2026年高考数学二轮复习专题03 函数及其性质（热点）（天津）（解析版）

专题03函数及其性质

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近三年：函数及其性质是天津高考数学必考点，覆盖选择、填空、解答题，分值约15-20分，重点围绕单

调性、奇偶性、对称性、周期性，结合指对幂函数、函数图象、零点综合考查。1.函数性质综合：以指对

幂、分段函数、抽象函数为载体，判断奇偶性、单调性，解不等式、求参数，2024年考含cosx函数奇偶性

判断，需紧扣定义与性质转化。2.函数图象问题：连续3年考图象识别与解析式匹配，常用特殊值+单调性

+奇偶性+极限排除法，2023年考根据图象选解析式，突出直观想象素养。3.指对幂比较大小：近5年必考，

常结合单调性、中间值（0,1）、作差/作商，2025年与零点结合，难度提升。4.函数零点问题：近3年填

空15题稳定考零点个数求参数范围，需用数形结合+分类讨论，2025年新增零点区间判定，强调函数连续

性与变号零点定理。

预测2026年：1.核心稳定：函数性质、指对幂比较大小、函数图象、零点仍为必考，分值与题型结构基本

不变。2.难度与方向：基础题更注重概念理解，中档题强调性质综合，难题会加强与导数、不等式、三角

函数的结合，突出数学素养与通性通法，减少套路化命题。3.新增热点：可能增加抽象函数性质（奇偶性

+周期性+对称性）、函数与大数据/实际问题结合、新定义函数的考查，衔接全国卷与大学数学思想。4.题

型预测：选择考图象识别+性质判断，填空考零点求参+比较大小，解答题与导数结合考函数单调性、极值、

零点综合，区分度进一步提升。

题型01判断函数的单调性

解｜题｜策｜略

判断函数的单调性的四种方法

1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性；

2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断

单调性；

3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx的超越函数）判断函数的单调性；

4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性。

例1（2026·天津和平·月考）已知fx为R上的偶函数，gx为R上的奇函数，且fxgx2x.

(1)判断并用定义证明函数fx在0,上的单调性；

(2)若函数hxf2x6fxa在0,2上有零点，求实数a的最小值；

(3)若对任意的x1,3，关于x的不等式gx2kx5g2x10恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】(1)函数fx在0,上单调递增，证明见解析

11

(2)

2

(3)k262

【分析】（1）根据函数奇偶性，构造方程组求出函数解析式，再由函数单调性的定义证明即可；

（2）转化为方程在0,2有解，换元后求出最小值即可；

（3）利用gx的奇偶性、单调性转化不等式，再分离参数后，求最小值得解.

【详解】（1）因为fxgx2x①，则fxgx2x，

x

又fx为R上的偶函数，gx为R上的奇函数，则有fxgx2②，

由得到2gx2x2x，所以gx2x12x1

由①②②得到2fx2x2x，所以fx2x12x1.

函数fx在0,上单调递增.

证明如下：

取任意x1,x20,，且x1x2，

111

x11x11x21x21x1x2

则fx1fx2222222xx

22122

x2x1

1x1x2221x1x21

22xx221xx；

22122212

11

x1x2

当0x1x2时，220，1，10，

2x1x22x1x2

所以fx1fx20，即fx1fx2；

因此fx在0,上单调递增.

2x2x

22

（2）hxf2x6fxa32x2xa，

2

2x2x

22

由hx0可得a32x2x，

2

22x22x

所以hx在0,2上有零点可转化为a32x2x在0,2上有解，

2

17

令t2x2x，由（1）知，t2x2x在0,2上为增函数，所以2t，

4

t221

则可得a3tt23t1，

22

111

因为yt23t1的对称轴为t3，所以当t3时，y，

2min2

11

所以a.

min2

（3）因为gx为R上的奇函数，

所以由gx2kx5g2x10可得gx2kx5g2x1，

xx

22

因为y2x,y2x为减函数，所以gx2x12x1在R上为减函数，

2

6

所以x2kx52x1，即kx2在x1,3上恒成立.

x

6

由对勾函数单调性知，yx在1,6上单调递减，在6,3上单调递增，

x

6

所以x2262，故k262.

xmin

2ax12

例2（2026·天津·月考）已知fx在定义域2b,b3上为奇函数，且f.

x24217

(1)求a，b的值；

(2)判断并证明函数fx在定义域内的单调性；

(3)若ft23f1t0，求实数t的取值范围.

