聚焦算法理解与建模：小学三年级数学“两位数除以一位数”（首位能整除）教学探究

聚焦算法理解与建模：小学三年级数学“两位数除以一位数”（首位能整除）教学探究一、教学内容分析  本课选自苏教版小学数学三年级上册《两、三位数除以一位数》单元，是学生从表内除法、有余数除法迈向多位数笔算除法的起始与关键节点。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》解构，其“坐标”清晰：在知识技能图谱上，核心在于理解两位数除以一位数（首位能整除）的算理，掌握其笔算（竖式）算法的规范书写与运算步骤，它直接奠基后续首位不能整除、商中间或末尾有0的除法，是整数除法运算能力链条的核心一环。过程方法路径上，课标强调“探索并掌握”的实践过程，本课需引导学生经历“具体实物操作（分小棒）—表征过程（口算、横式记录）—抽象算法（竖式模型）”的完整数学建模过程，渗透“化归”、“数形结合”与“程序化”的数学思想。素养价值渗透方面，本课是发展学生“运算能力”与“推理意识”的绝佳载体。通过探索“为什么这样算”、“竖式每一步对应什么实际意义”，学生能将程序性操作内化为有意义的数学理解，实现从“会算”到“懂理”的跨越，养成严谨有序的思维品质。  基于“以学定教”原则，学情研判如下：学生已有表内除法、整十数除以一位数的口算基础，以及“平均分”的直观经验，这是建构新知的“生长点”。然而，障碍在于：一是从直观分物到抽象竖式的“认知跨度”较大，学生易混淆数位对齐的含义；二是竖式作为一种简化的程序性记录，其每一步与分物过程的对应关系是理解的难点。为此，教学将设计前置性诊断任务（如用小棒分一分46÷2），动态评估学生的原始思维水平。课堂中将通过小组操作、对话分享、关键提问（如“竖式里的‘4’和‘6’分别代表什么？你刚才分小棒时哪一步对应它？”）持续进行形成性评价。教学调适策略将体现差异化：对于理解较快的学生，引导其担任“小老师”解释算理，并挑战首位不能整除的初步探索；对于存在困难的学生，提供“分步操作指导卡”和“算法步骤贴纸”等视觉化支架，确保其在动手实践中跟上节奏，核心是让所有学生都能触摸到“算理”的实质。二、教学目标  知识目标：学生能结合具体情境和操作活动，理解两位数除以一位数（首位能整除）的算理，即“先分十位上的数，再分个位上的数”的分解过程。能够清晰表述竖式中每一步计算的实际含义，并规范、熟练地掌握其笔算方法，正确进行计算。  能力目标：学生经历“分小棒—记录过程—创造竖式”的完整探究，发展动手操作、数学表征（语言、符号）和算法抽象的能力。在合作交流中，能够有条理地表达自己的思考过程，并对他人的方法进行理解和评价。  情感态度与价值观目标：学生在探索算法多样化和最优化的过程中，体验数学思考的乐趣和解决问题的成就感。在小组合作中，养成乐于分享、认真倾听、互助共赢的学习态度，初步感受数学模型的简洁与力量。  数学思维目标：重点发展学生的数学建模思维和推理意识。引导学生将具体的“分物”活动，逐步抽象为数学符号和程序化的竖式算法，理解模型构建的过程。通过追问“为什么先分十位？”“竖式这样写道理何在？”，培养学生的逻辑推理能力。  评价与元认知目标：引导学生学会利用操作验证计算结果，养成自觉验算的习惯。在课堂小结时，能够回顾学习路径，反思“我是如何从不会到学会的”，并运用自我提问（如“我明白每一步的道理了吗？”）来监控自己的理解程度。三、教学重点与难点  教学重点：理解两位数除以一位数（首位能整除）的笔算算理，掌握其竖式计算方法。其确立依据源于课标对“数的运算”教学的核心要求：理解算理、掌握算法。