基于真实情境的探究：分数应用题中“转化单位‘1’”的思维建模-以北师大版六年级上册第二单元拓展教学为例

基于真实情境的探究：分数应用题中“转化单位‘1’”的思维建模——以北师大版六年级上册第二单元拓展教学为例一、教学内容分析《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段“数与代数”领域明确提出，学生应“能解决分数的简单实际问题”，并“形成数感和运算能力”。本课内容“转化单位‘1’”，是建立在学生已掌握分数乘除运算、能解决“求一个数的几分之几是多少”及“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”两类基本问题基础上的高阶思维拓展。它在单元知识链中扮演着“承上启下”的关键角色：既是分数基本运算规则在复杂情境中的综合应用与深化，又是未来学习百分数、比和比例以及更复杂工程、浓度问题的思维基石。其教学过程蕴含了深刻的数学建模思想——将纷繁的实际问题抽象为数量关系，并通过识别与转化“标准量”（单位“1”）这一核心变量来建立和求解模型。这不仅是技能的提升，更是思维方式的蜕变，旨在发展学生的模型意识、应用意识与推理能力，引导他们体会数学如何在不确定中寻找确定性的理性之美。从学情诊断来看，六年级学生已具备分析简单分数数量关系的基础，但思维定势明显，普遍习惯于题目中直接给出或易于确定的单一单位“1”。一旦遇到单位“1”发生转换的复杂情境，常表现出两种典型障碍：一是“视而不见”，无法识别关键量变化背后单位“1”的转移；二是“无从下手”，缺乏将隐含的、变化的单位“1”进行统一转化的策略与方法。对此，教学对策应强调“暴露冲突、搭建阶梯”。课堂将通过设计对比鲜明的问题组，直观暴露学生已有认知的局限，引发其认知冲突。随后，教师提供图形化（线段图）、符号化（关系式）等多种“思维脚手架”，引导学生经历“识别分析转化求解”的完整探究过程，通过“兵教兵”、分层任务等方式，让不同思维速度的学生都能在“最近发展区”内获得成功体验，逐步构建可迁移的问题解决策略。二、教学目标1.知识目标：学生能深刻理解单位“1”作为“标准量”的相对性与动态性，不仅会说“单位‘1’的量×分率=对应量”这一关系，更能灵活辨析复合情境中单位“1’的转换节点。目标是学生能自主归纳出“转化”的关键在于找准每次分率所对应的基准量，并能用规范的语言（如“将甲看作单位‘1’，则乙是甲的几分之几”）清晰表述转化过程，从而系统建构解决此类问题的认知图式。2.能力目标：重点发展学生从复杂现实背景中抽象出数学关系并进行模型化处理的能力。具体表现为：能够熟练运用线段图等工具可视化分析数量关系；在面对单位“1’不一致的多步分数问题时，能策略性地选择统一的标准量，并正确进行分率的连锁换算；最终形成严谨、有序的解题步骤和自觉的检验习惯，提升解决综合性实际问题的实战能力。3.情感态度与价值观目标：通过在富有挑战性的问题解决中获得突破，学生能体验到运用数学思维“化繁为简”的成就感与理性力量，增强学好数学的信心。在小组协作探究中，培养学生倾听他人思路、尊重不同解法的开放心态，以及面对复杂问题时坚持不懈、细致分析的科学态度。4.科学（学科）思维目标：本课核心发展的思维是“模型思想”与“转化思想”。引导学生经历“具体问题—数学建模—模型求解—解释应用”的完整过程，将“转化单位‘1’”提炼为处理一类问题的通用策略。通过设计“变中找不变”的探究任务，训练学生抓住问题本质（统一标准）的抽象思维和逻辑推理能力。5.评价与元认知目标：引导学生建立“解题后反思”的习惯。学会评估自己解题思路的优劣（如：哪种转化方法更简便？），能够借鉴同伴的解法优化自己的策略。设计学习单中的“我的困惑”与“方法梳理”栏目，鼓励学生监控自己的学习过程，清晰表达“我是在哪一步卡住的？”“通过这节课，我掌握了哪种新策略？”，促进其元认知能力的发展。三、教学重点与难点教学重点：掌握在复杂分数应用题中，通过统一单位“1”来梳理和建立数量关系模型的策略与方法。确立此为重点，源于课标对“问题解决”能力的高阶要求及小升初学业评价的导向。