求最大公因数、最小公倍数、约分、通分练习题

在数学的学习旅程中，数论的基础知识如同基石，而最大公因数（GCD）与最小公倍数（LCM）便是其中不可或缺的核心概念。它们不仅是分数运算的基础，更在解决实际问题中扮演着重要角色。约分与通分作为这两个概念的直接应用，更是分数加减运算的前提。本文将系统梳理相关知识点，并辅以精心设计的练习题，旨在帮助读者巩固理解，提升运算技能。一、核心概念与方法回顾（一）最大公因数（GCD）几个自然数公有的因数中，最大的那个因数即为这几个数的最大公因数。求解最大公因数，我们通常会使用短除法，通过分解共有的质因数并将其连乘，即可得到结果。对于互质的两个数（即公因数只有1的数），它们的最大公因数就是1。（二）最小公倍数（LCM）与最大公因数相对应，几个自然数公有的倍数中，最小的那个非零倍数就是它们的最小公倍数。同样，短除法也是求解最小公倍数的利器，此时需将除数与最后的商连乘。值得注意的是，两个数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积，这一关系在解题中尤为实用。（三）约分约分是将一个分数化为与其相等，但分子、分母都比较小的分数的过程。其依据是分数的基本性质，关键在于找到分子与分母的最大公因数，然后将分子分母同时除以这个最大公因数，直至分子分母互质，此时的分数称为最简分数或既约分数。（四）通分通分则是将几个异分母分数化为与原来分数相等的同分母分数的过程。通分的关键在于确定几个分数分母的最小公倍数，以此作为公分母，再利用分数的基本性质将每个分数进行转换。通分是异分母分数加减法的预备步骤。二、练习题与解析示例第一部分：最大公因数（GCD）专项练习基础巩固1.求18与24的最大公因数。2.求35与50的最大公因数。3.求12、18与24的最大公因数。综合应用4.已知两个数的最大公因数是6，其中一个数是18，另一个数可能是多少？（写出两个可能的答案）5.一块长方形布料，长48分米，宽36分米，要将其裁成若干个大小相同的正方形，且没有剩余，正方形的边长最大是多少分米？解析示例（第1题）：求18与24的最大公因数，我们可以使用短除法。首先，用它们公有的质因数2去除，得到商9和12；再用公有的质因数3去除，得到商3和4。此时3和4互质，停止短除。那么，所有除数的乘积2×3=6，就是18与24的最大公因数。第二部分：最小公倍数（LCM）专项练习基础巩固6.求12与15的最小公倍数。7.求20与28的最小公倍数。8.求8、12与16的最小公倍数。综合应用9.已知两个数的最小公倍数是60，其中一个数是15，另一个数可能是多少？（写出两个可能的答案，且该数小于60）10.某公共汽车站，1路车每6分钟发一班车，2路车每8分钟发一班车。两路车在早上某时同时发车后，至少再过多少分钟又会同时发车？解析示例（第6题）：求12与15的最小公倍数，短除法同样适用。先用公有的质因数3去除，得到商4和5。4和5互质，所以最小公倍数为除数与商的乘积，即3×4×5=60。也可通过分解质因数：12=2²×3，15=3×5，LCM取各质因数的最高次幂相乘，即2²×3×5=60。第三部分：约分专项练习基础巩固11.将分数36/48约分。12.将分数54/72约分至最简。13.判断分数25/36是否为最简分数，若是，说明理由；若不是，将其约分。综合应用14.一个分数，分子是28，经过约分后得到4/5，原来的分母是多少？解析示例（第11题）：要将36/48约分，我们先求分子36和分母48的最大公因数。通过短除法可得GCD(36,48)=12。然后将分子分母同时除以12，即36÷12=3，48÷12=4，所以36/48约分后为3/4。第四部分：通分专项练习基础巩固15.将1/4和2/5通分。16.将3/7和5/6通分。17.将2/3、1/4和5/6通分。综合应用18.比较分数3/8和5/12的大小（提示：可先通分再比较）。解析示例（第15题）：要将1/4和2/5通分，需先找到4和5的最小公倍数。由于4和5互质，LCM(4,5)=4×5=20。将1/4的分子分母同时乘以5，得到5/20；将2/5的分子分母同时乘以4，得到8/20。因此，1/4和2/5通分后分别为5/20和8/20。第五部分：综合应用题19.有一些糖果，无论是平均分给8个小朋友，还是平均分给12个小朋友，都正好分完。这些糖果至少有多少颗？20.一张长方形的纸，长72厘米，宽60厘米。如果要把这张纸裁成大小相等的正方形纸片（边长为整厘米数），且没有剩余，裁成的正方形纸片边长最大是多少厘米？可以裁成多少张这样的正方形纸片？三、练习建议与总结数学的魅力在于其逻辑性与应用性，而熟练掌握最大公因数、最小公倍数的求法，以及约分、通分的技巧，是学好分数运算的关键。建议读者在练习时，首先确保对基本概念的理解清晰，然后通过适量的习题进行巩固。初期可慢一点，注重过程的规范性，熟练后再逐步提高速度和准确性。对于错题，要建立错题本，分析错误原因，是概念混淆还是计算失误，及时查漏补缺。同时，要学会举一反三，思考不同题目之间的联系与区别，尝试用多种方法解决同一问题，例如求最大公因数，除了短除