第3讲随机变量及其分布

第31讲随机变量及其分布知识清单知识点01：离散型随机变量知识点02：离散型随机变量的分布列知识点03：离散型随机变量分布列的性质知识点04：离散型随机变量的均值(数学期望)与方差知识点05：均值(数学期望)与方差的性质知识点06：二项分布知识点07：超几何分布知识点08：正态分布题型讲解（举三反三）题型1：分布列的性质题型2：离散型随机变量的分布列及数字特征题型3：均值与方差中的决策问题题型4：二项分布题型5：超几何分布题型6：正态分布强化训练一、单选题（8）二、多选题（3）三、填空题（3）四、解答题（5）知识点01.离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.知识点02.离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.知识点03.离散型随机变量分布列的性质(1)pi≥0，i＝1，2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.知识点04.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值(数学期望)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝n∑i=1xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝n∑i=1(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称D(X)为随机变量X的标准差，记为σ(知识点05.均值(数学期望)与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).知识点06.二项分布(1)伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).(3)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).②若X~B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).知识点07.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝CMkCN-Mn-kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min知识点08正态分布(1)定义若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝1σ2πe-(x-μ)22σ2，x∈R，其中μ∈R，(2)正态曲线的特点①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；②曲线在x＝μ处达到峰值1σ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.(3)3σ原则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正态分布的均值与方差若X~N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.题型1：分布列的性质【例11】（2023·全国·模拟预测）两对孪生兄弟共4人随机排成一排，设随机变量表示孪生兄弟相邻的对数，则（

）【答案】B【分析】根据离散型随机变量的分布列计算概率即可.的所有可能取值为0，1，2，故选：B.【答案】故答案为：.(2)证明见详解.（2）由参考不等式及题意得到不等式，取出最大对应的的值，即可证明，由题意可以分析得到取等号时的实际意义.当随机变量中每个变量发生的概率相同的时候，这时事物中每一个结果发生的可能性相同，情况分析是最复杂的，也是最合理的.【变式11】（2021·河南南阳·模拟预测）已知为正数，随机变量的分布列为则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分布列的概率和为1，即可求解.故选：C0123【答案】，故答案为：，，【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列性质，数学期望计算，属于基础题.(1)某人从中一次性摸出4个球，设事件A“摸出的4个球中至少有一个数字是5”，事件“摸出的4个球中恰有两个数字相同”；分别求事件A和事件的概率；【答案】(1)，；123题型2：离散型随机变量的分布列及数字特征A． B． C． D．3【答案】C【详解】的可能取值为2，4，故选：C.【例22】（2024·全国·模拟预测）随机变量的分布列如下：012【答案】【分析】根据分布列的性质及数学期望公式，列出方程求出、的值，进而利用方差公式求出方差即可.故答案为：.【例23】（2025·陕西西安·模拟预测）某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示：(1)求m的值；(2)分布列见解析，【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，即可求解；（2）先求出样本中三段分数的人数，再求出的可取值及对应概率，即可得分布列，再由期望的计算公式，即可求解.所以随机变量的可取值为0，1，2，3所以随机变量的分布列为：0123X01Pb【答案】C【分析】根据分布列求解b的值，然后根据分布列计算随机变量的均值和方差，结合二次函数性质即可求解.故选：C.【变式22】（2025·湖南·一模）某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为．