作为笔算除法的开篇，此重点内容是构建整数除法运算体系的“大概念”，是后续所有复杂除法计算的逻辑基石。从学业评价看，算理理解是考查学生是否真正掌握而非机械记忆的关键，是体现能力立意的核心考点。  教学难点：将分小棒的直观操作过程，与竖式计算的抽象书写步骤建立一一对应的联系，真正理解竖式中每一步的含义。难点成因在于学生思维正从具体形象向抽象逻辑过渡，而竖式是一种高度凝练、程序化的记录方式，容易造成理解上的“断层”。预设依据来自常见错误分析：学生常出现商的位置写错、忽略十位分后余下的“1个十”与个位合并等错误，根源皆在于对算理理解不清。突破方向在于设计强关联的探究任务，让操作与记录同步，让思维可视化。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（含情境动画、分小棒动态演示、竖式步骤分解图）；实物投影仪。1.2操作材料：每小组一套小棒（46根，10根一捆，另6根单的）、学习任务单（含分步操作记录区、算法探索区）。1.3评价工具：“算理小讲师”徽章（即时奖励）、不同难度层级的巩固练习卡。2.学生准备2.1知识准备：复习表内除法、整十数除以一位数的口算。2.2学具准备：自备草稿本、铅笔、尺子。3.环境布置3.1座位安排：四人异质小组围坐，便于合作探究与交流。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：1.1课件呈现校园体育节场景：“三年级2个班一共领了46根跳绳，要平均分给2个班，每个班能分到多少根？”（大家看，体育老师遇到了一个分跳绳的问题，谁能帮他想想办法？）1.2引导学生列出算式：46÷2。追问：“这个算式和我们以前学的除法有什么不同？”（对，以前我们分的数比较小，像‘46÷2’这样分比较大的数，怎么才能算得又对又快呢？）2.唤醒旧知与路径规划：2.1激活经验：“我们没学过直接算，但‘平均分’我们是老朋友了。可以请谁来帮忙？”（预设：小棒。）“好，那今天我们就请出小棒这位好帮手，一起来‘分一分’，并把分的过程想办法‘记下来’，最后找到一种最清晰、最好的记录方法，也就是笔算的方法。”2.2明确学习路径：“先动手分，再动笔记，最后一起创造和明白竖式这个新工具。”第二、新授环节任务一：动手操作，建立直观模型教师活动：发布明确指令：“请大家以小组为单位，用手中的46根小棒（4捆和6根），代表46根跳绳，动手分一分，平均分给2个班。”巡视指导，关注不同分法：是先分单根再分整捆，还是先分整捆再分单根。选取典型小组，准备展示。关键提问：“你们是怎么分的？先分的什么？再分的什么？”（大家先自己动手分一分，边分边想你是怎么分的？先分什么，再分什么最方便？）学生活动：小组合作，动手操作小棒，尝试将46根小棒平均分成2份。在操作中直观感受“分”的过程。部分学生可能先分6根单的，发现不好分；多数会尝试先分4捆（每班2捆），再分6根（每班3根）。相互交流自己的分法。即时评价标准：1.操作是否有序、清晰。2.能否用语言描述“先分……，再分……”的过程。3.小组分工是否明确，合作是否有效。形成知识、思维、方法清单：★平均分的顺序：将两位数（如46）看作“几个十和几个一”的组合（4个十和6个一），平均分时，从高位（十位）分起更简便。▲操作与思维的联结：动手操作是理解抽象算理的“锚点”，建立“先分整捆（十位）”的直观经验，为算法抽象奠基。任务二：关联口算，激活已有经验教师活动：请操作清晰的小组上台演示分法（先分4捆，再分6根）。引导全班同步口述过程：“先把4个十平均分成2份，每份是2个十，也就是20；再把6个一平均分成2份，每份是3个一。”