分式的乘除运算（教学设计）-基于湘教版八年级数学上册

分式的乘除运算（教学设计）——基于湘教版八年级数学上册一、教学内容分析

本节课在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中隶属于“数与代数”领域，核心在于发展学生的运算能力和推理能力。从知识图谱看，“分式的乘除”是分式基本性质的直接应用，也是分式四则运算的基石，它上承分数的乘除运算及整式运算，下启分式的加减、乘方及分式方程的求解，处于分式单元知识链的关键枢纽位置。其认知要求不仅在于识记与模仿（法则），更在于理解与迁移（算理），并能应用于解决简单实际问题。课标蕴含的“类比”与“转化”思想是本课展开过程与方法的主线：引导学生从熟悉的分数乘除运算出发，通过类比猜想分式的运算法则，再通过代数推理（运用分式基本性质与约分）或几何直观（如面积模型）进行验证，最终将陌生的分式除法转化为已学的分式乘法，完成知识的主动建构。这一探究过程本身，即是数学抽象、逻辑推理等核心素养的生发点。知识载体背后，更指向理性精神（对猜想进行严谨证明）、规范意识（运算步骤的书写逻辑）以及将复杂问题化归为简单问题的思维策略，这些素养价值需在任务设计中“润物无声”地渗透。

基于“以学定教”原则进行学情研判：学生已熟练掌握分数乘除运算、因式分解及分式的基本性质，这为类比猜想提供了坚实“锚点”。然而，从“数”到“式”的抽象跨越，以及运算过程中分子、分母为多项式时的符号处理与约分技巧，将是普遍存在的思维难点。部分学生可能因符号规则模糊或约分不彻底导致运算错误，也可能在将除法转化为乘法时忽略对除式进行变号（倒数）处理。因此，教学需预设动态评估点：例如，在类比猜想环节，通过快速问答“观察所猜法则，你觉得哪一步最容易出错？”；在探究验证环节，巡视小组讨论，捕捉对“为何要颠倒除式的分子分母”的本质理解情况；在初步练习环节，收集典型错例进行辨析。针对不同层次学生，策略上需分层搭建“脚手架”：对基础薄弱者，提供从具体数字到字母的过渡性例题，强化步骤拆解；对学有余力者，则可在法则应用熟练后，引导其思考运算步骤的最优化及法则的几何解释，实现思维进阶。二、教学目标

知识目标：学生能准确叙述分式乘除运算的法则，理解其与分数乘除法则的内在一致性及由“数”到“式”的推广逻辑；能清晰说明将分式除法转化为乘法的原理（乘以除式的倒数）；能依据“一化（除法转乘法）、二乘（按乘法法则计算）、三约（约分化简）、四验（检查最简形式）”的步骤，正确、规范地进行分式乘除混合运算。

能力目标：学生能够通过类比分数运算，自主提出关于分式乘除法则的合理猜想；能够运用分式的基本性质进行代数推导，验证猜想的正确性，发展逻辑推理能力；能够在实际问题情境（如工程效率、行程问题）中识别分式乘除模型，并运用法则进行求解，初步形成数学建模意识。

情感态度与价值观目标：在小组合作探究与验证猜想的过程中，学生能积极主动参与讨论，乐于分享自己的思考，同时认真倾听同伴见解，体验合作学习的价值；在解决运算问题时，养成步步有据、书写规范、结果检验的严谨数学学习习惯。

科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的类比迁移思维与化归转化思维。通过设置“回顾分数→猜想分式→验证法则”的问题链，引导学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的类比过程；通过“除法转化为乘法”的统一处理，强化将未知问题化归为已知问题的转化思想。

评价与元认知目标：引导学生运用教师提供的“运算步骤自查清单”或同学互评量表，对自身或他人的解题过程进行评价，找出步骤缺失、约分不当等常见错误；在课堂小结环节，通过绘制思维导图，反思本课知识获取的路径（如何从旧知生长出新知），并总结规避运算错误的个人策略。三、教学重点与难点

教学重点：分式乘除运算的法则及其应用。确立依据：从课标定位看，该法则是“分式”这一大概念下的核心运算规则，是后续学习分式加减、分式方程及函数等内容的运算基础，体现了代数运算的通性通法。从学业评价看，分式化简求值是中考的高频考点，常以计算题或化简求值题形式出现，分值稳定，且熟练、准确的运算能力是数学核心素养的直接体现。

