基于数学建模素养的探究式教学设计-以“实际问题与二元一次方程组”为例（人教版·七年级下册）

基于数学建模素养的探究式教学设计——以“实际问题与二元一次方程组”为例（人教版·七年级下册）一、教学内容分析  本节内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“代数”领域，是“方程与不等式”主题下的关键节点。从知识技能图谱看，学生已掌握一元一次方程解决实际问题的基本方法，并初步学习了二元一次方程组的解法。本节课的核心任务在于实现认知跃迁：从用单一等式关系刻画问题，升级为识别并整合两个独立的等量关系，构建方程组模型，从而解决更为复杂的现实情境问题。这一过程承上启下，既是对已学方程知识的综合应用与深化，也为后续学习函数、不等式等模型奠定坚实的思维基础。在过程方法上，本节课是践行“数学建模”这一核心素养的绝佳载体。教学需引导学生亲历“实际问题→数学问题（设元、列方程组）→求解与检验→解释与应用”的完整建模过程，将课标中强调的模型思想转化为可操作的探究活动。其素养价值不仅在于培养严谨的数学运算与逻辑推理能力，更在于引导学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析复杂情境，体会数学作为一种通用语言和强大工具在解决生活、生产问题中的广泛应用价值，培育其理性精神与问题解决能力。  基于“以学定教”原则进行学情研判：学生已具备用一元一次方程解应用题的经验，但往往习惯于寻找单一等量关系，面对多变量、多条件交织的问题时，容易产生思维定势，出现“设而不列”或“关系混淆”的障碍。其兴趣点在于问题情境的现实性与挑战性，但难点在于从冗长的文字叙述中精准抽离出两个独立的等量关系，并将其准确“翻译”为数学符号语言。因此，教学调适应遵循“脚手架”原则：对于基础层学生，提供结构化的审题表格或关键词提示，降低信息提取难度；对于发展层学生，鼓励其自主分析、合作辨析等量关系；对于拓展层学生，则引导其比较不同设元策略的优劣，并尝试解释解的合理性。课堂中将通过追问、板演、小组互评等形成性评价手段，动态诊断学生在“关系识别”与“数学表达”两个关键节点的掌握情况，及时提供差异化指导。二、教学目标  知识目标：学生能理解二元一次方程组作为刻画含有两个未知数实际问题的数学模型的意义；能熟练运用“审、设、列、解、验、答”的步骤，针对具体问题合理设定未知数，并准确列出方程组；能清晰解释所列方程组中每一个方程所对应的实际等量关系。  能力目标：学生经历从复杂现实情境中提取数学信息、建立数学模型的过程，发展数学抽象与数学建模能力；在小组合作探究中，提升分析综合、数学表达及批判性审视解的结果的合理性等关键能力；能够比较一元一次方程与二元一次方程组在解决同一问题时的策略差异，体会后者在思维上的直接性与优越性。  情感态度与价值观目标：在解决贴近生活的实际问题中，感受数学的应用价值，增强学习数学的内驱力；在小组协作与交流中，养成乐于分享、认真倾听、敢于质疑的科学态度；通过成功构建并求解模型，获得运用数学工具解决复杂问题的成就感，树立学好数学的信心。  科学（学科）思维目标：重点发展模型建构思维与化归思维。通过将纷繁的实际问题化归为清晰的数学结构（方程组），体会化繁为简、化未知为已知的数学思想精髓。课堂上将通过“问题拆解—关系匹配—符号转化”的问题链，引导学生有条理地完成思维跨越。  评价与元认知目标：引导学生依据“等量关系是否独立、方程形式是否准确、单位是否一致”等量规，进行列式过程的自我监控与同伴互评；在课堂小结阶段，能够反思建模过程中的关键步骤与易错点，提炼出解决同类问题的策略性知识。三、教学重点与难点  教学重点：探究并掌握从实际问题中找出两个未知量，并根据两个独立的等量关系列出二元一次方程组的方法。确立依据在于，这是将数学模型应用于新情境的核心技能，是课标强调的“模型观念”在本节课的具体体现，也是后续学习更复杂应用问题的能力基石。从学业评价角度看，准确列出方程组是解决此类问题的逻辑起点和关键得分步骤，直接决定了后续求解的正确性。  教学难点：准确识别问题中蕴含的两个独立且有效的等量关系，并将其转化为恰当的数学方程。