1

【答案】(1)a，b1

2

(2)f(x)在2,2上单调递增，证明见解析

(3)[1,2)

【分析】（1）根据奇函数定义域关于原点对称，可得b值，将点坐标代入，可得a值.

（2）由（1）得fx的解析式，利用定义法，按照取值，作差，整理，定号，得结论的步骤，即可得证

（3）根据fx的奇偶性和单调性，结合定义域，可得不等式组，即可求得答案.

2ax

【详解】（1）因为fx在定义域2b,b3上为奇函数，

x24

所以2bb30，解得b1，

a2

121

又f，所以117，解得a.

21742

4

x

（2）由（1）得f(x)，x2,2，

x24

则f(x)在2,2上单调递增，证明如下：

任取x1,x22,2，且x1x2，

22

xxx1x24x2x14xx4xx

则f(x)f(x)121212，

12222222

x14x24x14x24x14x24

因为2x1x22，

22

所以x1x20,4x1x20,x140,x240，

所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，

x

所以f(x)在2,2上单调递增

x24

（3）因为f(x)在2,2上单调递增，且为奇函数，

由ft23f1t0，得ft23f1tf(t1)，

t23t1

所以2t232，解得1t2.

21t2

【变式1】（2026·天津·月考）已知函数fx的定义域为(0,)，若对于任意的x,y(0,)，都有

fxfyfxy2，当x1时，都有fx2，f33．则函数fx在区间[1,27]上的最大值为（）

A．4B．5C．6D．7

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定在(0,)上的单调性，再利用单调性求出最大值.

x

2

【详解】任取x1,x2(0,),x1x2，则1，

x1

x

由当x1时，都有f(x)2，得f(2)2，

x1

任意的x,y(0,)，都有f(x)f(y)f(xy)2，

即f(xy)f(x)f(y)2，

x2x2

则f(x2)f(x1)f(x1)f()2f(x1)，

x1x1

因此函数f(x)在(0,)上单调递增，

故x1,27时，f(x)maxf(27)f(3)f(9)2

3f(33)21f(3)f(3)23315.

故选：B

，

【变式2】（2026·天津·月考）设奇函数fx的定义域为R，对任意的x1,x2(0,)，且x1x2都有不等

xf(x)xf(x)2

式11220，且f(2)1，则不等式f(x2)的解集是（）

x1x2x2

A．(0,4)B．(,0)(2,4)C．(,0)(4,)D．(0,2)(4,)

【答案】D

【分析】根据给定条件，构造函数g(x)xf(x)，利用函数单调性定义确定g(x)在(0,)上的单调性，再结

合奇偶性求解不等式.

【详解】设函数g(x)xf(x)，由f(x)为R上的奇函数，得g(x)xf(x)xf(x)g(x)，

xf(x)xf(x)g(x)g(x)

则函数g(x)是R上的偶函数，又11220120，

x1x2x1x2

g(x)g(x)

12

依题意，对任意的x1,x2(0,)，且x1x2，都有0，

x1x2

则函数g(x)在(0,)上单调递增，由f(2)1，得g(2)g(2)2f(2)2，

2(x2)f(x2)2g(x2)g(2)

不等式f(x2)00，

x2x2x2

g(x2)g(2)gx2g2

则得①或②，

x20x20

x22

由①可得，解得x4；

x2

g2xg22x2

由②可得,即得，解得0x2.

x20x2

综上可得，原不等式的解集为(0,2)(4,).

故选：D

题型02利用函数的单调性求参数

解｜题｜策｜略

利用单调性求参数的三种情况：

1、直接利用题意条件和单调性代入求参；

2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号；

3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题。

例1（2026·天津北辰·月考）已知函数yax(a0且a1)的反函数fx图象经过27,3，则fx；

若fmx2x在3,4上单调递增，则m的取值范围是．

1

【答案】fxlog3x,

3

【分析】由函数反函数的定义求解，将点代入即可；通过复合函数同增异减且定义域大于零求解即可.