同步板书口算过程：40÷2=20，6÷2=3，20+3=23。追问：“这个口算过程，和我们刚才分小棒的步骤，是不是一模一样？”（你看，把分的过程用算式说出来，就是‘口算’。谁能学着这样再说一遍？）学生活动：观察同伴演示，跟随老师口述分的过程。尝试独立将分小棒的动作与“40÷2=20，6÷2=3，20+3=23”这三道算式建立对应关系。部分学生尝试自己完整口述。即时评价标准：1.能否将操作步骤准确地转化为三步口算语言。2.能否理解口算中每个数字代表的实际数量（如40代表4捆）。形成知识、思维、方法清单：★算理的初步表征：将操作过程用“横式”口算步骤记录下来，是思维从具体走向抽象的第一层阶梯。▲数的组成在运算中的应用：“46÷2”的口算实质是“（40+6）÷2=40÷2+6÷2”，体现了除法的运算性质。任务三：记录过程，引发认知冲突教师活动：提出挑战：“分的过程和算的结果我们都清楚了，但每次计算都摆小棒、说三步，有点麻烦。数学家们发明了一种更简洁的记录方式，叫竖式。你们能根据分小棒和口算的过程，尝试着在任务单上‘创造’出记录46÷2过程的竖式吗？哪怕画一画、写一写都可以。”鼓励大胆尝试，收集几种有代表性的“原始竖式”进行投影展示。（开动脑筋，把你怎么分的‘故事’，用数学符号‘写’出来。没有对错，只有思考。）学生活动：独立思考，尝试用自己理解的方式在纸上记录分46根小棒平均分给2份的过程。可能出现的记录有：分步画图、模仿加法竖式写两层除法等。小组内交流各自的“作品”。即时评价标准：1.记录是否试图体现“分两次”的过程。2.是否尝试使用数学符号而非纯图画。形成知识、思维、方法清单：▲认知冲突的价值：学生的“创造”可能不完善，但对比标准竖式时产生的冲突——“为什么我的不行？他的好在哪里？”——是激发深度学习的内在动力。★数学表达的需求：感受到需要一种统一、简洁、能清晰体现分步过程的数学表达方式，从而产生学习竖式的内在渴望。任务四：构建竖式，建立算理对应教师活动：展示标准竖式写法，分步动态演示，每一步都紧密对应回小棒操作与口算：1.先写除号、被除数、除数。“这表示要把46平均分成2份。”2.第一步算十位：用2去除十位上的4。“这对应我们分小棒的哪一步？”（对，先分4捆！）商2写在十位上。“2表示什么？”（2个十）。2×2=4，4写在十位4的下面。“这个4又表示什么？”（分掉了4个十，也就是4捆）。44=0，“0表示十位上的4捆全部分完，没有剩余。”（这里停一停，指着竖式问：竖式里这个‘先分十位’的步骤，和小棒操作、口算，是不是严丝合缝地对上了？）3.第二步算个位：把个位上的6落下来。“落下来这个动作，相当于我们把剩下的什么拿过来？”（对，把还没分的6根单的小棒拿下来，准备继续分）。用2去除6，商3写在个位上。“3表示？”（3个一）。2×3=6，6写在个位6的下面，表示又分掉了6根。66=0，全部分完。学生活动：眼睛看课件演示，手指空书模仿，嘴巴同步叙述每一步对应的实际意义。重点理解“商的位置”（为什么2写在十位）、“每一步乘减的含义”（分掉了多少）以及“落下来”的桥梁作用。完成学习单上的竖式填空练习，边写边说。即时评价标准：1.书写是否规范（数位对齐、步骤完整）。2.能否指着竖式，说出任一步（如44=0）对应分小棒的哪个情景。形成知识、思维、方法清单：★笔算除法的核心算理：竖式是分物过程的程序化、符号化记录。高位除起、商对齐数位、逐次分减。▲‘落下来’的算理本质：是上一位分完后剩余的“0个十”与下一位的“几个一”合并，体现了数位值概念和运算的连续性。★规范书写的重要性：清晰的步骤是思维条理的反映，也是避免计算错误的基础。