教学难点：分子、分母为多项式时的符号处理与约分。预设依据：基于学情，学生从单项式过渡到多项式的因式分解与约分，认知跨度较大，容易出现分解不彻底、约分时忽略整体符号或只约部分公因式等错误。常见失分点分析表明，符号错误和约分错误是导致分式运算结果错误的两大主因。突破方向在于：强化“先分解因式、后约分”的操作程序，并通过变式练习（如分子分母含负号、含互为相反数的因式）进行针对性训练。四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：多媒体课件（含分数与分式类比图表、法则推导动画、分层练习题）、交互式白板。

1.2文本与材料：设计并印制《分式乘除运算学习任务单》（含探究记录区、分层练习区、课堂小结框架）、常见错误类型归类卡片。

2.学生准备

复习分数乘除法则、因式分解（提公因式法、公式法）及分式基本性质；准备课堂练习本。

3.环境布置

教室座位按4人异质小组排列，便于合作探究；黑板划分为“法则推导区”、“例题演示区”和“要点归纳区”。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设与问题驱动：“同学们，假设一项工程，甲队单独完成需要a天，乙队单独完成需要b天。那么甲队一天的工作效率是多少？两队的合效率呢？如果我们要计算两队合作m天完成的工作量，或者完成一半工程所需的时间，列出的式子会涉及到怎样的运算？”通过学生熟悉的工程问题，快速引出分式的乘、除运算式。

1.1核心问题提出与路径规划：“这些含有字母的式子——也就是分式，该如何进行乘法和除法计算呢？大家先别急着翻书，凭直觉猜猜看，它与我们小学学过的什么知识最像？对，分数的乘除！今天，我们就扮演一次‘数学推理家’，沿着‘回顾旧知→大胆猜想→小心验证→应用实践’的路线，一起探索分式的乘除运算奥秘。”简要勾勒学习路径，激活学生关于分数运算的已有认知图式。第二、新授环节

任务一：从分数到分式——法则的类比猜想

教师活动：首先，带领学生快速回顾分数乘除法则，并用字母进行一般化表示：(p/q)×(r/s)=(p×r)/(q×s)，(p/q)÷(r/s)=(p/q)×(s/r)=(p×s)/(q×r)。然后，出示具体分式相乘的实例，如(2x)/(3y)(5a)/(7b)，引导学生观察结构相似性。提出问题链：“请对比分数与分式的形式，它们有什么共同点？既然运算对象从具体的‘数’变成了抽象的‘式’，那么运算规则是否可以沿用？请各小组尝试将分数法则‘翻译’成分式法则。”

学生活动：独立思考并回忆分数法则，小组内交流讨论，尝试用语言或符号（用字母代表多项式）描述猜想的分式乘法和除法法则。推选代表分享本组的“猜想版”法则。

即时评价标准：1.猜想是否清晰、完整地表达了分子、分母分别运算的关系。2.在表达除法法则时，是否明确指出需要将除式的分子分母颠倒位置（即转化为乘以倒数）。3.小组讨论时，成员是否都能参与表达自己的类比思路。

形成知识、思维、方法清单：★猜想是发现的起点：通过具体例子到一般形式的类比，是数学探索的常用方法。▲保持形式一致性：从(p/q)×(r/s)到(A/B)×(C/D)，体现了数学符号的通用性与简洁美。▲“翻译”需准确：将分数法则迁移到分式，关键是理解“数”与“式”在运算地位上的等同性。

任务二：从猜想到定理——法则的代数验证

教师活动：“这个猜想很合理！但数学不能光靠猜想，我们还需要坚实的证明。想想我们如何证明分数乘法的法则？能否用类似的方法，从分式的基本意义出发进行推导？”引导学生将分式A/B看作A÷B，则(A/B)×(C/D)=(A÷B)×(C÷D)。然后提问：“根据除法与乘法的关系，以及乘法的交换结合律，我们可以如何继续推导？”教师板演关键步骤：=(A×C)÷(B×D)=(A×C)/(B×D)。对于除法法则，重点引导学生理解“除以一个分式等于乘以这个分式的倒数”是分数除法定义的直接推广。可设问：“为什么‘颠倒相乘’在分式世界里依然成立？”

学生活动：跟随教师引导，尝试口头或书写参与乘法法则的推导过程。重点思考并讨论除法转化背后的算理依据。理解“倒数”的概念从数扩展到式（分式C/D的倒数是D/C，条件是C、D不为零多项式）。

