高考数学创新教师用书第七章第42讲基本不等式及其应用

第42讲基本不等式及其应用考试要求1.基本不等式的证明过程(A级要求)；2.利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(C级要求).应关注利用基本不等式把等式转化为不等式，然后研究最值问题.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)当a≥0，b≥0时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).()(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的条件是相同的.()(3)函数y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()(4)函数f(x)＝sinx＋eq\f(4,sinx)的最小值为2.()(5)x＞0且y＞0是eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2的充要条件.()解析(2)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的条件是a≥0，b≥0.(3)函数y＝x＋eq\f(1,x)值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)函数f(x)＝sinx＋eq\f(4,sinx)的最小值为－5.(5)x>0且y>0是eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2的充分条件.答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×2.(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________.解析∵x>0，y>0，∴eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)，即xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.答案813.(教材改编)若0<x<1，则eq\r(x（3－2x）)的取值范围是________.解析由0<x<1知3－2x>0，故eq\r(x（3－2x）)＝eq\f(1,\r(2))·eq\r(2x（3－2x）)≤eq\f(1,\r(2))·eq\f(2x＋（3－2x）,2)＝eq\f(3\r(2),4)，当且仅当x＝eq\f(3,4)时，上式等号成立.∴0<eq\r(x（3－2x）)≤eq\f(3\r(2),4).答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3\r(2),4)))4.(必修5P106习题16改编)已知正数x，y满足x＋2y＝1，那么eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为____________.解析因为x>0，y>0，x＋2y＝1，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))(x＋2y)＝1＋2＋eq\f(2y,x)＋eq\f(x,y)≥3＋2eq\r(\f(2y,x)·\f(x,y))＝3＋2eq\r(2)，当且仅当x2＝2y2时取得最小值3＋2eq\r(2).答案3＋2eq\r(2)5.(教材改编)①若x∈(0，π)，则sinx＋eq\f(1,sinx)≥2；②若a，b∈(0，＋∞)，则lga＋lgb≥2eq\r(lga·lgb)；③若x∈R，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≥4.其中正确结论的序号是________.解析①因为x∈(0，π)，所以sinx∈(0，1]，所以①成立；②只有在lga>0，lgb>0，即a>1，b>1时才成立；③eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))＝|x|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)))≥2eq\r(\a\vs4\al(|x|·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)))))＝4，当且仅当x＝±2时“＝”成立.答案①③知识梳理1.基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)适用于求含两个代数式的最值.2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号).(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，(a，b∈R).(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R).(以上不等式要根据条件合理选择其中之一)以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3.算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等.4.利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq\r(p)(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq\f(p2,4)(简记：和定积最大).考点一利用基本不等式求最值(多维探究)命题角度1配凑法求最值【例1－1】(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________.(2)已知x<eq\f(5,4)，则f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为________.(3)函数y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值为________.