273757576777879808182838485858687888990909192939394959696979899100100（注：实际数据为50个，此处简化列举）要求：以10分为组距，编制频数分布表（包括组限、组中值、频数、频率）。答案：1.C（整群抽样是将总体划分为若干群，随机抽取部分群，对群内所有个体调查）2.①数值型数据（连续型）；②分类数据（有序分类）；③数值型数据（离散型，年龄通常视为连续型，但此处按整数记录为离散）3.频数分布表：组限：40-50，50-60，60-70，70-80，80-90，90-100组中值：45，55，65，75，85，95频数：1（45），2（58），4（62,65,68,70），10（72-79），15（80-89），18（90-100）（注：实际需根据完整50个数据调整，此处为示例）频率：2%，4%，8%，20%，30%，36%（频率=频数/50）二、描述统计1.选择题：某公司员工月薪数据呈右偏分布，以下关于均值、中位数、众数的关系正确的是（）A.均值＞中位数＞众数B.众数＞中位数＞均值C.中位数＞均值＞众数D.均值=中位数=众数2.简答题：简述标准差与方差的联系与区别。3.计算题：某车间5名工人日产量（件）为：12，15，18，20，25。计算该组数据的均值、中位数、方差和四分位差。答案：1.A（右偏分布中，均值受右侧极端值影响最大，故均值＞中位数＞众数）2.联系：方差是标准差的平方，均反映数据离散程度；区别：标准差与原数据单位一致，方差单位为原数据单位的平方，实际中标准差更常用。3.均值=（12+15+18+20+25）/5=18；中位数=18（排序后第三个数）；方差=［(12-18)²+(15-18)²+(18-18)²+(20-18)²+(25-18)²］/5=（36+9+0+4+49）/5=98/5=19.6；四分位差=Q3-Q1，Q1为第1.5个数（(5+1)/4=1.5）即(12+15)/2=13.5，Q3为第4.5个数（3(5+1)/4=4.5）即(20+25)/2=22.5，四分位差=22.5-13.5=9。三、概率基础1.选择题：设A、B为两个事件，P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.8，则P(A|B)=（）A.0.4B.0.6C.0.7D.0.82.简答题：简述二项分布的适用条件。3.计算题：某工厂产品次品率为2%，随机抽取10件检验。求：①恰好2件次品的概率；②至少1件次品的概率（保留4位小数）。答案：1.C（P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)→0.8=0.6+0.5-P(AB)→P(AB)=0.3；P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.3/0.5=0.6？此处计算错误，正确应为0.3/0.5=0.6，选项B。可能题目数值调整后正确选项为B，需核对公式）更正：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)→P(AB)=0.6+0.5-0.8=0.3；P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.3/0.5=0.6，选B。2.适用条件：①试验由n次独立重复试验组成；②每次试验只有两种可能结果（成功/失败）；③每次试验成功概率p固定。3.①二项分布概率P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，n=10，p=0.02，k=2：P(X=2)=C(10,2)(0.02)^2(0.98)^8=450.00040.8508≈0.0153②P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C(10,0)(0.02)^0(0.98)^10=1-110.8171≈0.1829四、抽样分布1.选择题：根据中心极限定理，当样本量n足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，其均值和方差分别为（）A.μ，σ²/nB.μ，σ²C.μ/n，σ²/nD.μ/n，σ²2.简答题：简述样本比例抽样分布的均值和方差（总体比例为π，样本量为n）。3.计算题：已知某城市家庭月收入服从正态分布，均值μ=8000元，标准差σ=2000元。随机抽取25户家庭，求样本均值在7500-8500元之间的概率（Φ(1.25)=0.8944，Φ(2.5)=0.9938）。答案：1.A（样本均值抽样分布的均值等于总体均值μ，方差为总体方差σ²除以样本量n）2.样本比例p的抽样分布均值E(p)=π，方差Var(p)=π(1-π)/n（当nπ≥5且n(1-π)≥5时近似正态）3.样本均值X̄~N(μ,σ²/n)=N(8000,2000²/25)=N(8000,160000)，标准差σ_X̄=2000/5=400。