(2025年)《数值计算方法》试题集及答案

(2025年)《数值计算方法》试题集及答案一、选择题（每题3分，共24分）1.设π的近似值为3.1416，其绝对误差限为0.00005，则有效数字位数为（）A.4位B.5位C.6位D.3位2.已知x≈2.718，y≈1.618，均为4位有效数字，计算z=x/y的相对误差限约为（）A.0.0002B.0.0003C.0.0004D.0.00053.对于拉格朗日插值基函数l_i(x)（i=0,1,…,n），下列结论错误的是（）A.l_i(x_j)=δ_ij（克罗内克函数）B.Σl_i(x)=1C.l_i(x)是n次多项式D.l_i(x)在插值节点外无零点4.数值积分公式∫ₐᵇf(x)dx≈(b-a)[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]/6的代数精度为（）A.1次B.2次C.3次D.4次5.高斯-勒让德积分公式的节点是（）A.等距节点B.切比雪夫多项式的根C.勒让德多项式的根D.拉格朗日基函数的零点6.对于线性方程组Ax=b，若A为严格对角占优矩阵，则（）A.雅可比迭代收敛，高斯-赛德尔迭代不一定收敛B.高斯-赛德尔迭代收敛，雅可比迭代不一定收敛C.两者均收敛D.两者均不收敛7.用欧拉法求解初值问题y’=f(x,y),y(x₀)=y₀，其局部截断误差为（）A.O(h)B.O(h²)C.O(h³)D.O(h⁴)8.牛顿迭代法求解方程f(x)=0时，若x是单根且f’’(x)≠0，则迭代的收敛阶为（）A.1阶B.2阶C.3阶D.4阶二、填空题（每题3分，共24分）1.牛顿插值多项式的一般形式为P_n(x)=f[x₀]+f[x₀,x₁](x-x₀)+…+f[x₀,…,x_n]ω_n(x)，其中ω_n(x)=__________。2.拉格朗日插值余项公式为R_n(x)=f^(n+1)(ξ)/(n+1)!·__________，其中ξ∈(a,b)。3.辛普森公式的代数精度为__________次。4.高斯-勒让德两点积分公式在区间[-1,1]上的节点为__________，系数均为__________。5.改进欧拉法（预估-校正法）的递推公式为：y_{n+1}^p=y_n+hf(x_n,y_n)；y_{n+1}=y_n+h[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1}^p)]/2，其局部截断误差为__________。6.雅可比迭代法的迭代矩阵B_J=__________（用A的分解形式表示，A=D-L-U）。7.中心差分公式f’(x₀)≈[f(x₀+h)-f(x₀-h)]/(2h)的截断误差为__________。8.三次样条插值要求在节点处满足一阶、二阶导数连续，即S’(x_i⁻)=S’(x_i⁺)和__________。三、计算题（共40分）1.（10分）已知函数f(x)在节点x₀=0,x₁=1,x₂=2处的函数值分别为f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5。（1）构造拉格朗日插值多项式P₂(x)；（2）用P₂(x)近似计算f(0.5)，并估计余项（假设|f'''(x)|≤6）。2.（10分）用牛顿插值法构造上述函数f(x)的插值多项式，并列出差商表，计算f(0.5)的近似值（与拉格朗日法结果对比）。3.（10分）计算定积分I=∫₀²(x³-2x+1)dx：（1）用梯形公式；（2）用辛普森公式；（3）比较结果与精确值的差异（精确值可通过解析计算）。4.（10分）求解线性方程组：4x₁+x₂=5x₁+5x₂+x₃=7x₂+6x₃=7（1）判断是否满足雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代的收敛条件；（2）写出雅可比迭代格式，取初始值x^(0)=(0,0,0)^T，计算前两次迭代结果。四、证明题（共12分）1.（6分）证明拉格朗日插值多项式的余项公式：对于n次可导函数f(x)，其n次拉格朗日插值多项式P_n(x)的余项为R_n(x)=f^(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x₀)(x-x₁)...(x-x_n)，其中ξ∈(min{x,x₀,…,x_n},max{x,x₀,…,x_n})。2.（6分）证明：若迭代矩阵B的谱半径ρ(B)<1，则迭代格式x^(k+1)=Bx^(k)+g收敛于唯一解x。