故答案为：【变式23】（2025·四川成都·一模）以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由6道正误判断题组成，每位选手从中随机抽取3道，若能全部回答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其中的4道题.(1)设表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量的分布列和方差；(2)假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为.若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率.【答案】(1)分布列见解析，(2)【分析】（1）先确定的可能取值，然后针对不同的取值求出对应的概率，进而可列出的分布列，从而求得期望和方差..（2）根据条件概率和全概率公式可求得他通过预赛的概率.所以的分布列为123题型3：均值与方差中的决策问题(1)现有某个多选题，小明完全不会，他有两种策略，策略一：在A、B、C、D四个选项中任选一个选项；策略二：在A、B、C、D四个选项中任选两个选项，求小明分别采取这两个策略时小明得分的期望；(2)小明应选择策略一【分析】分两种情况设小明分别采用策略一和策略二的得分情况，在计算相应的概率再求相应的期望；（2）根据条件，分别求出三种情况的分布列，进而求出期望，再根据的值进行讨论，从而得到结论【详解】（1）设小明分别采用策略一和策略二的得分分别为，，（2）设小明选择策略一和策略二的得分分别为，∴小明应选择策略一【例32】（2025·陕西安康·模拟预测）目前，我国正在开展新一轮大规模设备更新和消费品以旧换新，加强回收循环利用能力建设是“两新”政策部署的重要内容.某校为了加快学生对这方面知识的了解，组织了知识问答活动，有“拯救海洋”类和“回收报废电力设备”类问题，每位参加活动的同学随机选择一类问题进行回答，若回答错误，则活动结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，活动结束.“拯救海洋”类问题回答正确，每题得10分，“回收报废电力设备”类问题回答正确，每题得20分，答错均不得分.若某同学参加了此次活动，该同学回答“拯救海洋”类问题时正确的概率为0.6，回答“回收报废电力设备”类问题时正确的概率为0.5，且第一题答题正确的情况下，第二题答题正确的概率会增大0.1.(1)若该同学先回答“拯救海洋”类问题，记为该同学的累计得分，求的分布列；(2)为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答哪类问题？【答案】(1)答案见解析(2)同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题.【分析】（1）求出的可能值及对应的概率，列出分布列.【详解】（1）依题意，的可能取值为，，，所以的分布列为010300.40.240.36当该同学先回答“回收报废电力设备”类问题时，记为该同学的累计得分，则的可能取值为，，，所以为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题.【例33】（2025·山西·一模）新高考数学试卷中共3道多选题，每题满分为6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分（如果有两个选项符合题目要求，选对一个得3分；如果有三个选项符合题目要求，选对一个得2分；有错选或不选，得0分），某数学兴趣小组研究多选题时发现：随机事件“多项选择题中，有两个选项符合题目要求”和“多项选择题中，有三个选项符合题目要求”的概率均为．若学生解答某多选题时完全没有思路，只能通过随机选择的方式来完成作答，且选择四个选项的可能性是相同的．(1)已知某题有三个选项符合题目要求，小张通过随机选择选项的方式来完成作答，且只选一个选项作答的概率为，选两个选项作答的概率为，选三个选项作答的概率为，试求小张该题得0分的概率；(2)小王在解答完全没有思路的多选题时，有两种策略，一是“随机选择一个选项作答”，二是“随机选择两个选项作答”，试写出小王用两种策略得分的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，策略一期望：；策略二期望：（2）设用策略一得分为随机变量X，用策略二得分为随机变量Y，确定随机变量的取值，求得相应概率，进而可求解；（2）设记小王用策略一得分为随机变量X，X的取值为0，2，3；记小王用策略二得分为随机变量Y，Y的取值为0，4，6小王用策略一得分X的分布列为X023PY046P(2)若李华先回答类问题累计得分的期望大于先回答类问题累计得分的期望，求的取值范围.【答案】(1)【分析】（1）由相互独立事件的概率计算公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分别求得先回答类问题得分期望以及先回答类问题得分期望，列出不等式，然后代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题知：回答A类问题累计得分为100分的概率：（2）先回答A类问题累计得分记为变量，的值为0，40，100先回答B类问题累计得分记为变量，的值为0，60，100【变式32】（2024·全国·模拟预测）在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局．(1)求甲在第3局中获胜的概率；(2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金．