有理数的减法：从法则到素养的建构 -以六年级数学为例的教学设计

有理数的减法：从法则到素养的建构——以六年级数学为例的教学设计一、教学内容分析

本节课在《义务教育数学课程标准（2022年版）》的坐标系中，居于“数与代数”领域“数与运算”主题的核心节点。从知识技能图谱审视，学生在第一课时已掌握有理数加法法则，本课的核心任务是将“减法”这一运算整合进已建立的“有理数运算”认知框架中，其关键在于理解并应用“减法转化为加法”的法则，即“减去一个数，等于加上这个数的相反数”。这一法则不仅是解决有理数减法计算的工具，更是理解“运算的一致性”、打通加减法内在联系的枢纽，为后续学习有理数混合运算、乃至整个代数式的运算奠定了不可或缺的逻辑基础。从过程方法路径看，课标强调通过具体情境和数学探究活动，发展学生的抽象能力和模型观念。本节课应将这一思想转化为“从现实情境（如温差计算）抽象出数学问题，通过探究归纳出普适法则，再将法则应用于新情境”的完整探究循环，引导学生体验“具体—抽象—具体”的数学认知过程。从素养价值渗透而言，学习有理数减法，绝非仅记忆一条法则，其深层价值在于发展学生的符号意识与运算能力。理解“减号”在有理数体系中被赋予的“性质符号”与“运算符号”双重身份，并能灵活转化，是数学抽象思维的一次重要跃迁。同时，在探究法则的过程中，运用数轴进行直观解释与验证，有助于培养学生的几何直观与推理意识，实现数形结合思想的初步渗透。

基于“以学定教”原则，学情诊断需多维度展开。学生的已有基础是掌握了正负数概念、数轴表示及有理数加法法则，生活经验中对“相反意义量”和“温差”有直观感知，这些是构建新知的“生长点”。然而，潜在的认知障碍也显著存在：其一，从小学算术中“越减越小”的固有观念，过渡到有理数范畴内“差可能大于被减数”（如3减去5），将产生认知冲突；其二，“减法变加法”的法则本质上是运算的“转化”与“统一”，部分学生易停留在机械套用层面，对其背后的数学逻辑（借助相反数的概念）理解不深；其三，在运算中涉及多重符号化简时，容易出现符号处理错误。针对此，教学中的过程评估设计将贯穿始终：在导入环节通过设问探查学生的前概念；在新授环节通过小组讨论中的发言、板演观察学生的思维过程；在巩固环节通过分层练习即时诊断掌握程度。基于诊断，教学调适应体现差异化：对于理解较快的学生，引导其深入探究法则的几何（数轴）解释与逻辑证明，挑战复杂情境问题；对于存在困难的学生，提供温度计、数轴等直观模型作为“脚手架”，并通过“同伴互助”和教师的个别指导，帮助他们逐步跨越从具体操作到抽象概括的思维台阶。二、教学目标

知识目标：学生能准确描述有理数减法的法则，即“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，并能用数学符号语言（ab=a+(b)）进行规范表达。他们应能在理解的基础上，熟练应用该法则进行任意两个有理数的减法运算，包括整数、分数和小数，并能正确处理运算中的符号问题。

能力目标：学生能够从具体的生活或数学情境（如温差计算、数轴上点的移动）中，抽象出有理数减法问题，并选择转化为加法进行求解。在探究法则的过程中，发展归纳概括与合情推理的能力；在应用法则时，锻炼准确、灵活的计算技能与符号运算能力。

情感态度与价值观目标：通过解决“如何计算零下温度之间的温差”等实际问题，学生能感受到数学源于生活且服务于生活，增强学习数学的兴趣和应用意识。在小组合作探究中，愿意倾听他人观点，敢于表达自己的见解，体验通过集体智慧发现数学规律的成就感。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的转化与化归思想，即认识到将未知的减法问题转化为已掌握的加法问题是解决问题的关键策略。同时，通过数轴对减法法则进行几何验证，初步建立数形结合的思想方法，培养思维的严谨性与直观性。

评价与元认知目标：引导学生有意识地在计算后通过“加法验算减法”或“数轴验证”的方法进行自我检查，养成验算的良好习惯。在课堂小结时，能够反思法则探索的历程，梳理“情境—探究—归纳—应用”的学习路径，初步形成结构化知识网络。三、教学重点与难点

