(2025年)有限元考试试题及答案

(2025年)有限元考试试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1.有限元法将连续体离散为有限个单元的核心目的是：A.简化几何模型B.将无限自由度问题转化为有限自由度问题C.提高计算精度D.降低对计算机性能的要求2.二维三角形单元的线性形函数满足的关键性质是：A.任意一点形函数之和等于1B.形函数在单元边界外不为零C.形函数的二阶导数连续D.形函数仅与单元体积相关3.总刚度矩阵的稀疏性主要源于：A.单元刚度矩阵的对称性B.节点仅与相邻单元相关联C.材料属性的均匀性D.载荷的集中作用4.采用高斯积分计算单元刚度矩阵时，若被积函数为三次多项式，则至少需要选择几个积分点才能精确积分？A.1个B.2个C.3个D.4个5.有限元计算中，“沙漏模式”主要出现在哪种单元类型中？A.高阶四边形单元B.线性六面体单元C.三角形板壳单元D.一维杆单元二、填空题（每空2分，共20分）1.位移元的收敛性要求形函数必须满足________（协调性条件）和________（完备性条件）。2.二维四节点等参单元的雅可比矩阵J的行列式表示________与________的坐标变换比例因子。3.集中质量矩阵通过将单元质量________分配到节点，而一致质量矩阵基于________计算得到。4.有限元误差主要包括________（由离散化引起）和________（由数值积分不精确引起）。5.热-结构耦合分析中，温度场通过________（物理量）影响应力场，应力场通过________（物理量）影响温度场。三、简答题（每题8分，共32分）1.简述有限元法中“形函数”的定义及其必须满足的基本条件。2.说明等参单元的优势，并举例说明其在二维问题中的应用。3.比较中心差分法和Newmark-β法在瞬态动力分析中的适用场景及优缺点。4.推导一维两节点线性杆单元的形函数，并验证其是否满足收敛性条件。四、计算题（共33分）1.（10分）考虑一个二维三节点三角形单元（节点1(0,0)、节点2(2,0)、节点3(0,1)），材料为各向同性，弹性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3，平面应力状态。试计算该单元的刚度矩阵（要求用面积坐标表示，并写出关键推导步骤）。2.（12分）某平面应力问题中，矩形板（长a=4m，宽b=2m）受顶部边缘分布载荷q(x)=q₀(1-x/a)（x为水平坐标，q₀=10kN/m），采用四节点矩形单元离散（单元节点按1(0,0)、2(a,0)、3(a,b)、4(0,b)编号）。试计算该分布载荷对应的等效节点力向量（要求用形函数积分法，保留积分过程）。3.（11分）对于三维八节点六面体单元，若需精确积分其刚度矩阵中的被积函数（假设被积函数为二次多项式），应选择几阶高斯积分？写出积分点坐标及权系数，并计算积分公式的一般形式（以x、y、z方向的积分点为例）。答案一、选择题1.B（有限元通过离散将连续体的无限自由度转化为节点的有限自由度，是核心思想）2.A（形函数的基本性质：任意点ΣN_i=1，保证位移场的刚体位移和常应变）3.B（节点仅与相邻单元连接，总刚度矩阵中仅主对角线及附近元素非零，故稀疏）4.B（三次多项式需2点高斯积分，因n点高斯积分可精确积分2n-1次多项式）5.B（线性六面体单元因零能模式易出现沙漏，需通过人工刚度抑制）二、填空题1.位移协调（单元间位移连续）；包含刚体位移和常应变模式（完备性）2.局部坐标（自然坐标）；整体坐标（笛卡尔坐标）3.集中；形函数的积分（质量守恒积分）4.离散误差；数值积分误差（或截断误差）5.热膨胀系数（引起热应力）；弹性应变（影响热传导）三、简答题1.形函数定义：单元内任意点坐标(x,y,z)处的位移可表示为节点位移的线性组合，即u=ΣN_iu_i，其中N_i为形函数。基本条件：①在节点i处，N_i=1，其他节点j≠i时N_j=0（插值性）；②ΣN_i=1（保证刚体位移）；③N_i连续且具有足够阶数的可微性（保证应变场连续性）。2.等参单元优势：①通过自然坐标描述单元几何，可精确表示曲线/曲面边界；②单元形状函数与坐标变换函数使用相同节点，简化编程；③适用于任意形状单元（如四边形、六面体），提高网格灵活性。