有理数的乘除法-运算规则的探索与应用

有理数的乘除法——运算规则的探索与应用一、教学内容分析  本节课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域，是七年级上学期学生在学习了有理数的概念、大小比较及加减法运算后的自然延伸与深化。从知识技能图谱看，有理数的乘除法是数系从非负有理数扩展到全体有理数后，对基本运算律的又一次系统性建构。它不仅是四则运算的完备，更是后续学习有理数的乘方、实数的运算乃至代数式运算的重要基石，在单元知识链中起着承上启下的枢纽作用。课标要求“掌握有理数的乘法、除法运算”，其认知要求已从加减法的“理解”提升至“掌握”，强调在理解算理的基础上进行准确、熟练的计算，并能运用运算律简化运算。  过程方法层面，本节课是渗透“模型思想”与“归纳推理”的绝佳载体。乘除运算规则，特别是符号法则，并非凭空规定，而是源于对现实情境（如相反意义的量、连续变化）的数学抽象与模型建构。教学中应引导学生从具体实例出发，通过观察、比较、归纳，自主发现规律，经历从特殊到一般、从具体到抽象的数学化过程。这不仅是知识习得的过程，更是数学思维方式的锤炼。  从素养价值渗透看，有理数乘除法的学习直接关乎“运算能力”这一核心素养的发展，强调运算的准确性、合理性与简洁性。同时，在探索符号法则的过程中，能培养学生“数学抽象”与“逻辑推理”的素养；在运用运算律优化计算时，则体现了“创新意识”的萌芽。其育人价值在于让学生体会到数学规则的系统性、自洽性与普适性，感受理性思维的魅力。  基于以上分析，学情研判需重点关注两点：一是学生已有正数乘除法的扎实基础与有理数加减法的符号处理经验，这为知识迁移提供了可能；二是新运算中“负负得正”等符号法则的抽象性，以及运算律在有理数范围内的普适性验证，可能成为认知难点。学生容易将加减法的符号处理经验错误迁移至乘除法，或对运算律的扩展产生疑虑。因此，教学需设计丰富的情境与探究活动，帮助学生在亲身体验中实现意义建构，并通过变式练习与即时反馈，动态诊断并纠正可能出现的混淆与错误。针对不同层次的学生，需提供从直观模型支撑到抽象符号推理的差异化学习路径。二、教学目标  知识目标：学生能准确归纳并表述有理数乘法与除法的运算法则（特别是符号法则），理解法则的合理性；能熟练进行有理数的乘、除运算，并明确除法转化为乘法的内在联系；知道有理数范围内，乘法运算律（交换律、结合律、分配律）依然成立，并能主动运用其简化运算。  能力目标：学生能够从现实情境中抽象出数学问题，并运用归纳、类比等思维方法，自主探究有理数乘除运算的规则，发展数学抽象与逻辑推理能力；在复杂算式的计算中，能灵活、合理地选择算法与运算顺序，优化计算过程，提升运算能力和解决问题的策略性。  情感态度与价值观目标：学生在探索“负负得正”等规律的过程中，体验数学发现的好奇与喜悦，感受数学规则并非强加于人，而是源于对客观世界的一致性与简洁性的追求，从而增进对数学严谨性与和谐美的认同。在小组合作探究中，乐于分享自己的发现，并认真倾听、辨析他人的观点。  科学（学科）思维目标：本节课重点发展“模型思想”与“归纳推理”思维。通过将温度变化、行程等实际问题转化为数学算式，建立乘法模型；通过观察一系列具体算式的特征与结果，归纳出普适性的符号法则与运算规律，实现从特殊到一般的思维飞跃。  评价与元认知目标：学生能够依据清晰的计算步骤和运算法则，对自己的计算过程进行校验；能在小组讨论中，对他人的解题方法进行合理性评价；课后能通过知识清单，自主梳理本节课的核心概念、易错点与典型方法，反思自己的学习收获与存疑之处。三、教学重点与难点  教学重点：有理数乘除法的运算法则（尤其是符号法则）及其运用。确立依据：从课标定位看，法则是进行一切有理数乘除运算的“宪法”，是必须掌握的核心“大概念”；从学业评价看，有理数的混合运算是初中数学的基础性、高频考点，而符号处理的正确与否是决定运算成败的关键。  教学难点：对“负负得正”等符号法则的理性理解与接受；在混合运算中灵活、准确地运用运算律进行简便计算。