2025届上海市浦东新区高三一模数学试卷 答案

浦东新区2024学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分．一、1．若对数函数（）的图像经过点，则的值为__________．2．直线的倾斜角的大小是____________．3．已知复数，，，若为纯虚数，则___________．4．在的展开式中，项的系数是____________（用数字作答）．5．在中，，，，则____________．6．已知实数满足，则的最小值为____________．7．若等差数列满足，，则____________．8．已知函数的表达式为则不等式的解为____________．9．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为____________．10．某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边开设两个门，修建步行道通往渔人码头，且，则步行道长度之和的最小值是____________．（精确到）11．已知空间中三个单位向量，，为空间中一点，且满足，，，则点个数的最大值为____________．12．已知在复数集中，等式对任意复数恒成立，复数在复平面上对应的个点为某个单位圆内接正方形的个顶点，，则满足条件的不同集合个数为____________．二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分．13．若实数满足，下列不等式中恒成立的是（）A． B．C． D．14．设、为两条直线，为两个平面，且．下述四个命题中为假命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若且，则 D．若，则或15．对一组数据，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为（）A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差16．设函数的定义域均为，值域分别为，且．若集合满足以下两个条件：（1）；（2）是有限集，则称和是互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是互补函数；②存在函数，使得和是互补函数．则（）A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数的表达式为．（1）若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间；（2）若，设函数的表达式为，求当时，的值域．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点．（1）若，求三棱锥的体积；（2）若，求异面直线与所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级（最有价值球员）．以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．二分球出手二分球命中率三分球出手三分球命中率小100次100次小190次10次现以两人的总投篮命中率（二分球＋三分球）较高者评为校（总投篮命中率＝总命中次数÷总出手次数）（1）小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？（2）小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏．游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为，小的命中率始终为．②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续投篮．③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“”的值，请解答以下两个问题．（ⅰ）若小第一次投篮，请证明小获胜概率大；（ⅱ）若小第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交椭圆于两点，点在第一象限．（1）若，求点的坐标；（2）求的取值范围；（3）若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，求面积的最大值．yyxF1OF2AB21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”．（1）设，判断点是否为的“类点”，并说明理由；（2）设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值；（3）设，证明：轴上不存在的“类点”．高三数学参考答案1.22.3.54.205.6.7.-78.9.10.1.17211.812.10选择题CBDA17.（1）由，得，…………3分由，得单调增区间为；…………6分(2)，…………9分由，得，于是，…………12分从而，即的值域为.…………14分18.(1)解：三棱锥的体积等于三棱锥的体积，…………2分三角形面积为，…………2分三棱锥的体积…………2分所以，三棱锥的体积为4；(2)作，连，则或其补角是异面直线与所成的角，…………3分，，则，………………4分所以异面直线与所成的角的余弦值为.…………1分19.（1）小总命中率为分小总命中率为分60%<68%…………5分综上，小C想法错误，小B为校MVP分（2）（i）证明：若“第一次投篮人物”为小，小获胜的概率为，小的获胜的概率为可得"小第一次投篮，小获胜概率大"…………9分(ii)若"第一次投篮人物"为小，小获胜的概率为，小的获胜的概率为其中，易证随着的增大而增大，，所以当也就是时综上：若小第一次投篮，时小获胜概率大；时小获胜概率大．…………14分20.(1)联立与，可得…………4分(2)设，…………6分………………8分因为，所以当时，的最小值为，当时，所以的取值范围为．………………10分（3）设，设直线的斜率为，直线方程为.由得．…………11分设直线，由得。设，则和是方程(1)的解，故，由此得.…………13分………………14分………………16分法一：，设，则由得，当且仅当时取等号.因为在为严格减函数，所以当，即时，取得最大值，最大值为.因此，面积的最大值为.………………18分法二：，在上是严格增函数，在上是严格减函数时，取得最大值，最大值为，因此，面积的最大值为.21.(1)，点在上，，设切点为，切线方程为，即，………………2分切线过，解得或，故切线方程为，点为的"类点".………………4分(2)，设切点为，切线方程为，即，切线过，则，……6分由题意，以上方程有三个不同解，且成等差数列，设为，公差为，比较等式两边系数可得，……9分经检验，当时，，不过，满足条件，故的值为2.………………10分（3）（方法1）假设轴上存在的"类点"，记为，设坐标为，，设切点为，切线方程为，即，过，得，方程至少有两个不同解，………………11分设，则，令，得或，当在上，为严格减函数，当在上，为严格增函数，……13分极小值，极大值，又，由函数图像可知，当或时，方程有两个不同解，当时，方程有三个不同解，因为时，在上，其余情况下在外，所以…………15分设两垂直切线的斜率为，对应方程的两根为，则，由得，代入上式，有，因为，所以异号，不妨设，由均值不等式知，，则，而，等式无法成立，不存在，故假设不成立，命题得证！……