答案一、选择题1.B（3.1416的绝对误差限为0.00005，即误差不超过小数点后第5位的半个单位，故有效数字为5位）2.C（相对误差限≈(δx/x)+(δy/y)≈(0.00005/2.718)+(0.00005/1.618)≈0.000018+0.000031≈0.000049，约0.00005，但选项中最接近的是C）3.D（l_i(x)在插值节点外可能有零点）4.C（辛普森公式的代数精度为3次）5.C（高斯积分节点是正交多项式的根，勒让德多项式对应高斯-勒让德积分）6.C（严格对角占优矩阵的雅可比和高斯-赛德尔迭代均收敛）7.B（欧拉法的局部截断误差为O(h²)）8.B（牛顿迭代法在单根处二阶收敛）二、填空题1.(x-x₀)(x-x₁)...(x-x_{n-1})2.(x-x₀)(x-x₁)...(x-x_n)3.34.±1/√3；15.O(h³)6.D⁻¹(L+U)7.O(h²)8.S''(x_i⁻)=S''(x_i⁺)三、计算题1.（1）拉格朗日插值多项式：P₂(x)=f(0)l₀(x)+f(1)l₁(x)+f(2)l₂(x)l₀(x)=(x-1)(x-2)/((0-1)(0-2))=(x²-3x+2)/2l₁(x)=(x-0)(x-2)/((1-0)(1-2))=(-x²+2x)/1=-x²+2xl₂(x)=(x-0)(x-1)/((2-0)(2-1))=(x²-x)/2故P₂(x)=1·(x²-3x+2)/2+2·(-x²+2x)+5·(x²-x)/2展开化简得P₂(x)=x²+1。（2）f(0.5)≈P₂(0.5)=0.25+1=1.25。余项R₂(x)=f'''(ξ)/6·(x-0)(x-1)(x-2)，|f'''(ξ)|≤6，x=0.5时，|(0.5)(-0.5)(-1.5)|=0.375，故|R₂(0.5)|≤6/6·0.375=0.375。2.牛顿插值差商表：x₀=0,f[x₀]=1x₁=1,f[x₁]=2,f[x₀,x₁]=(2-1)/(1-0)=1x₂=2,f[x₂]=5,f[x₁,x₂]=(5-2)/(2-1)=3,f[x₀,x₁,x₂]=(3-1)/(2-0)=1牛顿插值多项式P₂(x)=1+1·x+1·x(x-1)=x²+1，与拉格朗日法结果一致。f(0.5)=0.5²+1=1.25。3.（1）梯形公式：h=(2-0)/1=2，I≈(h/2)[f(0)+f(2)]=(2/2)[(0-0+1)+(8-4+1)]=1·(1+5)=6。（2）辛普森公式：h=(2-0)/2=1，I≈(h/3)[f(0)+4f(1)+f(2)]=(1/3)[1+4·(1-2+1)+5]=(1/3)[1+0+5]=2。（3）精确值：∫₀²(x³-2x+1)dx=[x⁴/4-x²+x]₀²=(16/4-4+2)-0=4-4+2=2。梯形公式误差为6-2=4，辛普森公式无误差（因被积函数为三次多项式，辛普森公式代数精度为3次）。4.（1）系数矩阵A=[410151016]对角线元素绝对值分别为4,5,6，每行非对角元素绝对值和分别为1,2,1，均小于对角线元素，故A严格对角占优，雅可比和高斯-赛德尔迭代均收敛。（2）雅可比迭代格式：x₁^(k+1)=(5-x₂^(k))/4x₂^(k+1)=(7-x₁^(k)-x₃^(k))/5x₃^(k+1)=(7-x₂^(k))/6初始值x^(0)=(0,0,0)^T：第一次迭代：x₁^(1)=(5-0)/4=1.25x₂^(1)=(7-0-0)/5=1.4x₃^(1)=(7-0)/6≈1.1667第二次迭代：x₁^(2)=(5-1.4)/4=3.6/4=0.9x₂^(2)=(7-1.25-1.1667)/5≈(4.5833)/5≈0.9167x₃^(2)=(7-1.4)/6=5.6/6≈0.9333四、证明题1.设余项R_n(x)=f(x)-P_n(x)，构造辅助函数φ(t)=f(t)-P_n(t)-R_n(x)·ω_{n+1}(t)/ω_{n+1}(x)，其中ω_{n+1}(t)=(t-x₀)...(t-x_n)。则φ(x_i)=0（i=0,1,…,n）且φ(x)=0，故φ(t)在n+2个点处为零。由罗尔定理，存在ξ∈(min{x,x₀,…,x_n},max{x,x₀,…,x_n})，使得φ^(n+1)(ξ)=0。而P_n(t)是n次多项式，P_n^(n+1)(t)=0，ω_{n+1}(t)的n+1阶导数为(n+1)!，故φ^(n+1)(ξ)=f^(n+1)(ξ)-R_n(x)·(n+1)!/ω_{n+1}(x)=0，解得R_n(x)=f^(n+1)(ξ)/(n+1)!·ω_{n+1}(x)。2.