解析(1)x(4－3x)＝eq\f(1,3)·(3x)(4－3x)≤eq\f(1,3)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x＋（4－3x）,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,3)，当且仅当3x＝4－3x，即x＝eq\f(2,3)时，取等号.(2)因为x<eq\f(5,4)，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－(5－4x＋eq\f(1,5－4x))＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1时，等号成立.故f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为1.(3)由于x>1，故y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(（x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3,x－1)＝eq\f(（x－1）2＋2（x－1）＋3,x－1)＝(x－1)＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(3)＋2.当且仅当x－1＝eq\f(3,x－1)，即x＝eq\r(3)＋1时，等号成立.答案(1)eq\f(2,3)(2)1(3)2eq\r(3)＋2命题角度2常数代换或消元法求最值【例1－2】(1)(2018·盐城模拟)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为________.(2)(一题多解)(2018·南京模拟)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.(3)(2017·苏州期末)已知ab＝eq\f(1,4)，a，b∈(0，1)，那么eq\f(1,1－a)＋eq\f(2,1－b)的最小值为________.解析(1)由x＋2y－xy＝0，得eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，且x>0，y>0.∴x＋2y＝(x＋2y)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)＋4≥4＋4＝8.当且仅当eq\f(4y,x)＝eq\f(y,x)，即x＝4，y＝2时等号成立.(2)法一(消元法)由已知得x＝eq\f(9－3y,1＋y).因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，所以x＋3y＝eq\f(9－3y,1＋y)＋3y＝eq\f(12,1＋y)＋3(y＋1)－6≥2eq\r(\f(12,1＋y)·3（y＋1）)－6＝6，当且仅当eq\f(12,1＋y)＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.法二∵x＞0，y＞0，9－(x＋3y)＝xy＝eq\f(1,3)x·(3y)≤eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3y,2)))eq\s\up12(2)，当且仅当x＝3y时等号成立.设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.(3)因为b＝eq\f(1,4a)，a∈(0，1)，所以eq\f(1,1－a)＋eq\f(2,1－b)＝eq\f(1,1－a)＋eq\f(2,1－\f(1,4a))＝eq\f(1,1－a)＋eq\f(2,4a－1)＋2＝eq\f(2a＋1,－4a2＋5a－1)＋2.令2a＋1＝t，则a＝eq\f(t－1,2)，原式＝eq\f(t,－t2＋\f(9t,2)－\f(9,2))＋2＝eq\f(1,\f(9,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(9,2t))))＋2≥eq\f(1,\f(9,2)－2\r(t·\f(9,2t)))＋2＝4＋eq\f(4\r(2),3)，当且仅当t＝eq\f(3\r(2),2)，即a＝eq\f(3\r(2)－2,4)∈(0，1)时取等号，故原式的最小值为4＋eq\f(4\r(2),3).答案(1)8(2)6(3)4＋eq\f(4\r(2),3)规律方法(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.【训练1】(1)(一题多解)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________.(2)设a＋b＝2，b>0，则eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)取最小值时，a的值为________.解析(1)法一由x＋3y＝5xy及x，y均为正数可得eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x)＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5y)＋\f(3,5x)))＝eq\f(9,5)＋eq\f(4,5)＋eq\f(3x,5y)＋eq\f(12y,5x)≥eq\f(13,5)＋eq\f(12,5)＝5.(当且仅当eq\f(3x,5y)＝eq\f(12y,5x)，即x＝1，y＝eq\f(1,2)时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.法二由x＋3y＝5xy，得x＝eq\f(3y,5y－1)，∵x>0，y>0，∴y>eq\f(1,5)，∴3x＋4y＝eq\f(9y,5y－1)＋4y＝eq\f(13\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,5)))＋\f(9,5)＋\f(4,5)－4y,5y－1)＋4y＝eq\f(13,5)＋eq\f(9,5)·eq\f(\f(1,5),y－\f(1,5))＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,5)))≥eq\f(13,5)＋2eq\r(\f(36,25))＝5，当且仅当y＝eq\f(1,2)时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.