教学重点：本节课的教学重点是理解并掌握有理数减法法则，并能正确熟练地进行运算。确立此重点的依据源于课标要求与学科知识结构：减法则作为有理数运算体系的基本构成单元，是连接加法、构建四则混合运算逻辑链条的基石。从能力立意看，对法则的理解深度直接影响学生运算能力与转化思想的发展，是后续一切复杂运算学习的前提，故其在学业评价中亦是核心考查点。

教学难点：本节课的教学难点在于对减法法则的深刻理解及其灵活应用，特别是当减数为负数时的情形。难点成因有二：一是认知跨度大，学生需要克服“减法使结果变小”的算术思维定势，接受在有理数范围内减法可能“越减越大”这一抽象事实；二是符号处理复杂，法则应用过程中涉及被减数、减数的符号以及运算符号的多重判断，容易混淆。预设依据来自常见学情：学生在初学时，易出现如“3(5)=35”之类的典型错误，其根源在于未能真正内化“减负等于加正”的转化逻辑。突破方向在于强化从实际意义（如温差）和几何意义（数轴上点的移动方向与距离）两个方面对法则进行多重表征与验证。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式多媒体课件（包含温差情境动画、数轴动态演示）、实物温度计模型、磁性数轴贴板及可移动的点标记。1.2学习材料：分层设计的学习任务单（含探究记录表、分层练习题）、课堂小结思维导图模板。2.学生准备2.1知识预备：复习有理数的加法法则及相反数的概念。2.2学具：常规文具、草稿本。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：“同学们，上节课我们学会了有理数的‘加法’，给数的世界带来了‘汇聚’的力量。今天，我们要探索它的逆运算——‘减法’。你有没有想过，减法在引入了负数之后，会展现出怎样全新的面貌？请大家看屏幕上的一个生活小场景：某天凌晨，哈尔滨的温度是零下15摄氏度，而中午回升到了零下5摄氏度。那么，从凌晨到中午，温度上升了多少度呢？我们该如何用数学式子表示这个‘上升了多少度’的问题？”1.1建立联系与明确路径：待学生尝试列出算式（5）（15）后，教师点明：“看，这就是我们今天要攻克的新堡垒——有理数的减法。我们熟悉的有理数加法法则还能帮上忙吗？这节课，我们将像数学家一样，通过观察、类比和推理，亲自发现有理数减法的奥秘，总结出一个简洁有力的运算法则，并运用它解决更多有趣的问题。”第二、新授环节