预设依据：符号法则的抽象性超越了学生的直观经验，容易产生“为何如此”的认知困惑，属于认知跨度较大的内容；而运算律的灵活运用，则需要学生深刻理解运算律的本质，并具备较高的观察力和策略性思维，这是从“会算”到“算得巧”的跨越，常见错误表现为机械套用或选择不当。突破方向在于强化法则的归纳过程，并设计对比性练习。四、教学准备清单  1.教师准备  1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态温度变化演示、问题情境动画）、实物数轴模型、磁性数字与符号卡片。  1.2学习资料：分层学习任务单（含探究记录表、分层练习）、课堂小结思维导图模板。  2.学生准备  2.1知识回顾：复习有理数的概念、绝对值、加减法法则及小学学过的乘法运算律。  2.2学具：直尺、铅笔。  3.环境布置  3.1座位安排：小组合作式座位，便于4人小组讨论。  3.2板书记划：左侧主板书用于呈现核心法则与推导过程；右侧副板书用于记录学生探究的关键发现与典型例题解答。五、教学过程  第一、导入环节  1.情境激疑，提出问题  1.1播放微情境：“同学们，想象一下，假如我们有一个智能温控系统。现在室内温度是0℃，系统设定：每小时温度‘变化’+3℃。请问，3小时后温度是多少？这容易，是+9℃。那如果设定是每小时‘变化’3℃（即下降3℃），3小时后呢？”（学生答：9℃）很好，这可以用我们学过的加法解决：(3)+(3)+(3)=9。  1.2制造认知冲突：“现在，挑战来了！如果系统记录的不是‘变化量’，而是‘变化速率’：温度以每小时3℃的速度‘变化’。那么，请问‘2小时前’的温度比现在高还是低？高多少？”大家看，这里出现了“速度3”和“时间2（过去）”的组合。这还能用连续的加法来表示吗？好像有点麻烦。这提示我们，需要为这类涉及“方向”和“时间回溯”的量，建立一种新的、更高效的运算模型。这就是我们今天要探索的——有理数的乘法。  1.3明晰路径：“今天，我们将像数学家一样，从实际问题出发，通过观察、归纳，自己‘发明’出有理数乘除法的运算规则，并验证我们熟悉的运算律在有理数的世界里是否依然有效。最后，我们要成为能熟练驾驭这些规则的计算高手。”  第二、新授环节  任务一：温故知新，从加法定律到乘法猜想  教师活动：首先，引导学生将导入中的两个温度问题用算式表达：(+3)×3=+9；(3)×3=9。提问：“这两个算式的结果，与我们用加法得到的结果一致吗？观察这两个式子，因数3和结果9的符号，与另一个因数(+3)或(3)的符号有什么关系？”接着，抛出核心探究问题：“那么，(3)×(2)应该等于多少？请大家基于刚才的观察，先大胆猜一猜，并说说你猜想的理由。”教师巡视，倾听不同猜想（如+6或6），并记录于副板书，但不急于评判。  学生活动：回忆加法与乘法的联系，尝试将加法算式转化为乘法算式。观察教师给出的两个算式，初步感知“正数乘正数得正，负数乘正数得负”。针对(3)×(2)进行小组内猜想与理由阐述，可能联系“负债”、“反向运动”等生活经验进行类比推理。  即时评价标准：1.能否建立加法与乘法的联系。2.猜想是否基于对已有算式的观察或合理的生活类比。3.在小组讨论中能否清晰表达自己的观点。  形成知识、思维、方法清单：1.★乘法是加法的简便运算：在有理数范围内，一个乘法算式可以看作求若干个相同加数和的简便运算，这建立了新旧知识的联系。2.▲观察与归纳的起点：从特例（正×正，负×正）出发寻找规律，是数学探究的常用方法。3.猜想的价值：合理的猜想是探究的引擎，即使猜错，其思考过程也极具价值。  任务二：模型验证，探究有理数乘法法则  教师活动：“大家的猜想各有道理，但数学需要严密的逻辑或模型支撑。让我们回到‘温度变化’模型。”利用课件动态演示：设定当前（0时）温度为0℃，变化速度为每小时3℃（下降）。将时间轴向左（过去）延伸。“看，1小时前（1时），温度是多少？（+3℃）。怎么算的？0(3)×1？不对，我们用模型：从1时到0时，经过1小时，以3℃/小时变化，温度升高了3℃。所以1时的温度是+3℃。这个过程用算式表示，可以看作是(3)×(1)=+3。”继续演示：“那么2小时前（2时）呢？从2时到0时，经过2小时，温度升高了6℃，所以(3)×(2)=+6。”