即时评价标准：1.能否在教师引导下，复述或理解利用分式意义和运算律进行推导的逻辑链条。2.对“除以一个分式等于乘以它的倒数”这一结论，是否能从定义层面（除法是乘法的逆运算）或从等式性质层面加以解释。

形成知识、思维、方法清单：★法则的确定性：分式乘法法则：(A/B)×(C/D)=(A×C)/(B×D)。分式除法法则：(A/B)÷(C/D)=(A/B)×(D/C)=(A×D)/(B×C)。★算理的理解：乘法法则源于除法意义与运算律；除法法则的本质是“转化为乘法”。▲推理的严谨性：数学结论需要逻辑证明，这是数学区别于经验科学的重要特征。

任务三：法则的初步应用与步骤归纳（单项式情形）

教师活动：出示例题1：计算(3a²b)/(4c)×(2c²)/(9ab)。提问：“直接套用法则，分子、分母分别是什么？计算后得到的结果(6a²bc²)/(36abc)是最简形式吗？怎样才能得到最简分式？”引导学生回顾“约分”步骤，强调先确定符号，再将系数与字母分别处理。然后出示例题2：计算(2x)/(5y)÷(4x²)/(15y²)。重点指导除法转乘法的书写规范：“先把‘÷’变成‘×’，同时把除式‘颠倒’过来，这个过程一定要写清楚，避免出错。”带领学生共同完成计算。

学生活动：在任务单上尝试完成例题计算。与同桌相互检查第一步（除法转化）是否正确，约分是否彻底。总结在系数、相同字母约分时的注意事项。

即时评价标准：1.运算过程书写是否规范（特别是除法转化步骤）。2.约分是否准确、彻底，结果是否为最简分式。3.结果的符号处理是否正确。

形成知识、思维、方法清单：★运算基本步骤：除法先转化；乘法直接乘；结果需约简。▲约分技巧：系数约最大公约数；同底数幂指数相减；单项式约分是“整体约”。易错点预警：除法运算中，忘记对除式取倒数是最常见的起步错误。

任务四：从单项式到多项式——因式分解的介入

教师活动：提升复杂度，出示例题3：计算(x²4)/(x²4x+4)×(x2)/(x+2)。“同学们，现在分子分母变成了多项式，还能直接相乘然后约分吗？感觉有点复杂。有什么办法能让我们看得更清楚、约分更方便？”引导学生回顾“因式分解”这一利器。待学生分解后，将原式改写为[(x+2)(x2)]/[(x2)²]×(x2)/(x+2)。“现在再观察，哪些部分可以约分？约分时要注意什么？（提示：是整体约去整个因式）”通过板演，清晰展示约分过程。

学生活动：观察题目特征，识别出分子分母是可分解的多项式。独立或小组合作进行因式分解（平方差公式、完全平方公式）。将分解后的形式代入原式，寻找公因式并进行约分。体会“先分解，后约分”带来的简化优势。

即时评价标准：1.能否准确判断并对多项式进行因式分解。2.约分时，是否能将分子分母中的多项式因式视为一个整体进行处理。3.最终结果是否化为最简分式或整式。

形成知识、思维、方法清单：★关键步骤前置：当分子分母是多项式时，先因式分解，再约分。★整体观念：约分约去的是公共的“因式”，而不是单独的项。易错点预警：分解不彻底会导致约分不净；忽视符号，例如(2x)与(x2)是互为相反数，约分需提负号。

任务五：综合与归纳——运算步骤的系统化

教师活动：呈现一道稍综合的乘除混合运算题。带领学生一步一步分析：“第一步，我们看什么？（运算类型：有除有乘）第二步，做什么？（将除法统一转化为乘法）第三步，关键一步是什么？（检查每个分式的分子分母，如果是多项式，立即进行因式分解）第四步，才是相乘与约分。”将这一流程板书为“一化、二看、三算、四约”的口诀。组织学生用此流程重新审视前面做过的例题，加深理解。

学生活动：跟随教师讲解，在任务单上记录运算通用步骤口诀。运用这个步骤，尝试独立或合作解决一道综合练习题。互相讲解解题步骤，强化程序性记忆。

即时评价标准：1.能否按步骤有序地分析、处理综合运算题。2.在合作讲解中，语言表述是否清晰，逻辑是否与步骤吻合。3.面对复杂式子时，是否表现出耐心和按步骤操作的稳定性。