此类问题是考查学生是否真正理解分数意义、能否灵活运用运算律解决实际问题的“试金石”，是分数应用从机械计算走向理性思维的关键分水岭，对后续学习具有奠基性作用。教学难点：学生难以自主发现并理解题目中隐含的单位“1”转换关系，以及在多步转化中准确进行分率的连锁计算。难点成因在于学生的抽象思维尚在发展之中，对于不直接给出的、动态的标准量缺乏感知，且分率的连续运算容易引发思维混乱和计算错误。突破方向在于将抽象关系可视化（如用线段图分层标注）、将转化过程步骤化（设计思维导引单），并通过对比练习让学生深刻体会“统一标准”的必要性与优越性。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式多媒体课件（内含动态线段图生成演示、分层任务推送功能）；实物投影仪。1.2学习材料：差异化探究学习单（A基础版/B挑战版）；课堂分层巩固练习卡；“转化单位‘1’”思维方法梳理便签纸。2.学生准备2.1知识准备：复习分数乘除法的意义及基本应用题解法；预习课本相关例题，并尝试用线段图表示一个两步计算的分數问题。2.2学具准备：直尺、铅笔、彩色笔（用于画线段图区分不同量）。3.环境布置3.1座位安排：四人异质小组围坐，便于合作探究与讨论。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与冲突激发：“同学们，周末小明和爸爸去书店，遇到了一个有趣的问题。爸爸说：‘我带的钱比预算多1/5。’结账时发现，实际花的钱又比爸爸带的钱少1/6。小明听得有点晕，预算、带的钱、花的钱，到底谁多谁少，有什么关系呢？我们能不能帮小明理清思路？”（利用贴近生活的情境，快速吸引学生注意，其中包含两个不同的比较标准，自然引出认知冲突。）2.核心问题提出与旧知唤醒：“这个问题和我们之前学的分数应用题很像，但又似乎更复杂一些。复杂在哪？——对，它在比较时，用来作比较的‘标准’好像在变！这节课，我们就来专门攻克这个难关：当题目中的‘标准量’，也就是我们常说的‘单位“1”’，发生变化时，我们该如何巧妙地‘转化’，从而打通解题的路径。”（清晰点明本课核心，并唤起学生对“单位‘1’”、“分率”等核心概念的回忆。）3.学习路径预览：“我们将先从简单的‘一变’问题入手，再用线段图这个‘法宝’看清关系，最后挑战像‘书店花钱’这样的‘连环变’问题。准备好了吗？让我们开启今天的‘单位‘1’转化’探索之旅！”第二、新授环节任务一：初探“转化”——从“一比”到“另一比”教师活动：出示例1：“六（1）班男生人数是女生的4/5。已知女生有25人，求男生人数？”（学生秒答后）紧接着变式：“还是这个条件：六（1）班男生人数是女生的4/5。如果我现在告诉你男生有20人，请问女生有多少人？”（学生再次轻松解答）。此时，教师提出关键一问：“大家解得都很快。但老师想追问：在第一个问题里，单位‘1’是谁？在第二个问题里，单位‘1’又是谁？——都是‘女生人数’。看来，当单位‘1’已知时，问题很简单。现在，真正的挑战来了：如果我只告诉你‘六（1）班男生人数是女生的4/5’，再告诉你‘全班共有45人’，求男、女生各多少人？单位‘1’还是女生，但它现在未知了！你有什么新思路吗？”（引导学生思考将男生或全班人数与单位“1”联系起来）。学生活动：独立思考后，在小组内交流想法。尝试用画线段图的方式来表示男生、女生和全班45人的关系。可能会产生不同思路：有的设女生为x人列方程；有的试图找出男生占全班的几分之几。在讨论中，学生初步感受到需要建立“男生”、“女生”与“总量45人”之间的联系。即时评价标准：①能否在线段图上正确标出男生与女生的份数关系（如女生5份，男生4份）。②在小组讨论中，能否清晰地表达“男生和女生一共是9份”这一发现。③能否初步尝试将“男生是女生的4/5”转化为“男生占全班的4/9”或“女生占全班的5/9”。形成知识、思维、方法清单：★核心概念：单位“1”的转化，本质是寻找不同数量间基于同一标准的份数关系。当直接利用原单位“1”（女生）求解受阻时，可以转向选择已知量（全班人数）作为新的公共参照系。