提问：“现在，请结合数轴（向东为正，向西为负；现在时刻为0，之后为正，之前为负）和行程问题（速度×时间=路程），以小组为单位，设计一个能解释(4)×(2)=+8的实际情境。”  学生活动：观看动态演示，理解“速度负”与“时间负”结合得到“路程正”的几何意义。小组合作，尝试用“向东/西行走”或“收入/支出”等不同情境，构建解释(4)×(2)=+8的模型，并派代表分享。  即时评价标准：1.能否理解教师演示的模型逻辑。2.小组构建的情境是否合理、清晰，能正确对应算式中每个数字的符号意义。3.表达是否逻辑自洽。  形成知识、思维、方法清单：4.★有理数乘法法则（符号部分）：两数相乘，同号得正，异号得负。这是本节课的核心规则，需结合绝对值的乘法来完整表述。5.★“负负得正”的模型理解：通过温度、行程等动态模型，赋予抽象规则以直观意义，化解认知难点。6.▲数学建模思想：将抽象的数学算式与现实情境相互转化、印证，是理解数学本质的重要途径。  任务三：归纳法则，形成完整运算步骤  教师活动：“通过刚才的探究，符号的奥秘已经揭开。现在，请大家完成以下算式，并思考如何用最简洁的语言总结有理数乘法的步骤：①(+5)×(+6)=？②(7)×(+4)=？③(+2.5)×(8)=？④(0.5)×(4)=？”学生口答后，引导总结：“大家觉得，做有理数乘法，分几步走最稳妥？”最终板书完整法则：“先定符号（同号得正，异号得负），再算绝对值（将绝对值相乘）。对了，任何数与0相乘呢？对，都得0。”强调：“这个步骤像一句口诀，是我们准确计算的‘武功心法’。”  学生活动：快速计算四个算式，巩固符号法则与绝对值运算。尝试用自己的语言总结计算步骤，如“先看符号，再把数字部分相乘”。最终与教师共同完善、记忆完整的运算法则。  即时评价标准：1.计算四个算式的准确率。2.总结的语言是否抓住了“符号”和“绝对值”两个关键。3.能否完整复述法则。  形成知识、思维、方法清单：7.★有理数乘法完整法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍是0。8.★运算的“两步法”策略：先确定符号，后进行绝对值运算，将复杂问题分解，化繁为简。9.易错点提醒：计算绝对值时，需注意小数、分数的乘法运算准确性。  任务四：除法化归，探究倒数关系  教师活动：“掌握了乘法，除法怎么办？回想一下，在小学，除法和乘法是什么关系？”（倒数关系）。“在有理数里，这个关系还成立吗？我们来验证：因为(3)×(+4)=12，所以(12)÷(3)=?(12)÷(+4)=?”引导学生计算并观察：“看看除法的结果，和乘法法则的符号规律一样吗？”学生发现一致后，给出定义：“乘积为1的两个有理数互为倒数。例如，3的倒数是1/3。那么，有理数除法如何转化为乘法？”引导学生得出：“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。”并板书转化法则。强调：“这样，我们就把有理数的除法运算，统一到了乘法运算中，符号法则自然也统一了。这就是数学的简洁与统一美！”  学生活动：通过乘除法的互逆关系填空，验证除法结果的符号规律与乘法一致。理解倒数的定义，并练习说出如5，2/7等数的倒数。归纳出除法转化为乘法的规则。  即时评价标准：1.能否通过具体算式验证乘除法的互逆关系。2.能否正确求出一个非零有理数的倒数。3.能否清晰表述除法转化为乘法的规则。  形成知识、思维、方法清单：10.★有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数（体现了“化归”思想）。11.★倒数的概念与求法：求一个数的倒数，就是求与它乘积为1的数，注意符号不变，分子分母颠倒（整数看作分母为1）。12.运算的统一性：除法统一为乘法，简化了运算体系，只需掌握一套符号法则。  任务五：运算律再验证，追求计算优化  教师活动：“现在我们有了‘武器’（法则），但要想成为计算高手，还得讲究‘策略’。我们在小学学过的乘法运算律——交换律、结合律、分配律，在有理数的天地里还‘好用’吗？请大家化身‘定律检察官’，小组合作，每人任选两个有理数（可含负数），设计算式验证其中一个运算律。”