形成知识、思维、方法清单：★程序化操作指南：一化（除法化乘法）、二看（看分子分母，多项式必分解）、三算（按乘法法则计算分子乘分子，分母乘分母）、四约（约去所有公因式，化为最简）。▲方法提炼的价值：将解决一类问题的过程标准化、流程化，是提高解题效率和正确率的有效策略。第三、当堂巩固训练

分层设计：

1.基础层（全员过关）：直接应用法则的单项式乘除计算，如(6m²n)/(5pq)÷(9mn³)/(10p²q)。目标：巩固法则记忆和基本约分技能。“请大家先独立完成，完成后同桌交换，对照步骤口诀互相检查。”

2.综合层（多数挑战）：涉及多项式因式分解的乘除运算，如(a²9)/(a²5a+6)÷(a+3)/(a2)。目标：熟练“先分解后约分”的综合操作。“这一层题目需要大家亮出‘因式分解’这把宝剑了，仔细看，稳着算。”

3.挑战层（学有余力）：①含有多项式与符号变化的运算，如(xy)/(x+y)×(x²y²)/(yx)²。②简单的实际情境问题，如“已知轮船在静水中的速度为vkm/h，水流速度为akm/h(v>a)，则顺流航行Skm所需时间是逆流航行相同路程所需时间的多少倍？（用分式表示并化简）”。目标：提升思维灵活性和建模能力。“挑战题有点难度，小组可以一起攻关，看看谁能发现题目中隐藏的‘陷阱’或‘巧算’点。”

反馈机制：学生完成基础层练习后，通过投影展示23份不同解答（含典型正确解法和一种常见错误），组织学生进行同伴互评，依据步骤口诀指出优点或错误。教师对综合层和挑战层的共性问题进行集中讲评，重点剖析因式分解的识别和符号处理策略。第四、课堂小结

“同学们，请闭上眼睛回顾一下，今天我们探索的路线是怎样的？从哪儿出发，经过了哪些关键站点，最后抵达了哪里？”引导学生自主进行知识整合：鼓励他们用思维导图或关键词的形式，在黑板上或任务单上梳理“分数类比→猜想法则→验证法则→应用步骤（含单项式、多项式）”。方法提炼：提问“本节课，我们用了哪些重要的数学思想方法来获得新知？（类比、转化）在解决问题时，我们又总结出了一套怎样的‘组合拳’？（一化二看三算四约）”。作业布置与延伸：公布分层作业（见第六部分），并建立联系：“今天我们学会了分式的‘乘’和‘除’，那么如果‘乘’和‘除’再加上‘加’和‘减’，混合在一起又该如何处理呢？这将是下节课我们要挑战的新任务，大家可以先试着想想。”六、作业设计

基础性作业（必做）：

1.教材课后练习中，直接运用分式乘除法则的计算题5道。

2.完成《学习任务单》上“步骤再现”部分，用自己的话完整复述分式乘除运算的步骤，并各举一例说明。

拓展性作业（建议完成）：

1.解决一个实际背景的分式乘除应用题，如已知长方形的面积和一边长（用分式表示），求另一边长。

2.给定几个分式，如(x²1)/(x2),(x+1)/(x²4)，(2x)/(x+1)，从中任选两个构造一个乘法算式和一个除法算式，并计算结果。

探究性/创造性作业（选做）：

1.小论文/思维拓展：“试从几何图形面积的角度，解释分式乘法法则(a/b)×(c/d)=(ac)/(bd)的合理性。（提示：考虑一个长为a/b，宽为c/d的长方形）”

2.错题诊所：收集或自己编写3道在分式乘除运算中容易出错的题目，分析错误原因，并给出正确解答和“避坑”指南。七、本节知识清单及拓展

★1.分式乘法法则：(A/B)×(C/D)=(A×C)/(B×D)。教学提示：强调A,B,C,D可以代表单项式或多项式，但B,D,(C/D中的D)不为零。

★2.分式除法法则：(A/B)÷(C/D)=(A/B)×(D/C)=(A×D)/(B×C)。教学提示：核心在于“除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数”。倒数关系成立的前提是该分式值不为零。

★3.运算通用步骤口诀（“一化二看三算四约”）：一化：将除法运算统一转化为乘法运算；二看：观察各分式的分子与分母，若是多项式，先进行因式分解；三算：运用乘法法则，计算所有分子之积作为积的分子，所有分母之积作为积的分母；四约：将所得分式的分子与分母约去所有公因式，化为最简分式或整式。