x

【详解】函数ya(a0且a1)的反函数fxlogax经过点27,3，得到loga273，解得a3，故反

函数fxlog3x；

2

令gxmxx，则fgxlog3gx在3,4上单调递增，

需满足gx在3,4上单调递增，且gx0，

由mx2x0，因为x3,4，所以mx1，

11

所以m，所以m，

x3

1116m

gx的对称轴为，所以3，即0，所以16m2m0且m0，

2m2m2m

1

解得m或m0，

6

1

综上m的取值范围是,，

3

1

故答案为：fxlog3x；,

3

14ax1,x2,

例（天津滨海新调研）已知函数（且），

22026··fxx11a0a1

a8a,x2．

4

1

①若a时，则ff11；

2

1

②若fx在R上为减函数，则a的取值范围是,1；

4

1

③若fx的值域为R，则a的取值范围是,1；

2

191111

④若a2时，fx在区间m,n的值域为,，则nm的最大值为；

244

以上结论正确的有．

【答案】①

【分析】代入计算可判断①；根据分段函数在各段上单调递减，结合端点处需要满足的条件，列出不等式

1

组，求解可判断②；当a1，根据函数性质讨论可得此时值域不为R可判断③，作出函数图象，结合

2

图象计算可判断④.

1

【详解】对于①，若a时，f14a2，

2

11

所以ff1f2a28a1，故①正确；

4

1

对于②，当x2时，f(x)14ax1单调递减须满足14a0，解得a，

4

11

当x2时，f(x)ax8a单调递减须满足0a1，

4

11

且f(x)f(2)a28a；

max4

所以要使函数f(x)在R上为减函数，须满足

11

aa

44

11

0a1，即0a1，解得a，

42

1111

38aa28aa

422

11

所以a的取值范围是,，故②错误；

42

1

对于③，当a1时，

2

因为14a0，所以函数f(x)14ax1在区间,2上单调递减，

则当x2时，fx8a26，

因为yax在区间2,上单调递减，

11

所以f(x)ax8a在区间2,上单调递减，

4

则x2时，x时，函数fx有最小值，

112121

此时ax0，8a，即fx，

444

1

综上，若a的取值范围是,1，函数fx的值域不可能为R，故③错误；

2

7x1,x2

对于，时，，

④a2fxx53

2,x2

4

11

若fx，

4

111

当x2时，fx7x1，解得x，

44

5311

当x2时，fx2x，解得x4，

44

19

若fx，

2

193

当x2时，fx7x1，解得x，

22

531953533719

当x2时，fx2x，因为2x4，故此方程无解，

424442

作出函数图象如下：

191113

所以fx在区间m,n的值域为,，则m，n，

2442

7

则nm，故④错误.

4

故答案为：①.

x22ax，x1

【变式1】（2026·天津滨海新·调研）已知函数fx满足对任意的实数x1x2，都有

ax1，x1

fxfx

120，则实数a的取值范围是．

x1x2

2

【答案】0,

3

【分析】由不等式可以判断函数的单调性，结合分段函数的性质进行求解即可.

fxfxfxfxfxfx

【详解】12012或12，所以函数fx单调递增，

x1x2x1x2x1x2

二次函数yx22ax的对称轴为xa，

要想fx为实数集上的增函数，

a1

2

只需a00a，

23

a1112a

2

故答案为：0,

3

【变式2】（2026·天津河东·调研）已知幂函数fxm25m7xm1为偶函数.

(1)求fx的解析式；

(2)若gxfxnx3在区间2,3上不单调，求实数n的取值范围.

(3)求不等式afx2a1x20的解集

【答案】(1)fxx2

(2)4n6

(3)答案见解析

【分析】（1）利用幂函数定义和性质求解；

（2）利用二次函数性质计算即可得；

（3）利用二次函数图象与一元二次不等式的关系，根据函数类型、开口方向、根的大小关系进行讨论求解.

2

【详解】（1）由幂函数定义可得m25m71，即m5m6m2m30，

解得m2或m3，

当m2时，fxx21x，此时fx为奇函数，不符；

当m3时，fxx31x2，此时fx为偶函数，符合要求；

综上可得：m3，则fx的解析式为fxx2；

n

（2）gxfxnx3x2nx3，对称轴为x，

2

n

由gx在区间2,3上不单调，则23，解得4n6；

2

（3）afx2a1x2ax22a1x2ax1x20，

当a0时，有x20，解得x2；

1

当a0时，令ax1x20，解得x或x2，

a

11

若a0，则2，此时该不等式的解集为,2,，

aa

若a0：

11

当2，即a时，该不等式无解；

a2

111

当02，即a时，该不等式的解集为,2；

a2a

111

当2，即0a时，该不等式的解集为2,；

a2a

综上所述：

当a0时，该不等式的解集为2,；

11

当a时，该不等式的解集为,2；

2a

1

当a时，该不等式解集为；

2

11

当0a时，该不等式的解集为2,；

2a

1

当a0时，该不等式的解集为,2,.