巡视指导，然后请小组展示验证过程和结论。“看来，这些运算律在有理数范围内依然坚如磐石！那么，如何用它们来简化计算呢？请看例题：计算(4)×(+7)×(0.25)。谁有巧妙的方法？”引导学生先确定符号，再利用交换律、结合律将好算的数（如4和0.25）结合。  学生活动：小组分工合作，自主选取数字，通过具体计算验证分配律、交换律或结合律在有理数运算中是否成立，并分享验证结果。观察例题，思考如何运用运算律优化计算顺序，进行口算或心算，体验简便运算带来的效率提升。  即时评价标准：1.验证过程是否规范、清晰。2.能否从具体验证中得出一般性结论。3.在优化计算时，是否能识别出可以简便计算的数字组合（如互为倒数、可凑整的数）。  形成知识、思维、方法清单：13.★运算律的普适性：有理数乘法仍满足交换律、结合律，乘法对加法的分配律也成立。这是进行简便运算的理论基础。14.▲运算的策略意识：面对复杂计算，不应机械从左到右，应先观察算式结构，优先确定积的符号，再利用运算律重组，追求“巧算”。15.典型简便组合：牢记常见的简便组合，如：与0、1、1相乘的特性；能凑整的数（如4与25，8与125）；互为倒数的数等。  第三、当堂巩固训练  1.基础层（全员必做，巩固法则）：“请大家快速完成学习单上的‘法则直通车’：8道直接应用乘除法法则的计算题，包括两个分数相乘、小数与负数相乘等基本类型。完成后同桌交换，依据‘先定符号，再算绝对值’的标准互评。”  2.综合层（多数学生挑战，应用运算律）：“现在提升难度，‘策略提升营’里有4道题。比如计算：(24)×(1/33/4+1/6)。请大家先独立思考，想想怎么算最省力。我请两位用不同方法的同学到黑板上板演。”（一位可能直接按顺序算，另一位用分配律）。完成后引导学生对比：“大家觉得哪种方法更优？为什么？在什么情况下分配律能大显神通？”  3.挑战层（学有余力选做，发展思维）：“‘思维挑战台’有一道题：已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，|m|=3，求(a+b)/m+cdm的值。这道题综合了我们最近几节课的核心概念，看看谁能攻克它。”教师巡视，对完成者进行面批指导，并鼓励其在小组内担任“小老师”。  反馈机制：通过同桌互评、板演对比讲评、教师面批与“小老师”帮扶，实现多层次、即时性反馈，让每个学生都能明确自己的掌握情况。  第四、课堂小结  1.知识整合：“同学们，这节课我们的探索之旅即将到站。请大家拿出思维导图模板，以‘有理数的乘除法’为中心，尝试用关键词和箭头画出我们今天建构的知识大厦。比如，主干可以分成‘乘法法则’、‘除法转化’、‘运算律’、‘计算策略’几个分支。”请一位学生展示并讲解其导图。  2.方法提炼：“回顾整个学习过程，我们用了哪些‘法宝’来获得这些新知识？”引导学生回顾：从实际情境建模、观察归纳、猜想验证、化归转化（除法化乘法）、策略优化等方法。  3.作业布置与延伸：“今天的作业是分层‘自助餐’：必做套餐是课本后对应节次的基础练习题，巩固法则。选做A餐是一道实际应用题，需要你建立乘除法模型来解决。选做B餐是一个小探究：(1)×(1)=+1，你能从我们学过的运算律的角度，推理证明‘负负得正’的必然性吗？（提示：假设(1)×(1)=a，尝试用分配律推导a的值）。下节课，我们将运用这些利器，解决更复杂的混合运算问题。”六、作业设计  基础性作业（必做）：  1.完成教材本节后练习A组所有计算题，要求步骤清晰（先定符号，再算绝对值），书写规范。  2.整理课堂练习中的错题（如有），并分析错误原因（是符号错误、绝对值计算错误还是策略选择不当）。  拓展性作业（建议大多数学生完成）：  3.（情境应用）某气象站记录，山脚温度为5℃。已知海拔每升高100米，气温下降0.6℃。请问海拔1500米处的气温是多少？请列出有理数运算算式并计算。  4.（综合计算）选择2道能够运用运算律（交换律、结合律或分配律）明显简化计算的题目进行计算，并简要说明你是如何简化的。  探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：  5.