本环节采用支架式教学，通过系列任务引导学生主动建构。任务一：回顾旧知，搭建桥梁教师活动：首先通过快速问答激活学生旧知：“（5）+（15）等于多少？它的意义是什么？”“那（5）+15呢？”接着，将导入中的温差问题具象化：“如果我们把温度计想象成一条竖直的数轴，零下15度对应点A，零下5度对应点B。从A到B，温度是上升了。在数轴上，我们如何表示‘上升’？上升的度数，其实就是两点间的……？”（引导学生说出“距离”或“差值”）。然后提问：“我们不会直接算（5）（15），但我们知道（5）+15=10。大家猜一猜，这两个算式的结果会不会有某种联系？不妨再举几个类似的例子看看。”学生活动：回忆并快速回答加法问题。观察温度计或数轴模型，直观感知“上升”对应着“向右（或向上）移动”，上升的“度数”对应“移动的距离”。在教师引导下，产生“减法或许能转化为加法”的猜想，并尝试自行举例验证，如计算（+3）（+1）与（+3）+（1），（2）（4）与（2）+（+4）等，并比较结果。即时评价标准：1.能否正确、迅速地完成有理数加法计算。2.能否将“温差”这一生活概念与数轴上的“距离”概念建立联系。3.举例验证时是否具有条理性，能否从特殊例子中发现规律迹象。形成知识、思维、方法清单：★温故知新是探究的起点：牢固的有理数加法知识和数轴模型是探究减法法则的基础。▲猜想是发现的序幕：从具体实例中观察、比较，提出“减法可能转化为加法”的猜想，是数学探究的关键第一步。教师在此处应鼓励大胆猜想，营造安全的探究氛围。任务二：探究特例，归纳规律教师活动：组织学生以前后桌4人为小组，发放探究记录表。表上预设多组有代表性的减法算式及其对应的“猜想加法算式”，如：①52与5+(2)；②(3)1与(3)+(1)；③0(4)与0+4；④(2)(5)与(2)+5。教师指令：“请各小组分工合作，分别计算出这些减法算式的结果（可以借助数轴思考实际意义），再计算出对应的加法算式结果，然后比较，看看你们的猜想是否成立？能发现什么共同规律吗？”巡视指导，重点关注学生计算减法的思维过程（是用数轴想象还是其他方法），并引导他们用语言描述发现。学生活动：小组内分工计算、记录、比较。围绕“减法算式和转化后的加法算式有什么关系”进行讨论。尝试用语言描述初步发现的规律：“减号变成加号，后面的数变成它的相反数。”部分学生可能直接用此规律计算新的减法题进行验证。即时评价标准：1.小组合作是否有序，每位成员是否都参与了计算或讨论。2.计算过程是否准确，特别是符号处理。3.归纳的结论是否基于算例，表述是否清晰（不要求一次性精确）。形成知识、思维、方法清单：★从特殊到一般的归纳：通过多个具体算例的计算与比较，归纳出共性规律，这是获得数学结论的重要方法。▲合作学习中的思维碰撞：小组讨论能让不同思维过程显性化，相互启发，完善结论。教师应捕捉学生表述中的关键词语（如“变成”、“相反数”），为下一步精准概括做准备。任务三：抽象概括，形成法则教师活动：邀请两个小组代表汇报他们的发现，并板书学生的关键描述。教师通过追问引导学生精确表达：“‘后面的数’在数学上我们称它为什么？（减数）‘变成它的相反数’这个操作，如果用字母来表示减数b，该怎么写？（b）”然后，教师整合学生语言，正式揭示法则：“大家发现得非常棒！这就是有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。”并板书字母表达式：ab=a+(b)。“现在，谁能用这个法则，把最开始那个难题（5）（15）的转化过程清楚地讲给大家听？”学生活动：聆听同伴汇报，对比、补充自己的发现。