难点成因在于，实际问题背景多样，等量关系常隐含于文字叙述中，需要学生具备较强的信息筛选、语义转换和抽象概括能力。学生常出现的错误包括：列出的两个方程本质是同一关系的变形（不独立），或错误理解数量关系导致列式错误。突破方向是：提供典型范例进行深度剖析，运用列表、画示意图等策略辅助分析，并通过变式训练强化辨别能力。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：精心设计的多媒体课件，内含创设情境的动画/图片、递进式例题、课堂练习与反馈工具。1.2学习资料：设计分层学习任务单（含基础引导区、核心探究区与拓展挑战区）、小组合作讨论记录卡。2.学生准备2.1知识预备：复习二元一次方程组的解法；预习课本案例，初步思考列方程组的步骤。2.2物品：练习本、文具。3.环境布置3.1座位安排：课前将座位调整为46人异质小组，便于合作探究与讨论。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与冲突激发  同学们，上节课我们学会了“解”方程组，就像掌握了一把锋利的宝剑。今天，我们要学习如何“锻造”这把宝剑，用它来劈开生活中的难题。大家看这个情境（出示课件）：学校“爱心义卖”活动中，七年级1班总共卖出了35件物品。其中，文创书签和手工编织手环深受欢迎。已知书签每件盈利2元，手环每件盈利3元，当天总盈利一共是86元。现在，我想知道：书签和手环各卖出了多少件？有同学能快速口算出答案吗？（停顿，观察）好像有点困难，因为这次我们关心的未知量不是一个，而是两个——“书签的件数”和“手环的件数”。1.1唤醒旧知，提出挑战  如果只求一个量，比如总件数，我们用一元一次方程就能解决。但现在两个量都不知道，我们该怎么办呢？“能不能尝试用我们新学的二元一次方程组来‘对付’它？”这就是我们今天要攻克的核心问题：如何从这样的实际问题中，抽丝剥茧，建立二元一次方程组这个数学模型。1.2明晰路径  本节课，我们将化身“数学侦探”，一起走过“审题探案→设元定位→找关系列方程→求解验证→总结秘籍”的完整破案过程。准备好了吗？让我们开始探案！第二、新授环节任务一：解剖“义卖”案例，初建建模流程教师活动：“我们先一起把这个‘案子’破了。”首先，带领学生审题，用彩色笔在课件上标出关键数据：“总件数35”、“书签盈利2元/件”、“手环盈利3元/件”、“总盈利86元”。提问：“大家有没有发现，这个情境里，有两个量一直在变化？”引导学生明确两个未知量。接着，示范设元：“我们就设书签卖了x件，手环卖了y件。这就是我们的‘嫌疑人画像’。”然后，进入最关键步骤——寻找等量关系。提问：“题目中给了我们哪两个关键信息，可以用来构建‘等式’这个证据链？”引导学生说出“总件数”和“总盈利”。继续搭建脚手架：“那么，用x和y，谁能把‘总件数是35’这个信息‘翻译’成数学式子？”（得到x+y=35）“太棒了！那‘总盈利是86元’呢？盈利怎么计算？”引导学生分析：书签总盈利是2x，手环总盈利是3y，总和为86，故得2x+3y=86。学生活动：跟随教师引导，积极思考并回答问题。在教师标画关键词时同步标注学习任务单。尝试用语言描述两个未知量。在教师提问后，尝试独立“翻译”等量关系，并回答。将两个方程写在任务单上，初步体会列方程组的过程。即时评价标准：1.能否准确指出题目中的两个未知量。2.能否在教师引导下，将文字描述的等量关系转化为数学表达式。3.列出的两个方程是否彼此独立，是否准确反映了题意（特别是总盈利的构成）。形成知识、思维、方法清单：★1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答）。这是解决问题的标准化流程，是思维的地图。★2.审题关键：明确未知量，挖掘等量关系。这是建模的起点，要像侦探一样不放过任何线索。3.设元技巧：通常问什么设什么，用不同的字母表示不同的未知数。这是符号化表达的第一步。任务二：探究“配套”问题，辨析复杂关系教师活动：呈现新情境（课件）：“某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母。1个螺钉需要配2个螺母。