(2)∵a＋b＝2，b>0，∴eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(2,4|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(a＋b,4|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(a,4|a|)＋eq\f(b,4|a|)＋eq\f(|a|,b)≥eq\f(a,4|a|)＋2eq\r(\f(b,4|a|)×\f(|a|,b))＝eq\f(a,4|a|)＋1，当且仅当eq\f(b,4|a|)＝eq\f(|a|,b)时等号成立.又a＋b＝2，b>0，∴当b＝－2a，a＝－2时，eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)取得最小值.答案(1)5(2)－2考点二基本不等式的综合应用【例2】(1)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则eq\f(lgz,4lgx)＋eq\f(lgz,lgy)的最小值为________.(2)设正四面体ABCD的棱长为eq\r(6)，P是棱AB上的任意一点(不与点A，B重合)，且点P到平面ACD，平面BCD的距离分别为x，y，则eq\f(3,x)＋eq\f(1,y)的最小值是________.解析(1)由题意得z2＝xy，lgx>0，lgy>0，∴eq\f(lgz,4lgx)＋eq\f(lgz,lgy)＝eq\f(\f(1,2)（lgx＋lgy）,4lgx)＋eq\f(\f(1,2)（lgx＋lgy）,lgy)＝eq\f(1,8)＋eq\f(lgy,8lgx)＋eq\f(1,2)＋eq\f(lgx,2lgy)＝eq\f(5,8)＋eq\f(lgy,8lgx)＋eq\f(lgx,2lgy)≥eq\f(5,8)＋2eq\r(\f(1,16))＝eq\f(9,8)，当且仅当eq\f(lgy,8lgx)＝eq\f(lgx,2lgy)，即lgy＝2lgx，即y＝x2时取等号.(2)过点A作AO⊥平面BCD于点O，则O为△BCD的重心，所以OB＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(6)＝eq\r(2)，所以AO＝eq\r(（\r(6)）2－（\r(2)）2)＝2.又VP－BCD＋VP－ACD＝VA－BCD，所以eq\f(1,3)S△BCD·y＋eq\f(1,3)S△ACD·x＝eq\f(1,3)S△BCD·2，即x＋y＝2.所以eq\f(3,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)＋\f(1,y)))(x＋y)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(x,y)＋\f(3y,x)))≥2＋eq\r(3)，当且仅当x＝3－eq\r(3)，y＝eq\r(3)－1时取等号.答案(1)eq\f(9,8)(2)2＋eq\r(3)规律方法(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】(1)(2018·泰州模拟)已知a>b>1且2logab＋3logba＝7，则a＋eq\f(1,b2－1)的最小值为________.(2)(2018·苏、锡、常、镇四市调研)若实数x，y满足xy>0，则eq\f(x,x＋y)＋eq\f(2y,x＋2y)的最大值为________.解析(1)因为2logab＋3logba＝7，所以2(logab)2－7logab＋3＝0，解得logab＝eq\f(1,2)或logab＝3，因为a>b>1，所以logab∈(0，1)，故logab＝eq\f(1,2)，从而b＝eq\r(a)，因此a＋eq\f(1,b2－1)＝a＋eq\f(1,a－1)＝(a－1)＋eq\f(1,a－1)＋1≥3，当且仅当a＝2时等号成立.(2)因为xy>0，所以eq\f(x,x＋y)＋eq\f(2y,x＋2y)＝eq\f(x（x＋2y）＋2y（x＋y）,（x＋y）（x＋2y）)＝eq\f(x2＋4xy＋2y2,x2＋3xy＋2y2)＝1＋eq\f(xy,x2＋3xy＋2y2)＝1＋eq\f(1,\f(x,y)＋3＋\f(2y,x))≤1＋eq\f(1,3＋2\r(2))＝4－2eq\r(2)，当且仅当eq\f(x,y)＝eq\f(2y,x)，即x2＝2y2时取等号.答案(1)3(2)4－2eq\r(2)考点三利用基本不等式解决恒成立及实际应用问题【例3－1】若不等式x＋2eq\r(xy)≤a(x＋y)对任意的实数x，y∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的最小值为________.解析由题意得a≥eq\f(x＋2\r(xy),x＋y)＝eq\f(1＋2\r(\f(y,x)),1＋\f(y,x))恒成立.令t＝eq\r(\f(y,x))(t>0)，则a≥eq\f(1＋2t,1＋t2)，再令1＋2t＝u(u>1)，则t＝eq\f(u－1,2)，故a≥eq\f(u,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(u－1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(4,u＋\f(5,u)－2).因为u＋eq\f(5,u)≥2eq\r(5)(当且仅当u＝eq\r(5)时等号成立)，故u＋eq\f(5,u)－2≥2eq\r(5)－2，从而0<eq\f(4,u＋\f(5,u)－2)≤eq\f(4,2\r(5)－2)＝eq\f(\r(5)＋1,2)，故a≥eq\f(\r(5)＋1,2)，即amin＝eq\f(\r(5)＋1,2).答案eq\f(\r(5)＋1,2)【例3－2】(1)已知a>0，b>0，若不等式eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,a＋3b)恒成立，则m的最大值为________.(2)已知函数f(x)＝eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________.解析(1)由eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,a＋3b)，得m≤(a＋3b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(9b,a)＋eq\f(a,b)＋6.