【答案】(1)(2)选择停止比赛，拿到奖金的期望更高【分析】（1）由相互独立事件、互斥事件的概率计算可得答案；（2）计算出停止比赛甲拿到奖金的期望、再继续比赛一局甲拿到奖金的期望可得答案.【详解】（1）站在甲的角度，甲在第3局中获胜包含4种情况：胜胜胜，胜负胜，负胜胜，负负胜，方案二；设甲在前3局中已经胜了2局的情况下第4局获胜的事件为，前三局的情况有：再继续比赛，第4局甲获胜的概率【点睛】思路点睛：解决决策性问题的关键是比较衡量指标的大小关系，所以根据题意准确求出衡量指标是根本，其基本的解题步骤如下：（1）准确定位，即确定事件的性质，这是准确建立模型、求解概率的基础；（2）建立目标，根据概率知识求出衡量指标的目标式，如果没有特殊要求，则需要求出数学期望与方差两个方面的指标值；（3）比较大小，比较衡量指标的大小，一般采用作差法或作商法比较大小，如果没有特殊要求，则需要先比较变量取值的平均水平——数学期望，若两者相同，则进一步比较变量取值的离散集中程度——方差；（4）做出决策，根据衡量指标值的大小，做出相应的决策．(1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；(2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望；【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）根据全概率公式即可求解，（2）根据概率乘法公式求解概率，即可求解分布列和期望，【详解】（1）设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”，所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为．则的分布列为：3159①前8题答对题目的数量大于等于5，②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题，③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对，题型4：二项分布A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二项分布直接求解即可.故选：B【答案】5故答案为：5【例43】（2025·浙江杭州·三模）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．(1)若此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个的概率记为，求，；(2)该游戏在第几次停止的概率最大，请说明理由．(2)第次或第次【分析】（1）分情况列举出所有符合题意的事件，再利用条件概率公式进行求解即可；（2）设该游戏在第次停止的概率为，表示，通过作商确定的最大值.【详解】（1）记“此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个”，A． B． C． D．【答案】B故选：B【答案】5【详解】小球在下落的过程中，共10次等可能的向左或向右落下，则小球落入底部的格子号码服从二项分布，故答案为：5.【变式43】（2025·云南大理·模拟预测）在2025年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16个机器人参与表演.该人工智能机器人团队将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6.(1)若从该团队中随机抽取3个机器人调查研究，记X为成功完成转手绢动作的机器人个数，求X的分布列及数学期望；(2)若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率.【答案】(1)分布列见解析，2.4(2)【分析】（1）根据二项分布的知识求得分布列并求得数学期望.（2）根据全概率公式、条件概率公式计算求得机器人转手绢成功的概率.X的分布列为：X0123P0.0080.0960.3840.512（2）设事件A为“一个机器人转手绢成功”，事件B为“一个机器人队形变换成功”.题型5：超几何分布A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解.故选：B.【答案】可知3表示选出3个，2表示有2个供选择，总数为10，故答案为：【例53】（2025·河北·模拟预测）某校航模社团共有名学生，研究“战斗机航模”的有人，其中男生人女生人，另外人研究“无人机航模”．(1)从研究“战斗机航模”的人中任意选出人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率；(2)从航模社团中任意选出人参加航模设计大赛，设表示来自研究“无人机航模”的人数，求的数学期望．【答案】(1)【详解】（1）记事件：选出的人中至少有一个是女生，事件：选出的人都是女生，（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，所以随机变量的分布列如下表所示：①取出的最大号码服从超几何分布；②取出的黑球个数服从超几何分布；③取出2个白球的概率为；④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为A．①② B．②④ C．③④ D．①③④【答案】B【分析】根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取可判断①②；利用超几何分布求概率的方式即可判断③④【详解】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；对于②，取出的黑球个数符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，故选：B【答案】故答案为：.