要使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排多少工人生产螺钉，多少工人生产螺母？”“这个问题比刚才的‘义卖’更隐蔽了。大家先独立思考1分钟，找找看，等量关系藏在哪里？”巡视，观察学生的审题情况。请一位学生分享找到的未知量（生产螺钉、螺母的工人数）。追问：“‘刚好配套’是这个问题的核心，它隐藏着一个怎样的数量关系？谁能用自己的话说说？”引导学生理解“螺母数量是螺钉数量的2倍”。提供分析支架：“我们可以用表格来整理信息，让关系更清晰。”在黑板上画出表格，列出“人数”、“工作效率”、“总产量”等栏目，与学生共同填写关于螺钉和螺母的假设与数据。提问：“现在，谁能根据表格，分别列出表示‘总人数为22’和‘螺母产量是螺钉产量的2倍’的方程？”学生活动：独立审题，寻找未知量和等量关系。可能遇到“配套”理解困难。倾听同学分享，在教师引导下理解配套比例。学习使用表格法整理分散信息，参与填写表格。根据表格中的数据关系，尝试列出方程组。小组内交流所列方程是否正确。即时评价标准：1.能否理解“配套”含义并转化为数学倍数关系。2.能否运用列表等策略有效组织已知信息和未知信息。3.所列方程组是否准确反映了人数关系和配套关系。形成知识、思维、方法清单：★4.挖掘隐含等量关系是难点。如“配套”问题中的倍数关系、“相遇”问题中的路程关系等，需结合生活常识与逻辑推理。5.策略辅助：列表法、画线段图法。当信息多而杂时，借助工具梳理信息是高效手段。▲6.单位一致性原则。列方程时，等式两边表示的量必须相同，单位要统一，这是常被忽略的细节。任务三：对比“古今”算法，感悟模型优越教师活动：介绍《九章算术》中的经典问题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛羊各直金几何？”先让学生尝试理解古文大意。提问：“如果不用方程组，用我们小学学过的算术方法，感觉好解吗？”让学生感受算术思维的迂回。再引导：“但用我们今天学的方程组，就一目了然了。请大家设未知数，列方程组。”请一名学生板演。之后，引导学生比较算术法与代数法（方程组）的思维差异：“大家体会到了吗？列方程组更像‘直来直去’，把两个条件直接‘摆’出来，思维负担更小。这就是代数思维的威力！”学生活动：阅读古文问题，在教师帮助下理解题意。感受算术解法的困难。尝试用设未知数列方程组的方法重新审视该问题，体会其直接性。观看板演，核对己方思路。参与讨论，分享对方程组模型简化思维过程的感受。即时评价标准：1.能否将古文问题转化为现代数学问题。2.能否正确列出该问题的方程组。3.能否初步体会代数建模思想相对于算术思维在处理复杂关系时的优势。形成知识、思维、方法清单：★7.数学模型（方程组）的普适性与优越性。它将复杂关系结构化和标准化，降低了思维难度，是解决一类问题的通法。8.数学文化浸润。数学思想源远流长，古今问题虽表述不同，但数学模型本质相通。9.设元的灵活性。本题可直接设每头牛、每只羊的价值，巩固“问什么设什么”的原则。任务四：小组合作，实战演练与互评教师活动：发布小组合作任务（任务单上）：选择一个问题进行建模（A题为基础运输问题，B题为稍复杂的增长率问题）。要求：1.共同审题，明确未知量与等量关系。2.列出完整方程组（不需求解）。3.准备派代表讲解。教师巡视各组，进行差异化指导：对选择A组有困难的小组，引导其画线段图分析；对顺利完成B组的小组，挑战其思考能否用一元一次方程解，并比较优劣。期间，用手机拍摄有代表性的列式（正确与典型错误）。学生活动：小组内分工合作，讨论分析所选问题。使用任务单记录讨论过程和最终列出的方程组。组内互相检查方程是否合理。推选代表准备汇报。聆听其他小组的分享。即时评价标准：1.小组讨论是否围绕“找等量关系”这一核心有效展开。2.所列方程组是否正确，特别是等量关系是否独立、完整。3.小组代表讲解时，逻辑是否清晰，能否说清每个方程的由来。形成知识、思维、方法清单：★10.合作学习与交流的价值。在思维碰撞中辨析关系，互相纠正，深化理解。11.典型错误预警。常见错误如：忽视比例关系、单位不统一、等量关系重复或遗漏。需在互评中重点审视。▲12.一题多解与多题一归。鼓励比较不同方法，并归纳不同类型问题的共同建模本质。