【01】2025届宝山区高三一模参考答案

2024学年第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷参考答案1.2.3.4.5.6.7.或8.9.10.11.12.二、（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）14.15.16.17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）（1）证明：设该四棱锥的高为，则体积......1分从而...............................................................2分等腰中，设边的中点为，易知在中，,所以.............................4分所以该四棱锥的高为即为.........................................5分即，又所以面..................................................7分因为，所以即为异面直线和所成的角或其补角；.......................9分由（1）知平面，且矩形中，，所以，从而..............10分中，，所以...............................11分同理可得.......................................................12分中，由余弦定理可得..............13分所以异面直线和所成角的余弦值为...........................14分另解：（空间向量法）以的中点为为原点，、为轴建立空间坐标系，则所以........................................9分......13分（公式2分，数值2分）所以异面直线和所成角d余弦值为.............................14分18.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）解：(1)由正弦定理得，又，从而.......................2分由得，........................4分从而.................................................................5分所以的面积......................8分(公式2分，结果1分）（2）................................9分由平均值不等式，当且仅当时取等号.................11分从而，所以..............................................12分又因为中，，从而.......................................13分所以的范围是........................................................14分19.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）甲掷一次，两颗骰子点数相等的概率为.....................2分所以两颗骰子点数不同的概率为；..................................4分（2）解：甲的点数和恰好比乙的点数和大点的情形如下表：甲的点数乙的点数甲的点数和乙的点数和、、、92、、、103、、、114、、、125.......8分所以；..................................10分另解：设掷一次两颗骰子的点数和为，则则.................................................8分所以甲的点数和恰好比乙的点数和大7点的概率为...............................10分（3）由（2）可知掷两颗骰子点数和大于的概率为..........................12分若甲第一轮获胜，概率为若甲第二轮获胜，即第一轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为；若甲第三轮获胜，即前两轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为......由以上可得，若甲第轮获胜，即前轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为..................................14分于是，组成一个以为首项，为公比的无穷等比数列.所以甲最终获胜的总概率为...........16分（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）解：（1）由得........................2分所以焦距，.............................................3分离心率...............................................4分，设直线的方程与椭圆:联立得：...........................5分因为点与点不重合，所以可得点......................6分于是由得...........................................7分直线的方程：............................................8分①当直线斜率存在时，设方程为：，与椭圆:联立得：...........................................9分设由韦达定理得............................................10分且，化简得又，从而由可得，从而将代换，整理得：韦达定理代入化简得.，所以.............................12分当时，直线经过点，舍；................................13分当时，此时成立，直线经过定点......14分②当直线斜率不存在时，设，则代入得与联立得解得此时直线也经过点.........................................16分综上，直线经过定点.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.解：（1）.......................2分所以和是满足性质........................................4分（2）由可知，驻点...................................5分又当时，不存在驻点；当时，的驻点..........................................7分由题意可知，................................................8分解得.................................................10分（3）的充要条件是......................................11分首先证明必要性：当时，由题意可知不是常函数，所以因为和满足性质，所以，所以，又是正整数，故...........................................12分其次证明充分性：由题意可知，，，且当()时，可知.否则，若存在，有因为，所以与已知矛盾.同理，....................................................14分故所以，即同理，，得所以.......................................................16分②当()时，任意，有，又由①可知，若存在有，则，所以由已知，其中于是有，矛盾，所以所以，得因为，所以，从而，即.③当()时，任意，有，同理可得所以，得因为，所以，从而，即.综上，.....................................................18分（3）另解：（反证法）由题意可知，，，且.任意时，可知.否则，若存在，使因为，所以与已知矛盾.同理，...............................................