又a>0，b>0，所以eq\f(9b,a)＋eq\f(a,b)＋6≥2eq\r(9)＋6＝12(当且仅当eq\f(9b,a)＝eq\f(a,b)时等号成立)，∴m≤12，∴m的最大值为12.(2)对任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)≥3恒成立，即知a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x)))＋3.设g(x)＝x＋eq\f(8,x)，x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝eq\f(17,3).∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝eq\f(17,3)，∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x)))＋3≤－eq\f(8,3)，∴a≥－eq\f(8,3)，故a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞)).答案(1)12(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞))规律方法(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.【训练3】(2018·苏北四市联考)如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4m，最低点B离地面2m，观察者从距离墙x(x>1)m，离地面高a(1≤a≤2)m的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝(1)若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？(2)若tanθ＝eq\f(1,2)，当a变化时，求x的取值范围.解(1)当a＝1.5时，过C作AB的垂线，垂足为D，则BD＝0.5，且θ＝∠ACD－∠BCD，由已知观察者离墙xm，且x>1，则tan∠BCD＝eq\f(0.5,x)，tan∠ACD＝eq\f(2.5,x)，所以tanθ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝eq\f(\f(2.5,x)－\f(0.5,x),1＋\f(2.5×0.5,x2))＝eq\f(\f(2,x),1＋\f(1.25,x2))＝eq\f(2,x＋\f(1.25,x))≤eq\f(2,2\r(\f(5,4)))＝eq\f(2\r(5),5)，当且仅当x＝eq\f(\r(5),2)>1时取等号.又tanθ在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以当观察者离墙eq\f(\r(5),2)m时，视角θ最大.(2)由题意得tan∠BCD＝eq\f(2－a,x)，tan∠ACD＝eq\f(4－a,x)，又tanθ＝eq\f(1,2)，所以tanθ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝eq\f(2x,x2＋（a－2）·（a－4）)＝eq\f(1,2)，所以a2－6a＋8＝－x2＋4x当1≤a≤2时，0≤a2－6a＋8≤3所以0≤－x2＋4x≤3，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x≤0，,x2－4x＋3≥0，))解得0≤x≤1或3≤x≤4，因为x>1，所以3≤x≤4.所以x的取值范围是[3，4].一、必做题1.(教材改编)已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的序号是________.①a2＋b2>2ab；②a＋b≥2eq\r(ab)；③eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))；④eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2.解析因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，所以①错误；对于④，因为ab>0，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.对于②，③，当a<0，b<0时，明显错误.答案④2.(教材改编)用长为16cm的铁丝围成一个矩形，则所围成的矩形的最大面积是________cm2解析设矩形长为xcm(0<x<8)，则宽为(8－x)cm，面积S＝x(8－x).由于x>0，8－x>0，可得S≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋8－x,2)))eq\s\up12(2)＝16，当且仅当x＝8－x，即x＝4时，Smax＝16.所以矩形的最大面积是16cm2.答案163.当x>0时，函数f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)有最________值，为________.解析由于x>0，所以f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)＝eq\f(2,x＋\f(1,x))≤eq\f(2,2)＝1，当且仅当x＝1时取等号.答案大14.(2018·盐城模拟)函数y＝eq\f(x2＋2,\r(x2＋1))的最小值为________.解析y＝eq\f(x2＋1＋1,\r(x2＋1))＝eq\r(x2＋1)＋eq\f(1,\r(x2＋1))≥2，当且仅当eq\r(x2＋1)＝eq\f(1,\r(x2＋1))，即x＝0时，y取到最小值2.答案25.某民营企业的一种电子产品，2015年的年产量在2014年基础上增长率为a；2016年计划在2015年的基础上增长率为b(a，b＞0)，若这两年的平均增长率为q，则q与eq\f(a＋b,2)的大小关系是________.解析设2014年的年产量为1，则2016年的年产量为(1＋a)(1＋b)，∴(1＋q)2＝(1＋a)(1＋b)，∴1＋q＝eq\r(（1＋a）（1＋b）)≤eq\f(1＋a＋1＋b,2)＝1＋eq\f(a＋b,2)，∴q≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，取“＝”.答案q≤eq\f(a＋b,2)6.