跟随教师的引导，将生活化语言转化为数学术语（减数、相反数）。齐读并识记法则的文字和符号表述。踊跃尝试应用法则口述（5）（15）的转化过程：“减去负15，等于加上正15”，并计算结果。即时评价标准：1.能否理解从实例归纳到抽象概括的升华过程。2.能否准确复述法则的文字和符号形式。3.能否应用法则进行简单的口头转化与计算。形成知识、思维、方法清单：★核心法则的两种表述：文字表述“减……等于加……的相反数”便于理解记忆；符号表述“ab=a+(b)”具有普遍性和简洁性，是代数思维的体现。两者需结合掌握。▲数学语言的精确化：引导学生将模糊的日常描述（“后面的数”）精确为数学概念（“减数”），是培养数学严谨性的重要环节。任务四：法则辨析与深化理解教师活动：提出一组辨析题，引导学生深入思考法则本质：“法则告诉我们，所有的减法都可以转化为加法。那么，这是不是意味着减法和加法完全一样，没有区别了？”（不是，这是运算的转化）。“进行转化时，哪些数变了，哪些数没变？”（运算符号变了，减数变成它的相反数，被减数不变）。接着，利用数轴进行几何验证：在黑板的磁性数轴上，演示计算“35”。先标出被减数3对应的点，提问：“减去5，在数轴上意味着从这个点向哪个方向移动几个单位长度？”（向左移动5个单位）。移动磁贴，得到终点2。再演示“3+(5)”，强调加法是“从3起点，加5即向左移5单位”，结果同样是2。“看，数轴也证明了我们的法则！”学生活动：思考并回答教师的辨析问题，明确“转化”不等同于“等同”，厘清法则操作中变与不变的要素。观察教师在数轴上的动态演示，将抽象的运算与直观的图形运动结合起来，加深对法则几何意义的理解。可以尝试在草稿纸上用数轴自行验证另一个减法算式。即时评价标准：1.能否辨析“运算转化”与“运算等同”的区别。2.能否清晰说明转化过程中被减数、减数、运算符号的状态变化。3.能否理解数轴演示所验证的法则的几何意义。形成知识、思维、方法清单：★法则的本质是“化归”：将新问题（减法）转化为已解决的问题（加法），这是重要的数学思想。▲数形结合验证法则：利用数轴这一直观模型，赋予减法运算以“点的移动”的几何解释，使抽象法则形象化，同时巩固了数轴知识，培养了几何直观素养。●易错点提醒：转化时，只改变减数的符号和其前面的运算符号，被减数不变。切勿改变被减数的符号。任务五：初步应用，规范步骤教师活动：板书两道例题：①7(3)②(2.5)(+4)。“现在，让我们正式应用法则进行计算。谁来说说，第一题，我们第一步应该做什么？”引导学生完整口述转化过程：“减3等于加+3”，然后教师板书规范步骤：原式=7+(+3)=10。强调“=”的连续使用和每一步的依据。讲解第二题时，着重展示如何处理小数和分数减数：“减4.5等于加4.5”，原式=(2.5)+(4.5)=7。“请大家注意，将减法转化为加法后，接下来的计算就是我们熟悉的有理数加法了，一定要用好加法法则。”学生活动：跟随教师讲解，观察、学习规范的解题步骤。尝试口述转化过程与计算过程。在教师示范后，独立或同桌互说完成几个类似题目的计算步骤。即时评价标准：1.能否按照“转化（变减为加，变减数为相反数）—计算（运用加法法则）”两步规范书写。2.在加法计算环节，能否正确运用加法法则处理符号和绝对值。形成知识、思维、方法清单：★运算的规范性：清晰的步骤（一转化、二计算）能有效减少错误，体现数学的条理性。▲混合数的处理：法则对整数、分数、小数同样适用，强调“相反数”概念的一致性。●书写格式建议：建议将“转化”这一步在等号后明确写出，如：(5)(15)=(5)+(+15)，再进行加法计算，过程清晰，便于检查。第三、当堂巩固训练