应用示例：二维四节点等参单元可用于模拟曲边矩形结构（如压力容器封头），通过形函数将自然坐标(ξ,η)映射到整体坐标(x,y)，实现非规则几何的精确离散。3.中心差分法：显式算法，时间步长需满足稳定性条件（Δt<Δt_cr），适用于短时间、高频响应问题（如冲击）；优点是无需解联立方程，计算效率高；缺点是对大时间步长不稳定，不适用于低频问题。Newmark-β法：隐式算法，通过参数β控制稳定性（β≥0.25时无条件稳定），适用于长时间、低频响应（如地震载荷）；优点是稳定性好，可采用较大时间步长；缺点是需解线性方程组，计算成本较高。4.一维两节点杆单元（节点1在x=0，节点2在x=L）。设形函数N₁(x)、N₂(x)，满足：N₁(0)=1，N₁(L)=0；N₂(0)=0，N₂(L)=1。假设线性形函数，设N₁=1-x/L，N₂=x/L。验证收敛性：①完备性：包含刚体位移（常数项）和常应变（一次项）；②协调性：单元内位移连续（线性函数连续），单元间位移在节点处连续（由节点位移插值保证），故满足收敛条件。四、计算题1.三角形单元面积坐标（L₁,L₂,L₃）满足L₁+L₂+L₃=1，节点1对应L₁=1，节点2对应L₂=1，节点3对应L₃=1。应变矩阵B=[dB₁/dxdB₁/dy;dB₂/dxdB₂/dy;dB₃/dxdB₃/dy]^T（平面应力下为3×6矩阵）。对于线性三角形单元，B矩阵为常数矩阵，由几何关系计算：面积A=(2×1)/2=1m²，∂N_i/∂x=(y_j-y_k)/(2A)，∂N_i/∂y=(x_k-x_j)/(2A)（i,j,k循环）。计算得：∂N₁/∂x=(0-1)/(2×1)=-0.5，∂N₁/∂y=(0-2)/(2×1)=-1；∂N₂/∂x=(1-0)/(2×1)=0.5，∂N₂/∂y=(0-0)/(2×1)=0；∂N₃/∂x=(0-0)/(2×1)=0，∂N₃/∂y=(2-0)/(2×1)=1。因此B矩阵为：[-0.500.5000][-100010][-1.500.5010]（第三行为剪应变，由前两行和得到）。弹性矩阵D（平面应力）为：E/((1-ν²))×[1ν0;ν10;00(1-ν)/2]，代入E=200GPa，ν=0.3，得D=[206.89762.0690;62.069206.8970;0071.724]GPa。单元刚度矩阵k=∫B^TDBdA=B^TDB×A（因B、D均为常数）。计算得k=1×B^TDB，具体数值展开后为6×6矩阵（略）。2.分布载荷q(x)作用于单元顶部边缘（y=b），节点3和4为该边节点。等效节点力向量F=∫N^Tq(x)ds（s为边缘长度）。对于四节点矩形单元，顶部边缘（y=b）的形函数为N₃=η(1+ξ)/4，N₄=η(1-ξ)/4（自然坐标ξ∈[-1,1]，η=1）。转换为整体坐标，ds=(a/2)dξ（因ξ从-1到1对应x从0到a，dx=(a/2)dξ）。载荷q(x)=q₀(1-x/a)=q₀(1-((a/2)(ξ+1))/a)=q₀(1-(ξ+1)/2)=q₀(1-ξ)/2。积分F=∫_{-1}^1[N₁N₂N₃N₄]^Tq(x)×(a/2)dξ（N₁、N₂在y=b处为0，故仅N₃、N₄非零）。计算N₃=(1)(1+ξ)/4=(1+ξ)/4，N₄=(1)(1-ξ)/4=(1-ξ)/4。F₃=∫_{-1}^1(1+ξ)/4×q₀(1-ξ)/2×(a/2)dξ=(q₀a)/16∫_{-1}^1(1-ξ²)dξ=(q₀a)/16×(2-2/3)=(q₀a)/16×4/3=q₀a/12。F₄=∫_{-1}^1(1-ξ)/4×q₀(1-ξ)/2×(a/2)dξ=(q₀a)/16∫_{-1}^1(1-ξ)^2dξ=(q₀a)/16×[(1-ξ)^3/(-3)]_{-1}^1=(q₀a)/16×(8/3)=q₀a/6。因此等效节点力向量为[0,0,q₀a/12,0,q₀a/6,0]^T（假设自由度为x、y方向，y方向无载荷）。3.三维八节点六面体单元的刚度矩阵积分形式为∫∫∫B^TDBdet(J)dξdηdζ。被积函数为二次多项式，高斯积分精度要求：n点高斯积分可精确积分2n-1次多项式。对于二次多项式（次数2），需2n-1≥2→n≥2（因2×2-1=3≥2）。故x、y