▲方法点拨：“男生是女生的4/5”意味着在份数上，男:女=4:5。那么男生占4份，女生占5份，全班就是9份。这是一个极为关键的过渡性发现，将两个部分量与总量的关系直观呈现。思维提示：“看，当原来的单位‘1’未知时，我们是不是可以‘跳出来’，找一个包含它们的整体（全班）作为新的标准来分析？这就叫‘转化视角’。”任务二：图解关系——让“转化”看得见教师活动：邀请一位思路清晰的学生上台，引导他/她在投影下画出例1的线段图。教师强调作图规范：先画单位“1”（女生），平均分成5份；男生画4份那么长。然后，用一个大括号括起男女生线段，标上“45人”。“现在，谁能指着图告诉大家，这45人对应的是图中的几份？”（引导学生说出“4+5=9份”）。教师板书关系式：女生人数（单位“1”）×(1+4/5)=45人。并提问：“这个‘(1+4/5)’表示什么？它其实就是女生自身的‘1’加上男生的‘4/5’，合起来就是女生人数的‘9/5’，对应45人。看，我们通过线段图，把‘男生是女生的4/5’这个条件，转化成了‘全班是女生的9/5’。转化成功！”学生活动：学生在自己的学习单上跟着画图，并模仿说出数量关系。同桌互相检查线段图是否画得准确、关系式是否对应。学生通过动手操作，将抽象的“转化”思维固化为可视的图形语言。即时评价标准：①线段图绘制是否工整，份数标注是否清晰。②能否根据线段图正确写出“全班人数相当于女生的几分之几”这一关键等量关系。③同桌互查时，能否发现并指出对方图示或表述中的错误。形成知识、思维、方法清单：★核心技能：用线段图表征复杂分数关系是解决问题的“利器”。它能将隐含的份数关系可视化，是实现单位“1”转化的桥梁。易错警示：画图时，必须明确第一步画的是谁（原单位“1”），并确保部分量与它之间的长度比例正确。否则，后续推导将全盘皆错。方法提炼：“图形一画，关系自明。当我们把条件‘翻译’成线段图，那个需要被转化的新分率（如9/5）就会自己‘跳’出来。”任务三：建模策略——“转化”的通法与要诀教师活动：基于例1的解法，教师引导学生一起归纳步骤。提出一个更具一般性的问题模型：“已知甲是乙的a/b，同时知道甲、乙两者之和（或差），求甲、乙各自是多少？”组织小组讨论解决这类问题的通用步骤。教师巡视，捕捉典型思路，并最后总结板书“转化单位‘1’问题解决三步法”：1.定基准：明确题目中最初的单位“1”（如乙）。2.转关系：将另一个量（甲）及其它相关量（和或差）都用这个单位“1”的几分之几来表示。3.列式解：根据“单位‘1’的量×对应分率=对应量”列式（或方程）求解。学生活动：小组合作，尝试用自己语言总结步骤，并派代表分享。针对教师提出的通用模型，进行口头表述练习，比如：“如果知道‘苹果比梨少1/4’，又知道‘苹果和梨共重70千克’，那么第一步定‘梨’为单位‘1’，第二步苹果就是‘1–1/4=3/4’，总重70千克对应梨的‘1+3/4=7/4’……”即时评价标准：①小组总结的步骤是否逻辑清晰、语言简练。②在口头表述练习中，能否准确说出每一步的思考内容，特别是“对应分率”是如何计算出来的。形成知识、思维、方法清单：★策略模型：“转化单位‘1’”通用三步法模型建立。这是本课的方法论核心，旨在为学生提供可迁移的、程序性的问题解决框架。▲思维升华：转化的核心目的是将多个相关的“分率”统一到同一个“单位‘1’”名下，从而建立已知数量与未知单位‘1’之间的直接等量关系。教师提示：“记住这个‘三步法’，它就像一把万能钥匙，能帮我们打开很多把看起来不同的锁。关键是要练熟‘转关系’这一步的眼力。”任务四：进阶挑战——“连环转化”的实际应用教师活动：现在，回归导入时的“书店难题”。将问题完整呈现：“爸爸带的钱比预算多1/5，实际花的钱比带的钱少1/6。已知实际花了300元，求预算是多少元？”教师引导：“这次问题更复杂了，涉及两次比较，单位‘1’变了两次。大家别慌，我们‘三步法’依然管用，但可能需要用两次。请各小组选择学习单上的A版（有引导提示）或B版（自主探究）进行挑战。”A版提示：第一步，以谁为标准能将“带的钱”表示出来？