（推理探究）尝试仅利用有理数加法的意义和乘法分配律，逻辑推导出“负数乘负数结果为正数”的结论。（可参考提示：考虑等式0=(1)×0=(1)×[1+(1)]）  6.（数学写作）以“有理数乘法法则诞生记”为题，写一篇数学日记或小短文，讲述你是如何理解并接受“负负得正”这一规则的，可以包含你的猜想、验证过程和个人感悟。七、本节知识清单及拓展  1.★有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0。这是所有运算的基石，务必在理解的基础上熟练记忆。“先定符号，再算绝对值”是可靠的操作步骤。  2.★“负负得正”的直观模型：温度变化（速率负、时间负导致温度正增长）、方向运动（速度负、时间负导致位移为正方向）等模型，为这一抽象规则提供了现实解释，有助于化解理解障碍。  3.★有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。这意味着除法可以统一转化为乘法，从而沿用乘法的符号法则。  4.★倒数的概念：乘积为1的两个有理数互为倒数。数a(a≠0)的倒数是1/a。求倒数时，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。注意：带分数求倒数需先化为假分数。  5.★有理数运算律：乘法交换律(ab=ba)、结合律[(ab)c=a(bc)]、分配律[a(b+c)=ab+ac]在有理数范围内依然成立。这是进行简便运算的理论依据。  6.▲运算的“化归”思想：将除法运算转化为乘法运算，体现了数学中将未知、复杂问题转化为已知、简单问题的核心思想——化归思想。  7.▲运算策略意识：进行有理数乘除混合运算时，应有意识地进行“一看、二定、三算、四查”：一看算式整体结构；二定运算顺序和积的符号；三算绝对值（巧妙运用运算律）；四查结果和过程。  8.易错点警示：符号遗漏：在连乘或混合运算中，极易在某个步骤遗漏负号，建议每一步都明确符号。倒数求错：混淆倒数与相反数，特别是负分数的倒数。运算律误用：除法没有交换律和结合律，需先转化为乘法后再考虑。  9.典型简便运算模式：遇见(25)×4，(8)×125，互为倒数的数(如3/4与4/3)相乘等情况，应优先结合计算。含带分数时，通常化为假分数更便于计算。  10.▲与加减法的对比：强调乘法符号法则与加减法符号法则（同号相加取同号，异号相抵消）的本质不同，避免发生负迁移。  11.学科素养链接：本节课是发展“数学抽象”（从情境中抽象规则）、“逻辑推理”（归纳与演绎）、“运算能力”（准确与优化）、“模型思想”（情境建模）等核心素养的典型课例。八、教学反思  （一）目标达成度分析  本节课预设的知识与能力目标基本达成。通过探究任务与分层练习，绝大多数学生能正确表述并应用乘除法法则进行基本运算，部分学生能在综合题中展现运用运算律优化计算的意识。情感目标在模型构建和“自主发现”规则的过程中得到较好渗透，学生表现出较高的参与热情。科学思维目标中的“归纳推理”在任务一、二中体现充分，但“模型思想”的深度应用，可能因时间关系在部分学生中停留于理解教师提供的模型，自主建模能力有待后续课程进一步强化。元认知目标通过小结时的思维导图和错因分析得以初步落实。  （二）核心环节有效性评估  1.导入环节的“温度回溯”问题成功制造认知冲突，有效激发了探究动机。“2小时前”的提法将“负时间”自然引入，为后续模型理解做了铺垫。  2.任务二（模型验证）是突破难点的关键。动态课件的演示直观有力，但回顾发现，若能再增加一两个由学生口头描述或简单画图表示的情境（如水位升降），让更多学生参与“建模”而非仅“观模”，理解会更深刻。我当时追问：“除了温度，你能想象一个‘水位下降速度’和‘时间回溯’的例子吗？”这个互动可以更广泛一些。  3.任务五（运算律验证）的设计，让学生从“定律使用者”转变为“定律检察官”，角色转换增强了他们的主动性和对结论的确信感。但在随后的例题优化环节，部分中等生仍习惯从左往右算，对运用交换律、结合律重组算式的“敏感性”不足。今后需在此类例题后，增加一个“方法对比”的小讨论，强化策略优劣的感知。  （三）学生表现与差