任务五：对比优化，抽象算法模型教师活动：引导学生将标准竖式与之前的口算、自己的“创造”进行对比。“比比看，竖式这种记录方法，好在哪里？”（是不是把分几步、每步分多少、剩多少，写得清清楚楚、明明白白？）师生共同总结算法步骤歌谣（先分十位再分个，商对位来别写错，乘一乘来减一减，最后落下继续除）。组织快速仿练：完成“69÷3”的竖式计算，并指名板演，要求其结合小棒图讲解。（现在，请一位同学当小老师，用竖式‘分一分’69，并讲讲每一步的‘分棒故事’。）学生活动：参与对比讨论，感悟竖式的简洁与系统性。跟读或自编记忆歌谣。独立完成“69÷3”的竖式计算，并通过同桌互讲算理的方式进行巩固。观察板演，进行评价。即时评价标准：1.能否从记录清晰性、步骤明确性角度评价竖式的优越性。2.在新例题计算中，能否正确执行算法并解释关键步骤。形成知识、思维、方法清单：★算法模型的初步建立：经过“具体—表象—抽象”的过程，学生将操作经验内化为可迁移的笔算除法程序模型。▲数学工具的进化观：体会从实物到符号，从繁琐到简洁的数学发展思维，欣赏数学模型的魅力。★检验理解的标准：能否在新情境中正确计算并解释算理，是判断知识是否建构的真正标准。第三、当堂巩固训练  设计分层练习，学生根据自我评估选择完成至少两个层次。1.基础层（巩固算法）：完成竖式计算：84÷4，66÷3。要求书写规范，完成后同桌用“先分…再分…”互说算理。（这两题是标准模型，看看谁写得最工整，道理讲得最透。）2.综合层（理解应用）：情境判断题：“王老师用96元买了3个同样的篮球。竖式计算96÷3时，十位上商3，表示（）。A.3个球B.3元钱C.3个十元”。并说说理由。3.挑战层（思维拓展）：开放编题：“□6÷2，要使商的末尾是0，□里可以填几？你是怎么想的？”（这道题有点挑战性，需要你反过来思考除法和数位的关系，小组可以讨论一下。）  反馈机制：基础层练习通过实物投影展示典型规范作品与常见错误（如商的位置错误），进行对比讲评。综合层与挑战层通过随机提问、小组汇报分享思路，教师重在点评思考过程而非仅答案对错。第四、课堂小结  引导学生自主进行结构化总结。知识整合：“今天这节课，我们从分跳绳开始，经历了怎样的学习旅程？”（摆小棒—说口算—创竖式—学算法）。鼓励学生用简单的流程图或关键词梳理。方法提炼：“我们是用什么方法学会笔算除法的？”（动手操作帮忙想，联系旧知试着讲，对照竖式明算理）。作业布置：1.必做（基础）：完成课本第X页“想想做做”第1、2题。2.选做（拓展）：（1）生活中找一个可以用“几十几除以几”解决的问题，并计算出结果。（2）预习：如果46根跳绳不是平均分给2个班，而是平均分给3个班，竖式又该怎么写呢？会遇到什么新情况？（为下节课首位不能整除做铺垫）六、作业设计基础性作业（全体必做）：1.完成竖式计算：88÷4，93÷3，77÷7。2.看图写算式并列竖式计算（图示：6捆小棒和8根单根，平均分成2份）。拓展性作业（建议大多数学生完成）：3.解决问题：“一本《童话大王》有84页，小明计划4天看完，平均每天要看多少页？”（列竖式计算）4.“火眼金睛”：判断下面的竖式计算是否正确，错误的请改正。68÷2=34342)686———88———0探究性/创造性作业（学有余力选做）：5.数学小探究：“找一找，像‘46÷2=23’这样，被除数是两位数，除数是一位数，商是两位数的算式，你能写出多少个？它们的被除数、除数、商之间有什么有趣的关系吗？”6.数学日记：“我是竖式小管家”——用日记形式介绍“两位数除以一位数（首位能整除）”这个新朋友，可以写写你是怎么认识它的、它有什么特点、计算时要注意什么。七、本节知识清单及拓展★核心概念：笔算除法。