任务五：归纳升华，形成策略教师活动：结合学生小组汇报和拍摄的典型案例，进行精讲点拨。重点讲评一道典型错误列式，引导学生诊断“病因”（如等量关系不独立）。然后提问：“经历了这几个‘案子’，大家能否总结一下，当好‘数学侦探’，成功建立方程组模型的‘破案秘籍’是什么？”引导学生从步骤、审题关键、策略、检验等方面进行总结。最后强调：“找到两个独立的等量关系，是列对方程组的‘命门’。”学生活动：聆听教师讲评，特别是对错误的分析，对照检查自己的理解。参与全班总结，分享自己的“秘籍”。将集体归纳的要点记录在笔记本或任务单的“我的收获”区。即时评价标准：1.能否识别并解释常见列式错误的原因。2.能否用自己的语言概括出列方程组解决实际问题的关键步骤与注意事项。形成知识、思维、方法清单：★13.核心心法：两个独立等量关系。这是判断能否以及如何列出二元一次方程组的根本依据。★14.检验解的双重性。既要检验是否是方程组的解（数学检验），也要检验是否符合实际问题意义（实际检验）。15.完整答题规范。设、列、解、验、答，步骤完整，体现严谨的数学逻辑。第三、当堂巩固训练  现在，请大家根据自身情况，选择适合自己的题目进行巩固练习。基础层（必做）：1.买甲、乙两种商品，甲每件5元，乙每件3元，共花了19元。若甲买了x件，乙买了y件，可列方程组为。2.甲乙两人从相距42km的两地相向而行，甲每小时走5km，乙每小时走2km，设x小时后相遇。则甲走了____km，乙走了____km，根据“路程和”列方程为；若同时出发，根据“所用时间相等”是否可列另一个方程？（能/不能），为什么？。综合层（选做）：3.一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等。求原长方形的长和宽。（提示：可从“正方形边长相等”、“面积相等”找关系）挑战层（选做）：4.（跨学科联系）生物学中，孟德尔遗传定律涉及概率计算。简化情境：已知豌豆茎的高度由一对基因控制，高茎（T）对矮茎（t）为显性。若某杂交实验中，高茎与矮茎豌豆杂交，子代中高茎与矮茎的数量比为1:1。设亲代高茎豌豆中基因型为TT的比例为x，为Tt的比例为y（x+y=1），请尝试结合遗传图解，分析能否列出关于x，y的另一个方程来描述子代比例关系？（仅作思考，列出关系式即可）反馈机制：学生独立完成后，先小组内交换批改基础题，教师公布答案并简要点评。针对综合题，请一位学生板书并讲解思路。挑战题作为思维拓展，由教师简要分析其背景与建模思路，激发兴趣。利用课堂最后几分钟，快速统计各层次题目的完成情况，对共性疑难进行即时澄清。第四、课堂小结  “同学们，今天的‘侦探之旅’即将到站。请大家闭上眼睛，在脑海里画一幅思维导图：我们今天学到了什么？”邀请两位学生分享他们的知识结构图。教师在此基础上进行结构化总结：“核心是‘建模六步’，关键是‘抓住两个独立关系’，思想是‘化实际问题为数学方程’。有没有同学能说说，在找等量关系时，你得到的最有用的一个提示是什么？”引导学生进行方法提炼。“看来大家都收获满满。记住，数学建模是一种超级力量！”最后布置分层作业：必做作业：课本本节后练习题第2、4、5题。选做作业：（1）寻找一个生活中可用二元一次方程组解决的现象，自己编一道应用题并解答。（2）思考：是否所有含两个未知数的实际问题都能用二元一次方程组解决？什么情况下不能？六、作业设计  基础性作业（全体必做）：  1.完成课本习题8.3第2、4、5题，巩固列方程组解“和差倍分”、“行程”、“配套”类基本问题的技能。  2.整理课堂笔记，用流程图形式梳理列二元一次方程组解应用题的一般步骤，并各举一个例子说明。  拓展性作业（建议大多数学生完成）：  3.（情境化应用）“家庭月度开支小调查”：假设你家本月在水费和电费上共支出了150元。已知水费单价是2.5元/吨，电费单价是0.6元/千瓦时。请你根据家庭实际情况，设定一个合理的用水量（吨）和用电量（千瓦时），使得它们满足总费用150元，并列出对应的二元一次方程。你能找出多少种不同的合理组合？（体会解的多样性在实际约束下的意义）  探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：  4.