第二步，以谁为标准能将“花的钱”表示出来？如何建立“花的钱”与“预算”的联系？学生活动：小组根据自身水平选择任务单进行合作探究。画线段图分析，经历两次转化：先将“带的钱”转化为预算的(1+1/5)=6/5；再将“花的钱”转化为带的钱的(11/6)=5/6，进而得出花的钱是预算的(6/5×5/6)=1倍？此处会产生认知冲突（结果是1倍？那预算就是300元？似乎太简单，与感觉不符）。小组会陷入争论和深度思考，检查每一步的转化对象是否正确。即时评价标准：①小组是否能识别出两个不同的单位“1”（预算、带的钱）。②在线段图上是否能清晰地分两层表示两次转化关系。③当出现“300元就是预算的1倍”这一结论时，是否能主动质疑并重新审题，发现关键：第二次的“比带的钱少1/6”，其单位“1”是“带的钱”，而非“预算”。形成知识、思维、方法清单：★认知关键点：在多层转化中，必须紧紧抓住每一次分率所对应的、当前步骤的单位“1”。“比……多/少几分之几”这个句式后面紧跟的那个量，就是当前分率的单位“1”。这是最易错点！▲复杂问题分解：处理“连环转化”问题，可将问题分解为几个连续的、简单的转化步骤，每一步都严格遵循“三步法”，并注意每一步输出（新的分率关系）作为下一步的输入。教学强调：“很多同学在这里摔跟头！看仔细了，‘比带的钱少1/6’，这个‘的’字后面是谁？是‘带的钱’！所以这时我们必须以‘带的钱’为单位‘1’来思考，绝不能想当然地认为还是‘预算’。”任务五：解法辨析与策略优化教师活动：待大部分小组有所突破后，请两个思路不同的小组上台展示。一组可能采用“预算设为‘1’，逐步推导出花的钱是预算的(1+1/5)×(11/6)”；另一组可能采用“设带的钱为中间量x，列方程解决”。教师引导学生对比两种方法：“哪一种更体现‘转化’的思想？哪一种你觉得更稳妥、不易错？”并讨论“何时需要用到‘连环相乘分率’的策略”。学生活动：倾听同伴展示，理解不同解法的逻辑。参与讨论，比较方法的异同和优劣。思考并总结：当问题中的量存在连续的依存关系时（A比B如何，C又比A如何），将中间量统一转化为最初量的分率进行连乘，是直指核心的策略。即时评价标准：①能否理解并复述另一种与自己组不同的解法思路。②在讨论中，能否有依据地表达自己对方法优劣的看法（如：“方程法思路直白，但计算稍烦；分率连乘法步骤巧妙，但要求思维连贯”）。形成知识、思维、方法清单：★策略比较：算术法（分率连乘）与方程法都是解决复杂分数应用题的重要工具。算术法更考验思维的灵活性与转化的技巧，方程法更体现顺向思维的直捷性。应根据题目特点和个人擅长选择。▲元认知启发：解决问题的策略不止一种。学会欣赏和借鉴不同的解法，并反思“哪种方法更适合这类题？更适合我？”，是成为高水平问题解决者的标志。教师结语：“条条大路通罗马。我们的目标不是记住唯一解法，而是拥有一个装满各种工具的策略箱，并能根据情况选出最称手的那一把。”第三、当堂巩固训练1.基础层（全员必做）：“果园里有苹果树和梨树共360棵，其中苹果树是梨树的2/3。梨树有多少棵？”（直接应用任务一至三的模型）。2.综合层（多数人力争完成）：“一本故事书，第一天读了全书的1/4，第二天读的页数是第一天的6/5，还剩44页未读。这本书共多少页？”（涉及部分量之间的比较，需统一到全书为单位“1”）。3.挑战层（学有余力选做）：“有两个桶，A桶装水10升，B桶装水4升。问从A桶倒出多少升水到B桶，使得A桶的水是B桶的2/3？”（情境稍变，本质仍是确定变化后的“单位‘1’并建立等量关系）。反馈机制：学生独立完成后，小组内交换批改基础题和综合题。教师投影展示挑战题的不同解法思路，重点讲评综合题中如何将“第二天读的页数”转化为“全书的几分之几”（1/4×6/5=3/10），以及如何确定44页的对应分率（1–1/4–3/10）。对于普遍性错误，进行即时追问和辨析。“有同学算出全书共80页，我们来检验一下：第一天读20页，第二天读24页，还剩36页，不对。问题出在哪？哦，44页的对应分率算错了！大家一定要把‘1’减掉的是哪些分率算清楚。”