高中信息技术（必选1）X1-09-01二叉树的概念知识点

高中信息技术（必选1）X1-09-01二叉树的概念知识点整理本课程聚焦二叉树的核心概念，是数据结构部分的基础内容。通过学习，需理解二叉树的定义、基本特征，掌握二叉树的基本形态、相关术语及简单性质，能结合实例判断二叉树的类型、计算节点数量等，为后续二叉树的遍历、应用等内容奠定基础。以下是本课程需掌握的核心知识点、配套练习题及答案解析。一、核心知识点梳理知识点1：二叉树的定义与基本特征1.定义：二叉树是一种非线性数据结构，它的每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点，且子节点有左右之分，次序不能随意颠倒。2.基本特征：每个节点的度（子节点个数）最大为2，即节点可以有0个、1个或2个子节点；左子树和右子树是有顺序的，即使节点只有一个子节点，也要区分是左子节点还是右子节点；空树是二叉树的特殊情况，即没有任何节点的二叉树；单个节点也可构成一棵二叉树，其左、右子树均为空。知识点2：二叉树的基本术语1.节点：二叉树中的基本元素，包含数据信息及指向左、右子节点的引用（或指针）；2.根节点：二叉树的起始节点，没有父节点；3.父节点与子节点：若节点A有子节点B，则A称为B的父节点，B称为A的子节点；4.左子节点、右子节点：区分左右顺序的子节点，左子节点位于父节点左侧，右子节点位于右侧；5.叶子节点（终端节点）：度为0的节点，即没有左、右子节点的节点；6.分支节点（非终端节点）：度为1或2的节点；7.树的深度（高度）：二叉树中节点的最大层次，空树的深度为0，单个节点的树深度为1。知识点3：二叉树的基本形态二叉树的形态由节点个数及子节点的分布决定，常见基本形态有：空二叉树：无任何节点；单节点二叉树：仅含根节点，左、右子树均为空；仅有左子树的二叉树：根节点有左子节点，右子树为空，左子树可进一步延伸；仅有右子树的二叉树：根节点有右子节点，左子树为空，右子树可进一步延伸；既有左子树又有右子树的二叉树：根节点同时有左、右子节点。知识点4：二叉树的简单性质1.性质1：在二叉树的第i层上，最多有2^(i-1)个节点（i≥1）。例如，第1层（根节点层）最多1个节点（2^0），第2层最多2个节点（2^1），第3层最多4个节点（2^2）；2.性质2：深度为k的二叉树，最多有2^k-1个节点（k≥0）。空树深度为0，节点数为0（2^0-1=0）；深度为3的二叉树，最多有7个节点（2^3-1=7）；3.性质3：对于任意一棵二叉树，若叶子节点数为n₀，度为2的节点数为n₂，则n₀=n₂+1。二、各知识点配套练习题及答案解析（一）知识点1：二叉树的定义与基本特征练习题1.下列关于二叉树的说法，正确的是（）A.二叉树的每个节点必须有两个子节点B.二叉树的子节点没有左右之分C.空树不属于二叉树D.单个节点可以构成一棵二叉树2.若某二叉树的一个节点有且仅有一个子节点，则该子节点（）A.只能是左子节点B.只能是右子节点C.可以是左子节点或右子节点，但需明确区分D.无需区分左右子节点3.判断：“二叉树中每个节点的度都为2”，该说法是否正确？并说明理由。4.简述二叉树与一般树（任意节点度无限制）的核心区别。答案及解析1.D解析：A选项错误，二叉树节点最多有两个子节点，可有0个、1个或2个；B选项错误，二叉树子节点有左右之分，次序不可颠倒；C选项错误，空树是二叉树的特殊情况；D选项正确，单个节点构成的树，左、右子树均为空，属于二叉树。2.C解析：二叉树的子节点有明确的左右顺序，即使只有一个子节点，也需区分是左还是右，因此答案为C。3.不正确。理由：二叉树的核心特征是每个节点的度最大为2，即节点可以有0个（叶子节点）、1个（单分支节点）或2个（双分支节点）子节点，并非所有节点度都为2。4.核心区别：①节点度限制不同：二叉树每个节点度最大为2，一般树节点度无限制；②子节点顺序不同：二叉树子节点有左右之分，次序不可颠倒；一般树的子节点无固定顺序（除非特殊定义）。（二）知识点2：二叉树的基本术语练习题1.二叉树中，没有父节点的节点称为（）A.