a

题型03函数的奇偶性及应用

解｜题｜策｜略

1、常见的奇函数与偶函数

xx

（1）fxaa（a0且a0）为偶函数；

xx

（2）fxaa（a0且a0）为奇函数；

axaxa2x1

（3）fx（a0且a0）为奇函数；

axaxa2x1

bx

（4）fxlog（a0且a0,b0）为奇函数；

abx

（）2（且）为奇函数；

5fxlogax1xa0a0

（6）fxaxbaxb为偶函数；

（7）fxaxbaxb为奇函数；

2、函数奇偶性的应用

（1）求函数值：将待求值利用就行转化为已知区间上的函数值求解；

（2）求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出；

（3）求参数：利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等

性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值。

例1（2026·天津和平·月考）已知定义在R上的函数fx满足fxfx，x1、x20,，当x1x2

fxfx

122

时，都有221，且f11，则不等式flog3xlog3x的解集为（）

x1x2

11

A．0,B．,3

33

11

C．,3,D．0,3,

33

【答案】D

【分析】构造函数gxfxx2，分析可知函数gx为偶函数，且函数gx在0,上为减函数，将

所求不等式变形为glog3xg1，可得出关于x的不等式，结合对数函数的单调性可解出x的取值范围，

即为所求.

fxfx

12

【详解】x1、x20,，当x1x2时，都有221，

x1x2

222222

不妨设x1x2，则x1x2，所以fx1fx2x1x2，即fx1x1fx2x2，

2

令gxfxx，则gx1gx2，即函数gx在0,上为减函数，

又因为定义在R上的函数fx满足fxfx，则函数gx的定义域为R，

2

且gxfxxfxx2gx，故函数gx为偶函数，

因为f11，则g1f1120，

22

由flog3xlog3x可得flog3xlog3x0，即glog3x0，

1

所以glogxg1，所以logx1，所以log3x1或logx1，解得0x或x3，

3333

21

因此不等式flogxlogx的解集为0,3,.

333

故选：D.

例2（2026·天津和平·月考）下列函数中，既是偶函数，又在区间0,上是增函数的是（）

A．yx2B．yexex

C．ylg1x2xD．yexex

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性的定义及单调性的判断方法即可判断.

【详解】对于A，二次函数yx2关于y轴对称，所以函数yx2为偶函数，

yx2在0,上单调递减，故A错误；

xx

对于B，函数fxee的定义域为R，

xR,xR，fxexexfx，所以函数yexex为偶函数，

x

函数vex在0,上单调递增，当x0,时，ve1,，

1

函数uv在1,上单调递增，

v

根据复合函数的单调性，函数yexex在0,上单调递增，故B正确；

2

对于C，函数fxlg1xx的定义域为R，

xR,xR，fxfxlg1x2xlg1x2xlg1x2x20，

即fxfx，所以函数ylg1x2x为奇函数，故C错误；

xx

对于D，函数fxee的定义域为R，

xR,xR，fxexexfx，

所以函数yexex为奇函数，故D错误.

故选：B.

1

【变式1】（2025·天津·调研）已知偶函数f(x)在区间(,0]上单调递减，则满足f(2x1)f的x的取

3

值范围为（）

12121212

A．,B．,C．,D．,

23333323

【答案】C

【分析】由偶函数性质得函数在0,上的单调性，然后由单调性解不等式．

【详解】因为偶函数fx在区间(,0]上单调递减，

所以fx在区间0,上单调递增，

11

因为f2x1f(），所以由偶函数性质知f2x1f(）

33

112

所以2x1，解得：x.

333

故选：C．

【变式2】（2026·天津滨海新·月考）已知定义在R上的偶函数f(x)在(,0)上单调递增，则（）

33

44

A．f2flog16flog25B．f2flog25flog16

44

33

44

C．flog16f2flog25D．flog16flog25f2

44

【答案】D

3

【分析】利用对数函数的单调性及指数函数的图象得4，再利用偶函数在关于原点

log46log45120

对称的区间的单调性得函数f(x)在(0,)上单调递减，再利用函数f(x)在(0,)上单调递减得

3

4

flog46flog45f2，进而利用偶函数的性质得结论.