（微型项目）“我是出题官”：请你深入研究《九章算术》或《孙子算经》中任意一个涉及二元关系的问题，完成以下任务：①将古文翻译成现代文；②用二元一次方程组进行建模并求解；③将原题改编成一个具有现代背景（如购物、运动、资源分配等）的新问题，并为你改编的题目制作一份完整的“参考答案与解析”。七、本节知识清单及拓展  ★1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤（六步法）：审、设、列、解、验、答。这是解决所有应用问题的规范化流程，确保思维严谨，答题完整。其中“审”是基础，“列”是关键，“验”是保障。  ★2.审题核心目标：明确题目中的未知量（通常为两个）和蕴含的等量关系（必须为两个独立关系）。审题时可圈画关键词和数据。  ★3.设元的基本方法：通常直接设未知数，即问什么设什么。用不同的字母（如x,y）表示不同的未知量。  ★4.找等量关系的常见类型：(1)总量=各部分之和（如总价、总量、总路程）；(2)倍数关系（如“A是B的几倍”；“配套”中的比例）；(3)基本数量关系：路程=速度×时间，工作量=工作效率×工作时间等。  ▲5.分析复杂问题的策略（脚手架）：当信息较多时，可使用列表法（如任务二）、画示意图法（线段图、行程图）来梳理条件，使数量关系可视化、条理化。  6.单位的统一性：列方程时，必须确保等式两边所表示量的单位一致。例如，速度用km/h，时间就要用小时，路程才是km。  ★7.方程组的“独立性”检验：确保所列出的两个方程不能通过恒等变形互相得到。例如，x+y=10和2x+2y=20就不是独立的。  ▲8.数学模型（方程组）的优越性：相较于算术方法，代数方法（列方程）思维更直接，能清晰地表达多个未知量之间的关系，是解决复杂问题的有力工具。  ★9.解的检验：包含数学检验（代入原方程组看是否成立）和实际意义检验（解是否为正数、整数，是否符合题设情境）。两者缺一不可。  10.典型错误警示：(1)设元不当，导致列式复杂；(2)误解等量关系（如将“差”看作“和”）；(3)忽视隐含条件（如人数为整数）；(4)忘记检验或只进行一种检验。  ▲11.一题多解与多题一归：有些问题既可用一元一次方程（间接设元），也可用二元一次方程组（直接设元）解决。鼓励比较，体会不同模型的适用场景。同时，要善于将不同背景的问题（如购物、行程、工程）归结为相同的数量关系模型。  ▲12.数学建模素养的初步体现：本节课是数学建模（现实问题→数学问题→求解→解释）的完整微缩体验。模型意识在于认识到许多看似不同的问题，其背后有着相同的数学结构。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析：从当堂巩固训练的完成情况来看，约85%的学生能独立完成基础层题目，表明“六步法”流程和简单等量关系的识别这一知识目标基本达成。在小组合作任务中，多数小组能协作找出复杂情境中的等量关系并列出方程组，体现了数学建模能力的初步发展，能力目标得到落实。课堂中学生积极参与“古今算法”对比，眼神中流露出对代数方法优越性的认同，情感目标初见成效。然而，在综合层题目（如长方形问题）上，部分学生仍存在将“面积相等”与“周长变化”关系混淆的情况，说明将文字语言精确转化为独立数学等量关系的思维目标，仍需在后续教学中通过变式训练加以强化。  （二）各环节有效性评估与学情深度剖析：导入环节的“义卖”情境快速聚焦了“双未知量”的核心矛盾，激发了探究欲，效果良好。新授环节的五个任务构成了递进的认知支架：任务一（师生共析）是示范，任务二（教师引导探究）是半放手，任务三（古今对比）是升华，任务四（小组合作）是实战应用与差异化探索，任务五（归纳总结）是结构化。这个设计较好地照顾了学生的多样性。观察发现，基础层学生在任务一、二中依赖教师提示和表格脚手架，但能跟上节奏；发展层学生在任务四中成为小组讨论的主力；拓展层学生在思考“能否用一元一次方程解B题”时表现出思维的灵活性。差异化的任务单和巡视指导基本满足了不同层次学生的需求。“在巡视时，我特意观察了那位平时沉默寡言的学生，他在小组里指着表格对同伴说‘这里，螺母产量是螺钉的2倍’，那一刻