叶子节点B.根节点C.分支节点D.子节点2.下列关于叶子节点的说法，正确的是（）A.叶子节点有且仅有一个子节点B.叶子节点的度为0C.叶子节点一定是根节点D.分支节点包含叶子节点3.若一棵二叉树的深度为4，则该树的最大层次数为（），第4层最多有（）个节点。4.请指出下图二叉树中的根节点、叶子节点、分支节点（假设节点标记为A、B、C、D，根为A，A左子为B，A右子为C，B左子为D）。答案及解析1.B解析：根节点是二叉树的起始节点，没有父节点；叶子节点是度为0的节点，有父节点；分支节点是度为1或2的节点，有父节点；子节点是相对父节点而言的，因此答案为B。2.B解析：叶子节点是没有左、右子节点的节点，度为0，因此A错误、B正确；叶子节点不可能是根节点（根节点若为叶子节点，树仅含根节点，但此时根节点也是叶子节点，需结合语境，本题选项C表述绝对，错误）；分支节点是度为1或2的节点，不包含叶子节点，D错误。4；8解析：二叉树的深度即节点的最大层次数，因此深度为4的树最大层次数为4；根据二叉树性质1，第i层最多有2^(i-1)个节点，第4层最多有2^(4-1)=8个节点。根节点：A；叶子节点：C、D（C无左右子节点，D无左右子节点，度均为0）；分支节点：A、B（A度为2，B度为1，均为分支节点）。（三）知识点3：二叉树的基本形态练习题1.下列不属于二叉树基本形态的是（）A.空树B.仅有左子树的树C.有三个子节点的节点构成的树D.单节点树2.判断：“若一棵二叉树仅有右子树，则该树不属于二叉树的基本形态”，该说法是否正确？3.画出含3个节点的二叉树的所有可能基本形态。4.简述“仅有左子树的二叉树”与“仅有右子树的二叉树”的本质区别。答案及解析1.C解析：二叉树的每个节点最多有两个子节点，因此“有三个子节点的节点构成的树”不符合二叉树定义，不属于二叉树的基本形态，答案为C。不正确。理由：仅有右子树的二叉树是二叉树的基本形态之一，其特征是根节点有右子节点，左子树为空，右子树可延伸，符合二叉树的定义和基本特征。含3个节点的二叉树共有5种基本形态，分别为：①根节点A，A左子B，B左子C；②根节点A，A左子B，B右子C；③根节点A，A左子B，A右子C；④根节点A，A右子B，B左子C；⑤根节点A，A右子B，B右子C。4.本质区别在于子节点的左右顺序不同：仅有左子树的二叉树，所有子节点均为其父节点的左子节点，右子树始终为空；仅有右子树的二叉树，所有子节点均为其父节点的右子节点，左子树始终为空。这种顺序差异是二叉树的核心特征，会影响后续的遍历等操作。（四）知识点4：二叉树的简单性质练习题1.一棵深度为5的二叉树，最多有（）个节点。A.15B.31C.32D.632.若二叉树的第3层有4个节点，则该层节点数（）第3层最多节点数。A.等于B.大于C.小于D.无法确定3.某二叉树中，叶子节点数为15，度为2的节点数为14，该二叉树是否符合二叉树的性质3？请说明理由。4.已知一棵二叉树中度为1的节点数为5，度为2的节点数为8，求该二叉树的叶子节点数。5.一棵二叉树深度为k，且有2^k-1个节点，该二叉树被称为满二叉树。若某满二叉树深度为6，求其叶子节点数。答案及解析1.B解析：根据二叉树性质2，深度为k的二叉树最多有2^k-1个节点。深度为5时，最多节点数为2^5-1=31，答案为B。2.A解析：根据二叉树性质1，第i层最多有2^(i-1)个节点，第3层最多有2^(3-1)=4个节点，因此该层4个节点等于最多节点数，答案为A。符合。理由：二叉树性质3规定，叶子节点数n₀=度为2的节点数n₂+1。本题中n₀=15，n₂=14，15=14+1，满足性质3的要求。叶子节点数为9。解析：根据二叉树性质3，n₀=n₂+1。已知n₂=8，因此n₀=8+1=9（度为1的节点数不影响叶子节点数与度为2的节点数的关系）。叶子节点数为32。解析：满二叉树深度为k时，节点总数为2^k-1，且所有叶子节点均在第k层。根据性质1，第k层最多有2^(k-1)个节点，满二叉树第k层节点数即为最多节点数。深度为6时，叶子节点数为2^(6-1)=3