【详解】因为log16log46,log25log45，

4

而函数ylog4x是增函数，所以log46log451，

3

而由函数x的图象得，

y20241

3

因此4，

log46log45120

又因为定义在R上的偶函数f(x)在(,0)上单调递增，

所以函数f(x)在(0,)上单调递减，

33

44

因此flog46flog45f2，即flog16flog25f2.

4

故选：D.

题型04奇函数+常数求值

解｜题｜策｜略

已知为奇函数，则，

fxfxf(x)0fxmaxf(x)min0

设g(x)fxa（其中a为常数），则gxg(x)2a，g(x)maxg(x)min2a

5x3tx23xsinxt2

例1（2026·天津和平·调研）已知关于x函数fx在2022,2022上的最大值为M，

x2t

最小值N，且MN2022，则实数t的值是.

【答案】1011

5x33xsinx5x33xsinx

【分析】先利用常数分离法化得函数f(x)t，再构造函数gx，判断得

x2tx2t

gx为奇函数，从而利用奇函数的性质求解即可.

23

5x3tx23xsinxt2txt5x3xsinx5x33xsinx

【详解】因为fxt，

x2tx2tx2t

x2022,2022，

5x33xsinx

令gx，x2022,2022，则fxgxt，

x2t

5(x)33(x)sin(x)5x33xsinx

因为gx定义域关于原点对称，gxgx()，

(x)2tx2t

所以gx是在2022,2022上的奇函数，

故由奇函数的性质得，

gxmaxgxmin0

所以，

MNf(x)maxf(x)mingxmaxtgxmint2022

所以2t2022，则t1011.

故答案为：1011.

3x2x3

例2（2025·天津·月考）已知函数fx的最大值为M，最小值为m，则Mm（）

x21

A．2B．4C．6D．8

【答案】C

【分析】由题意可得fxfx6，可求Mm的值.

3x2x3x

【详解】由fx，得fx3，函数fx的定义域为R，

x21x21

x

令gx，定义域为R，定义域关于原点对称，

x21

xx

又gx22gx，所以gx为奇函数，

x1x1

所以fxfx3gx3gx6，

则fx的图象关于点0,3对称，所以Mm6.

故选：C.

【变式1】（2025·天津河北·一模）关于函数fx3sinxcosx有下述四个结论：

①fx是偶函数；

π

②fx在区间0,上单调；

2

③fx的最大值为M，最小值为m，则Mm3；

④fx最小正周期是2π.

其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

ππ

【分析】①由偶函数的概念可判断；②先整理当x0,时，fx2sinx，根据

26

fxAsinx的单调性可得；③先去绝对值，分别根据单调性求函数的最值即可；④根据周期函数

的概念可得.

【详解】函数fx的定义域为R，因为fx3sinxcosx=fx3sinxcosx，

故fx是偶函数；

ππ

当x0,时，sinx0，此时fx3sinxcosx2sinx，

26

πππ2ππ

对于kZ，令2kπx2kπ，得2kπx2kπ，

26233

ππ3ππ4π

令2kπx2kπ，得2kπx2kπ，

26233

ππππ

又x0,，故fx在0,上单调递增，在,上单调递减，故②错误；

2332

π

当x2kπ,π+2kπ时sinx0，fx3sinxcosx2sinx，

6

ππ

由②可知，fx在2kπ,+2kπ上单调递增，在+2kπ,π+2kπ上单调递减，

33

π

此时fx的最大值为f+2kπ2，最小值为minf2kπ,fπ+2kπ1，

3

π

当xπ+2kπ,2π+2kπ时，sinx0，fx3sinxcosx3sinxcosx2sinx，

6

ππππ2π

令2kπx2kπ，得2kπx2kπ，

26233

ππ3π2π5π

令2kπx2kπ，得2kπx2kπ，

26233

5π5π

故fx在π2kπ,+2kπ上单调递增，在+2kπ,2π+2kπ上单调递减，

33

5π

此时fx的最大值为f+2kπ2，最小值为minfπ+2kπ,f2π+2kπ1，

3

故M2，m1，Mm3，故③正确；

π

2sinx,x2kπ,π+2kπ

6

由③可知fx，

π

2sinx,xπ+2kπ,2π+2kπ

6

又fx2π3sinx2πcosx2π3sinxcosxfx，

故④正确；

故选：C

2xe|x|

【变式2】（2025·天津·月考）f(x)的最大值与最小值之差为（）

e|x|

44

A．4B．C．