第四、课堂小结“同学们，经过一节课的头脑风暴，我们来静静地梳理一下。今天，我们共同征服了分数应用题里的一座‘小山头’——单位‘1’转化问题。谁能用几句话说说，你的最大收获是什么？”（引导学生从知识、方法、体验多角度发言）。随后，教师进行结构化总结：“我们首先明确了核心是‘统一标准’；然后掌握了‘三步法’这个工具；接着用线段图作为我们的‘眼睛’；最后我们认识到，即使是复杂的连环问题，也是简单步骤的叠加。重要的是，我们学会了在变化中寻找不变量（关系），在复杂中分解出简单。”作业布置：必做题：课本对应练习题1、3、5（侧重基础转化）。选做题：1.仿照“书店难题”自编一道单位“1”发生两次转化的应用题，并解答。2.探究：在浓度问题中，“盐水”作为单位“1”，盐、水、浓度之间分数的关系，与今天我们学的有何异同？（为后续学习铺垫）。六、作业设计1.基础性作业（必做）：1.2.完成练习册本课时基础达标部分的所有题目。2.3.针对今天课堂巩固训练中自己做错的题目，用红笔在错题旁写下错误原因和正确思路。4.拓展性作业（建议大多数学生完成）：1.5.情境应用题：“学校合唱团女生人数比总人数的2/3多3人，男生人数是女生的1/4。合唱团共有多少人？”（需要处理“量率不对应”的初级情况，提升分析能力）。2.6.绘制一张思维导图，梳理“解决分数应用题（单位‘1’已知、未知、转化）的所有类型及对应策略”。7.探究性/创造性作业（选做）：1.8.微项目：“我是出题小专家”。请寻找一个生活中的场景（如家庭开销、运动数据、阅读进度等），设计一道涉及单位“1’转化的分数应用题，并附上详解和思路点睛。我们将评选出‘最佳现实问题奖’和‘最巧思妙解题奖’。”2.9.数学阅读：阅读教师推荐的数学读物（如《可怕的科学·经典数学系列》中关于比例的部分），写一篇简短的读后感，谈谈分数和比例在生活中的威力。七、本节知识清单及拓展1.★单位“1”（标准量）：分数意义上，代表“一个整体”的量。在应用题中，它是比较的基准，通常出现在“是”、“比”、“占”、“相当于”等字眼后面，或“的”字前面。理解其相对性与选择性是解题起点。2.★分率与对应量：分率表示的是部分与单位“1”的倍数关系。对应量则是该分率所代表的具体数值。核心关系式：单位‘1’的量×分率=对应量。这是所有分数乘除法应用题的根基。3.★单位“1”转化的必要性：当题目中的多个分率基于不同的标准量时，无法直接建立算术关系。必须通过转化，将它们统一到同一个单位“1”下，才能使计算成为可能。4.★转化基本方法（份数法）：利用分数与比的关系，将分率视为份数比。例如“甲是乙的a/b”可视为甲:a份，乙:b份。通过求总份数，实现向总量（和）为单位“1”的转化。5.★核心解题模型：“三步法”。一定基准（识别原单位“1”）；二转关系（将相关量都用原单位“1”的分率表示，特别是求出“已知量”的对应分率）；三列式解（根据关系式列方程或除法算式求解）。6.★关键工具：线段图。画图步骤：先画原单位“1”，等分；再根据分率画其他量；标出所有已知数量和未知问号。图能直观揭示“量和率”的对应关系，是检验思路的利器。7.▲多层转化问题（“连环套”）：特征为存在连续的依存比较（A比B…，C比A…）。策略是逐步转化，连乘求积。以初始量为最终单位“1”，将中间每一步的比较结果都转化为关于这个最终单位“1”的分率，最后连乘得到末端量与初始量的分率关系。切记每一步都认清当前的单位“1”。8.▲量率不对应问题初步：当已知的具体数量不直接对应某个“纯粹”的分率，而是对应“分率与某个具体数量的和或差”时，需要先将这个具体数量“移开”，处理“纯分率”部分，或使用方程求解。这是后续更复杂应用题的雏形。9.易错点警示：①混淆比较对象，找错单位“1”。②在多步转化中，分率连乘时计算错误。③用已知具体数量除以分率时，除数和被除数不对应。④解方程后忘记作答或单位。10.思想方法提炼：本节课深刻体现了转化与化归思想（将未知转化为已知，将复杂转化为简单）、模型思想（建立“三步法”通用模型）、数形结合思想（线段图辅助）。八、教学反思（一）预设与生成的张