(2017·天津卷)若a，b∈R，ab>0，则eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为________.解析eq\f(a4＋4b4＋1,ab)≥eq\f(4a2b2＋1,ab)＝4ab＋eq\f(1,ab)≥2eq\r(4ab·\f(1,ab))＝4(前一个等号成立条件是a2＝2b2，后一个等号成立的条件是ab＝eq\f(1,2)，两个等号可以同时取得，则当且仅当a2＝eq\f(\r(2),2)，b2＝eq\f(\r(2),4)时取等号).答案47.设f(x)＝x2＋x＋1，g(x)＝x2＋1，则eq\f(f（x）,g（x）)的取值范围是________.解析eq\f(f（x）,g（x）)＝eq\f(x2＋x＋1,x2＋1)＝1＋eq\f(x,x2＋1)，当x＝0时，eq\f(f（x）,g（x）)＝1；当x>0时，eq\f(f（x）,g（x）)＝1＋eq\f(1,x＋\f(1,x))≤1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)；当x<0时，x＋eq\f(1,x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－x）＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))))≤－2，则eq\f(f（x）,g（x）)＝1＋eq\f(1,x＋\f(1,x))≥1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).∴eq\f(f（x）,g（x）)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))8.(2017·吉林九校第二次联考)若正数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，则eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)的最小值是________.解析∵正数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴b＝eq\f(a,a－1)>0，解得a>1.同理可得b>1，∴eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)＝eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,\f(a,a－1)－1)＝eq\f(1,a－1)＋9(a－1)≥2eq\r(\f(1,a－1)·9（a－1）)＝6，当且仅当eq\f(1,a－1)＝9(a－1)，即a＝eq\f(4,3)时等号成立，∴最小值为6.答案69.(2018·扬州一模)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq\f(xy,z)取得最大值时，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值为________.解析由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*)则eq\f(xy,z)＝eq\f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq\f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)＝eq\f(1,y)＋eq\f(1,y)－eq\f(1,y2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))eq\s\up12(2)＋1≤1.答案110.已知函数f(x)＝eq\f(x2＋3,x－a)(x≠a，a为非零常数).(1)解不等式f(x)<x；(2)设x>a时，f(x)有最小值为6，求a的值.解(1)f(x)<x，即eq\f(x2＋3,x－a)<x，整理为(ax＋3)(x－a)<0.当a>0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,a)))(x－a)<0，∴解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(3,a)<x<a))))；当a<0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,a)))(x－a)>0，解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x>－\f(3,a)，或x<a)))).(2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t>0).∴f(t)＝eq\f(t2＋2at＋a2＋3,t)＝t＋eq\f(a2＋3,t)＋2a≥2eq\r(t·\f(a2＋3,t))＋2a＝2eq\r(a2＋3)＋2a.当且仅当t＝eq\f(a2＋3,t)，即t＝eq\r(a2＋3)时，等号成立，即f(x)有最小值2eq\r(a2＋3)＋2a.依题意有2eq\r(a2＋3)＋2a＝6，解得a＝1.二、选做题11.(一题多解)(2018·南通模拟)设实数x，y满足eq\f(x2,4)－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是________.解析法一因为eq\f(x2,4)－y2＝1，所以3x2－2xy＝eq\f(3x2－2xy,\f(x2,4)－y2)＝eq\f(3－\f(2y,x),\f(1,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))\s\up12(2))，令k＝eq\f(y,x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，则3x2－2xy＝eq\f(3－2k,\f(1,4)－k2)＝eq\f(4（3－2k）,1－4k2)，再令t＝3－2k∈(2，4)，则k＝eq\f(3－t,2)，故3x2－2xy＝eq\f(4t,－t2＋6t－8)＝eq\f(4,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(8,t)))＋6)≥eq\f(4,6－2\r(8))＝6＋4eq\r(2)，当且仅当t＝2eq\r(2)时等号成立.法二令t＝3x2－2xy，则y＝eq\