(1)在一次测试中输入了个语句，翻译结果有个被认可，现从这个语句中抽取个，以X表示抽取的语句中翻译结果被认可的语句个数，求的分布列和数学期望；【分析】（1）表示抽取的语句中翻译结果被认可的语句个数，则的可能取值为、、、、，再用超几何分布计算出取每个值的概率，最后写出分布列,求期望即可；（2）计算出两种情况的概率相加就是翻译结果被认可的概率，因此借助全概率公式可解出.【详解】（1）解：已知输入个语句，翻译结果有个被认可，则有个未被认可．从个语句中抽取个，表示抽取的语句中翻译结果被认可的语句个数，则的可能取值为、、、、，可得（2）解：设“输入语句词汇量超过个”为事件，则设事件表示“翻译结果被认可”，则由全概率公式知则题型6：正态分布A． B． C． D．【答案】C即正数的最小值为.故选：C【例63】（2025·安徽黄山·二模）为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表：每周体育锻炼的时间（小时）人数34811412085(1)该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）；(2)若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为，求随机变量的分布列和均值．【答案】(1)个学生；(2)分布列见解析，均值为.所以分布列如下，0123【答案】C【分析】观察图表，根据对称轴得到平均数的大小，根据形状特征得到方差的大小，得到答案.【详解】从图总可以看出乙的对称轴大于甲的对称轴，故选：C【答案】又因为某地有8000名学生参加考试，故答案为：.(1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列；(2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大．【答案】(1)分布列见解析(2)甲台机器每天生产出的零件的平均利润更大【分析】（1）需要根据独立事件概率公式计算不同故障台数的概率；（2）比较甲、乙两台机器生产零件的平均利润，要先根据正态分布的性质求出不同内径范围的概率，再计算平均利润.【详解】（1）表示一天内发生故障的机器台数，的可能取值为，，.所以的分布列为：0.720.260.02每台机器每天生产1000件零件，则甲机器每天生产出的零件的平均利润为：则乙机器每天生产出的零件的平均利润为：一、单选题A． B． C． D．【答案】D故选：D．【点睛】本题考查点到直线距离公式，考查二项分布概率公式，属于基础题.A．1.8 B．3.6 C．4.2 D．4.8【答案】B故选：B.A．180 B．185 C．190 D．195【答案】C故选：C123A． B． C． D．【答案】D故选：D．5．（2021·全国·模拟预测）2021年1月18日，国家统计局公布我国2020年GDP总量首次突破100万亿元，这是我国经济里程碑式的新飞跃.尤其第三产业增长幅度较大，现抽取6个企业，调查其第三产业产值增长量分别为0.4，0.6，1.2，1.2，1.8，2.0(单位：十万元)，若增长量超过1.5(十万元)可评为优秀企业，现从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个优秀企业的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D故选：DA． B．7 C． D．6【答案】A【分析】先求的分布列，再求的期望.【详解】由题意，的值可以为：6,7,9所以的分布列为：679故选：A【答案】A故选：A.【点睛】本题考查二项分布列，求二项分布列的期望和方差，属于中档题.【答案】D【分析】根据概率的性质和正态分布的对称性，计算得出答案.故选：D.二、多选题【答案】AB【分析】根据正态分布的定义和正态曲线的性质，利用均值与方差的计算性质逐一判断各选项即得.故选：AB.10．（2025·广东江门·模拟预测）甲参加游戏获得的积分的分布列为456780.10.30.3【答案】ABD故选：ABD11．（2025·湖南长沙·二模）下列说法中，正确的是（）【答案】ACD【分析】由二项分布的期望和方差公式可得A；利用正态分布的对称性可判断B；由独立事件的乘法公式可得C；利用残差的计算可得D.故选：ACD.三、填空题【答案】60【分析】先利用正态分布对称性求出的值，然后利用二项展开式求出常数项即可.所以和关于2对称，故答案为：60.13．（2025·天津·二模）为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是．【答案】；58【分析】由古典概型的概率公式代入计算，即可得到甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率，再由二项分布的期望公式代入计算，即可得到结果.故答案为：；【答案】【分析】根据题意求解随机变量的可能取值及对应的概率，进而计算数学期望即可.故答案为：四、解答题(1)任选1名学生，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名学生，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望.【答案】(1)0.8(2)分布列见解析，2.4【分析】（1）由独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式即可求解；【详解】（1）任选1名学生，记“该人参加过数据分析”为事件，“该人参加过新媒体运营”为事件，所以的分布列为01230.0080.0960.3840.51216．（2025·陕西汉中·一模）某不透