一种用竖式记录多位数除以一位数计算过程的规范方法。其本质是“平均分”操作的程序化、符号化。★算理根基：从被除数的最高位除起，除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的上面。每一步的商都表示几个计数单位（几十或几）。★算法步骤（首位能整除）：1.定商位：从被除数十位除起，够除则商与被除数十位对齐。2.乘减：用商乘除数，积写在对应数位下，再相减。3.落位：将下一位被除数落下来。4.重复：用新数继续除，商对齐个位，乘减至余数为0。▲关键对应关系：竖式中“几几=0”的一步，对应分物中“刚好分完，没有剩余”的情况。这是理解竖式逻辑的关键。★数的组成在除法中的应用：将两位数看作“几个十和几个一”的组合，除法即是分别对“十”的部分和“个”的部分进行平均分，再把结果相加。（教学提示：此点是沟通算理与算法的桥梁）▲‘0’的占位意义：在每一步乘减后，若该数位刚好分完，则差为0。这个0通常省略不写，但它隐含了“此位已分完”的信息，是下一步“落”下一位的基础。★书写规范要点：数位对齐、符号（除号、横线）规范、步骤清晰。规范书写是防止错位、理解算理的外在保障。▲验算方法：初步引入“商×除数=被除数”进行验算，培养计算后检查的习惯。▲与口算的联系：竖式计算是口算过程的细化记录。如46÷2，口算“40÷2=20,6÷2=3,20+3=23”分别对应竖式十位和个位的计算过程。★易错点警示：1.商的位置错误（未对齐数位）。2.漏写某一步的乘积或余数。3.不理解“落下来”的含义，导致运算中断。▲生活应用举例：物品平均分配（如分糖果、分组）、求单价、求单一量等实际问题。★数学思想方法：1.模型思想：从具体问题抽象出除法竖式这一通用计算模型。2.化归思想：将“两位数除以一位数”转化为“表内除法”和“整十数除以一位数”的组合来解决。3.数形结合：用小棒操作辅助理解抽象的竖式步骤。▲拓展思考：若首位不能整除（如52÷2），算理和算法将如何发展？（此为下节课伏笔，激发学生持续探究的兴趣）八、教学反思  （一）目标达成度评估：本节课预设的核心目标——理解算理、掌握算法，基本得以实现。证据在于：在“当堂巩固”环节，绝大多数学生能正确完成基础层竖式计算，且在“互说算理”活动中，能较清晰地将竖式步骤与分物过程对应。挑战层问题虽只有部分学生解答完整，但讨论过程中展现了积极的推理意识。情感目标在小组合作“创造”竖式时表现突出，学生乐于分享自己的“作品”。（当时看到孩子们争着展示自己画的各式各样“竖式”，虽然不标准，但那种探究的热情真让人欣慰。）  （二）环节有效性分析：1.导入与任务一、二：情境与操作有效激发了兴趣，建立了学习的现实意义。但部分小组在操作时效率不高，停留在无序摆弄，下次可提供更明确的操作记录单，要求边分边记。2.任务三（创造竖式）是亮点也是关键转折。它充分暴露了学生的原始思维，为理解标准竖式的优越性制造了强烈认知冲突。3.任务四（构建竖式）中，动态分步演示与反复追问“对应什么”，是突破难点的最有效手段。需注意节奏，给足学生“消化对应”的时间。4.分层巩固环节运行顺畅，学生能根据自我认知选择练习，体现了对差异的尊重。但巡视中发现，选择基础层的少数学生仍存在机械模仿、算理表述模糊的问题，需在课后进行个别化辅导。  （三）学生表现深度剖析：课堂上学生大致呈现三类状态：一是“领先探索者”，他们能迅速沟通算理算法，并乐于指导同伴；二是“稳步建构者”，他们通过操作、听讲、练习能逐步理解，是课堂的主流；三是“缓慢适应者”，他们依赖于直观操作和步骤模仿，对算理的抽象理解仍显吃力。针对第三类学生