P(7500≤X̄≤8500)=P((7500-8000)/400≤Z≤(8500-8000)/400)=P(-1.25≤Z≤1.25)=Φ(1.25)-Φ(-1.25)=2Φ(1.25)-1=20.8944-1=0.7888五、参数估计1.选择题：在估计总体均值的置信区间时，若其他条件不变，提高置信水平（如从95%到99%），则置信区间的宽度会（）A.变窄B.变宽C.不变D.无法确定2.简答题：简述点估计与区间估计的区别。3.计算题：某品牌手机电池续航时间（小时）服从正态分布，标准差未知。随机抽取16部手机，测得平均续航12.5小时，样本标准差s=1.2小时。求总体均值的95%置信区间（t0.025(15)=2.131）。答案：1.B（置信水平提高，临界值增大，边际误差增大，置信区间变宽）2.点估计是用一个具体数值估计总体参数；区间估计是用一个区间范围估计总体参数，并给出该区间包含参数的概率（置信水平）。3.置信区间公式：X̄±tα/2(s/√n)代入数据：12.5±2.131(1.2/√16)=12.5±2.1310.3=12.5±0.639，即(11.861,13.139)六、假设检验1.选择题：在单样本均值的Z检验中，原假设H0:μ=μ0，备择假设H1:μ≠μ0，若计算得到的Z统计量为2.3，显著性水平α=0.05（Z0.025=1.96），则结论是（）A.拒绝H0B.不拒绝H0C.无法判断D.接受H02.简答题：简述假设检验中第一类错误和第二类错误的含义。3.计算题：某公司声称其产品平均使用寿命不低于5000小时。随机抽取36件产品，测得平均寿命4900小时，样本标准差s=300小时。检验该公司声明是否成立（α=0.05，t0.05(35)=1.690）。答案：1.A（Z=2.3＞1.96，落在拒绝域，拒绝H0）2.第一类错误（α错误）：原假设为真时拒绝原假设；第二类错误（β错误）：原假设为假时不拒绝原假设。3.步骤：①H0:μ≥5000，H1:μ＜5000（单侧检验）；②检验统计量t=(X̄-μ0)/(s/√n)=(4900-5000)/(300/6)=-100/50=-2；③临界值t0.05(35)=-1.690（左侧检验）；④t=-2＜-1.690，拒绝H0，认为平均寿命低于5000小时，公司声明不成立。七、方差分析1.选择题：单因素方差分析中，组间平方和（SSA）反映的是（）A.随机误差B.不同水平间的差异C.同一水平内的差异D.总误差2.简答题：简述单因素方差分析的基本假设。3.计算题：某实验考察三种教学方法对学提供绩的影响，每组8名学生，测得成绩如下：方法A：78,82,85,79,81,83,80,84方法B：72,75,78,70,74,76,73,77方法C：85,88,90,86,87,89,84,85计算组间平方和（SSA）、组内平方和（SSE）和F统计量（保留2位小数）。答案：1.B（组间平方和反映不同处理水平对因变量的影响）2.基本假设：①各总体服从正态分布；②各总体方差相等；③观测值独立。3.计算：各组均值：X̄A=(78+…+84)/8=81.5；X̄B=(72+…+77)/8=74.5；X̄C=(85+…+85)/8=87总均值X̄=(81.58+74.58+878)/24=(652+596+696)/24=1944/24=81SSA=8(81.5-81)²+8(74.5-81)²+8(87-81)²=8(0.25)+8(42.25)+8(36)=2+338+288=628SSE=各组内平方和之和：方法A：(78-81.5)²+…+(84-81.5)²=12.25+0.25+12.25+6.25+0.25+2.25+2.25+6.25=42方法B：(72-74.5)²+…+(77-74.5)²=6.25+0.25+12.25+20.25+0.25+6.25+2.25+6.25=54方法C：(85-87)²+…+(85-87)²=4+1+9+1+0+4+9+4=32SSE=42+54+32=128F=MSA/MSE=(SSA/(k-1))/(SSE/(n-k))=(628/2)/(128/21)=314/6.095≈51.52八、回归分析1.选择题：简单线性回归中，判定系数R²=0.85表示（）A.85%的因变量变异可由自变量解释B.自变量与因变量的相关系数为0.85C.回归方程的拟合优度差D.自变量对因变量的影响显著2.简答题：简述最小二乘法估计回归系数的原理。3.计算题：某企业广告投入（x，万元）与销售额（y，万元）的样本数据如下：x：5,8,10,12,15y：30,45,50,60,70要求：①用最小二乘法估计回归方程ŷ=â+b̂x；②预测广告投入20万元时的销售额（保留2位小数）。答案：1.A（判定系数R²表示因变量变异中被回归模型解释的比例）2.最小二乘法通过最小化实际值y与预测值ŷ的离差平方和Σ(yi-ŷi)²，来估计回归系数，使拟合直线与数据点的垂直距离平方和最小。3.①计算：n=5，Σx=5+8+10+12+15=50，Σy=30+45+50+60+70=255，Σxy=530+845+1050+1260+1570=150+360+500+720+1050=2780Σx²=25