设计分层、变式的训练体系，并提供即时反馈。1.基础巩固层（全体必做）：完成学习任务单上的A组题。直接应用法则进行计算，如：(+9)(6)；0(3.2)；(1/2)(+1/4)。反馈机制：学生完成后，通过同桌互换批改或投影展示答案进行快速核对。教师巡视，收集共性错误。对于典型错误，如符号处理不当，可请做对的学生分享心得：“你是怎么确保符号没弄错的？”2.综合应用层（大多数学生挑战）：完成B组题。题目情境稍复杂或需要多步转化，如：“某矿井下A点的海拔为96米，B点比A点高25米，求B点的海拔。”或计算：(7)(2)(3)。反馈机制：小组内讨论解题思路，派代表讲解。教师重点讲评如何从实际问题中抽象出减法算式，以及连续减法的处理策略（从左到右依次转化为加法）。3.思维挑战层（学有余力选做）：C组题为开放探究题。如：“请你自己设计两个有理数相减的算式，使它们的差分别是：(1)一个最大的正数；(2)一个最小的负数；(3)零。你能总结出什么规律吗？”反馈机制：给予充分思考时间后，请完成的学生上台展示并解释其设计思路，激发全班深度思考。第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结与元认知反思。1.知识整合：“同学们，经过一节课的探索，我们的收获地图是怎样的呢？”引导学生以思维导图形式，从核心法则（文字、符号）、关键思想（转化、数形结合）、计算步骤、易错点等方面进行梳理。可以教师引导，学生补充关键词共同完成板书框架。2.方法提炼：“回顾一下，我们是怎样‘发现’减法法则的？（从实际问题出发—举例猜想—归纳验证—抽象概括—应用）。这种研究问题的方法，以后在遇到新的数学知识时，我们也可以尝试使用。”3.作业布置与延伸：公布分层作业（详见第六部分）。并留下一个思考题，为下节课铺垫：“我们已经把减法统一成了加法，那么有理数的加减混合运算，是不是可以全部统一成加法来进行呢？大家可以提前试一试。”六、作业设计基础性作业（必做）：1.教材对应章节的课后练习第1、2题，巩固有理数减法法则的直接应用。2.完成10道有理数减法计算题，要求写出规范的转化步骤。拓展性作业（建议完成）：3.情境应用题：查阅并记录本地今天和明天的预报最高气温与最低气温，分别计算每天的温差以及两天的最高气温差、最低气温差。4.纠错题：分析老师提供的23个含有典型错误的有理数减法计算过程，指出错误原因并改正。探究性/创造性作业（选做）：5.“小小数学家”：尝试用字母推理证明有理数减法法则ab=a+(b)的合理性（提示：可设差为x，根据减法定义有x+b=a，再运用等式的性质）。6.数学日记：以“当减法遇上负数……”为题，记录本节课学习过程中你的思考、困惑与收获。七、本节知识清单及拓展★1.有理数减法法则（核心）：减去一个数，等于加上这个数的相反数。这是全课的灵魂，它统一了加减运算。记忆时抓住“两变”：运算符号（减变加）、减数本身（变相反数）；“一不变”：被减数不变。★2.符号表达式：ab=a+(b)。其中a、b表示任意有理数。这是法则的抽象化、一般化表达，体现了数学的简洁美与普适性。●3.运算步骤规范：第一步：转化。将减法转化为加法，减数变为它的相反数。第二步：计算。按照有理数加法法则进行运算。规范书写是避免错误的关键。●4.被减数与减数的角色：在减法算式“ab”中，a是被减数，b是减数。法则应用时，只需对b（减数）进行“取反”操作，切勿错误改变a（被减数）的符号。★5.法则的几何解释（数轴）：在数轴上，点A表示被减数a，减法“ab”可以理解为：从点A出发，向表示b的点的相反方向（即b的方向）移动|b|个单位长度，终点所对应的数即为差。这为数形结合提供了范例。▲6.“相反数”的桥梁作用：减法是加法的逆运算，而“相反数”是连接这两种运算的桥梁。理解“减去一个数”等价于“加上这个数的逆元（相反数）”，触及了运算的本质。●7.结果的符号判断：无需死记硬背“大减小”的规则。转化为加法后，结果的符号由加法法则自然确定：同号相加取同号，异号相加看绝对值。▲8.减法意义的扩展：在有理数范围内，减法“ab”可以解释为“求a与b的差”，也可以解释为“求一个数x，使得x+b=a”。后者是减法的定义式，前者是运算式。●9.典型易错点：常见错误如：3(5)=35（未将减数变为相反数）、(2)4=2+4（错误改变了减数符号但运算符号未变）。克服方法是严格遵循“两变”流程。★10.化归思想：将未知的、复杂的减法问题转化为已知的、熟悉的加法问题来解决，这种“化未知为已知”的思想是数学中最基本、最重要的策略之一。▲11.与温度模型的关联：计算温差“t₁t₂”（如5℃(15)℃）是减法法则最直观的生活原型。理解“上升了多少度”就是求两个温度值的差。●12.运算律的伏笔：减法没有交换律和结合律。但统一成加法后，便可利用加法的运算律进行简便运算，这为后续学习加减混合运算的简便计算埋下伏笔。八、教学反思

（一）教学目标达成度分析本节课预设的知识与技能目标基本达成。通过课堂观察和随堂练习反馈，绝大多数学生能准确复述法则并完成基础计算。然而，在综合应用层练习中，部分学生在处理需要先列出减法算式的实际问题时稍显迟疑，表明“从情境到算式”的抽象能力仍需在后续教学中持续强化。能力目标方面，小组探究环节有效激发了学生的归纳与合情推理能力，学生从多个特例中发现规律的过程是真实发生的。情感目标在解决温差等实际问题时得到了较好落实，学生表现出了较高的兴趣。

（二）核心环节有效性评估导入环节的“温差”情境直指核心，成功引发了认知冲突。新授环节的五个任务构成了逻辑清晰的探究链条。“任务二”的小组合作探究是本节课的高光时刻，学生沉浸在“发现者”的角色中，但巡视中发现个别小组的讨论停留在表面计算，未深入比较规律。下次可考虑为不同小组提供略有差异的探究任务单，或在小组内分配更明确的角色（如记录员、发言人、验证员），以提升合作深度。“任务四”的数轴验证环节直观有力，是突破难点、深