▲4.类比思想的应用：本节知识探索的起点是将分式与分数进行类比。这是一种重要的数学发现方法，体现了数学知识体系的连贯性与扩展性。

▲5.化归（转化）思想的应用：将分式除法转化为分式乘法，将复杂问题（多项式运算）通过因式分解转化为简单问题（约去公因式），都是化归思想的体现。

★6.因式分解的关键作用：当分式的分子或分母为多项式时，因式分解是进行有效约分、简化运算的必不可少的前置步骤。常见工具：提公因式法、平方差公式、完全平方公式。

★7.“整体”观念在约分中的体现：约分约去的是分子和分母中相同的因式（整体），而不是单独的项。例如，(x(x+y))/(y(x+y))中可约去整体因式(x+y)。

★8.符号处理规则：运算结果本身的符号由分子分母的符号共同决定。在约分过程中，若遇到互为相反数的因式，如(ab)与(ba)，可通过提取负号(ba)=(ab)的方式进行约分。

★9.最简分式标准：运算最终结果应化为最简分式（分子分母没有公因式）或整式。

▲10.隐含条件（分母不为零）：所有运算均在分式有意义（即各分母均不为零）的前提下进行。在解决含字母的化简求值问题时，要特别注意所取值应使原分式及过程巾所有分式都有意义。

▲11.与分数运算的异同：运算规则形式完全相同。主要差异在于对象：分数是具体数字，分式是含有字母的代数式，因而更具一般性，且需要考虑字母的取值范围。

▲12.常见的运算错误类型：(1)除法未转化直接计算；(2)忽略多项式因式分解；(3)约分时不是约去整个因式；(4)符号处理错误，特别是涉及相反数因式时。八、教学反思

（一）目标达成度证据分析

本节课预设的知识与技能目标基本达成。从“当堂巩固训练”的完成情况看，约85%的学生能独立正确完成基础层练习，约60%能较好完成综合层练习，表明多数学生对运算法则和基本步骤掌握了。挑战层约有20%的学生给出了正确或部分正确的解答，体现了思维的差异性。能力目标方面，“任务二”中小组对法则验证的讨论表现显示，学生能跟上代数推导的思路，但自主提出严谨证明的能力仍显不足，这符合八年级学生的认知水平。情感与习惯目标在小组合作和板演互评环节有所体现，学生能认真检查同伴的步骤，但书写规范的全面落实还需长期坚持。

（二）核心教学环节有效性评估

1.导入与猜想环节：工程问题情境有效地将生活与数学联结，提出的问题迅速聚焦到本节课核心。“猜猜看”的指令激发了学生的好奇心，类比迁移自然发生，效果良好。我在想，如果时间允许，是否可以让更多小组展示他们“翻译”出的不同表述形式，更能体现思维的发散性？

2.验证与归纳环节：“任务二”的代数验证是难点也是亮点。虽然部分学生感觉有些抽象，但通过教师引导下的板演和追问“为什么”，大多数学生眼中流露出的是理解而非困惑。这启示我，关键算理的讲解必须慢、必须透。“任务五”归纳的“八字口诀”深受学生欢迎，它将零散的操作整合成可循的路径，降低了学生的认知负荷，在巩固练习中看到学生边做边默念口诀，说明其支架作用显著。

3.分层练习与反馈环节：分层设计照顾了不同层次学生的需求，挑战题中的实际问题让部分学生兴奋：“原来这个公式可以这样用！”同伴互评时暴露出的典型错误（如除法未转化）成为了宝贵的生成性资源。但反思此环节，对个别在基础层仍存在困难的学生关注还不够，他们可能需要更个性化的指导，例如提供步骤填空式的辅助练习单。

（三）对不同层次学生的深度剖析

对于学优生，他们不仅能快速掌握法则，还能敏锐地指出口诀中“二看”（因式分解）是决定运算效率的关键，并能在挑战题中尝试不同解法。下一步可引导他们探究更灵活的化简技巧或思考法则的几何意义。对于中等生，他们能较好地跟随教学节奏，完成基础与综合练习，但在面对复杂多项式分解或符号变化时仍会犹豫。他们最需要的是规范化、重复性的变式训练，以固化程序、提升熟练度与信心。对于学困生，观察发现，他们的主要障碍可能并非本节课新知，而是因式分解这一前置技能的薄弱，导致在“二看”环节卡壳。这提醒我，后续辅导需“回溯补强”，否则他们将在分式运算中持续受阻。

（四）教学策略得失与理论归因

得：①贯穿始终