图形的分与合：面积与周长问题探究（六年级数学）

图形的分与合：面积与周长问题探究（六年级数学）一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本课内容隶属于“图形与几何”领域，核心在于发展学生的空间观念、几何直观和推理能力。本节课所探讨的“图形的分与合”，并非简单的割补游戏，其本质是运用转化与等积变换的数学思想，将复杂或不规则的图形问题，化归为基本图形（如长方形、正方形、三角形、圆）问题的策略总和。在知识链中，它深度融合了平面图形周长与面积的计算公式，是学生对已学几何知识的一次高阶整合与创造性应用，起着承上启下的关键作用：既是对小学阶段图形度量知识的系统性梳理与升华，也为中学阶段学习几何证明、代数与几何的综合运用奠定了重要的思维基础。过程方法上，本节课倡导“做中学”与“思中悟”，通过拼摆、剪切、平移、旋转等操作性探究活动，将抽象的等积变换思想具象化，引导学生经历“观察猜想—操作验证—归纳概括—迁移应用”的完整数学探究过程。其素养价值深远，在知识载体背后，旨在培养学生面对复杂问题时“化繁为简”、“转化与化归”的理性思维策略，以及在图形分合重组中感受数学的结构之美与创造之趣，培育严谨求实的科学态度和勇于探索的创新精神。

六年级学生已系统掌握了基本平面图形的周长与面积计算公式，具备一定的空间想象和计算能力。然而，学生的思维水平存在显著差异：一部分学生可能仍停留于公式的直接套用，面对非常规图形时感到无从下手；另一部分学生虽能进行简单分割，但缺乏对图形结构进行系统性分析和策略优化的意识。普遍的认知障碍在于，难以从动态视角理解图形的等积变换过程，以及在处理周长问题时，容易忽略“分”与“合”过程中线段的重叠或隐藏所带来的变化。基于此，教学调适应遵循“以学定教”原则：首先，通过前测性问题快速诊断学生的思维起点；其次，在核心探究环节，为不同层次学生搭建差异化“脚手架”，如为学困生提供可操作的实体图形卡片，引导其从“动手试”中发现规律；为学优生则设计更具挑战性的策略优化问题，引导其从“动脑想”中追求简洁与通用。整个教学过程将嵌入多元的形成性评价，通过巡视观察、追问启思、展示互评等方式，动态把握学情，及时调整教学节奏与支持策略。二、教学目标

在知识层面，学生将深入理解图形“分”与“合”的等积变换本质，不仅能够准确辨析在解决面积与周长问题时“分”“合”策略的适用场景与差异，更能灵活运用平移、旋转、对称等运动观念，将不规则图形转化为可计算的基本图形组合，从而建构起解决复合图形度量问题的层次化策略知识体系。

在能力层面，重点发展学生的空间想象与几何直观能力，使其能够通过画辅助线、图形重组等方式在头脑中或纸面上对图形进行有效分解与重构。同时，提升数学建模与解决问题能力，引导其从具体问题中抽象出“转化”这一通用数学模型，并能清晰、有条理地表达自己的思考过程和策略依据。

在情感态度与价值观层面，通过富有挑战性的图形探究活动，激发学生对几何图形内在结构的好奇心与探索欲。在小组协作学习中，鼓励积极倾听、理性辩论、共享发现，培育团队合作精神与严谨求实的科学态度，体验数学思维突破带来的成就感。

在学科思维层面，本节课核心发展转化与化归思想、模型思想。通过设计递进式的问题链，引导学生将未知问题转化为已知问题（化归），将复杂图形模型转化为基本图形模型（建模），并在此过程中训练其演绎推理与归纳概括的逻辑思维能力。

在评价与元认知层面，设计策略对比与优化环节，引导学生学会使用“思路是否清晰”、“方法是否简洁通用”等标准来评价自己与他人的解题方案。鼓励学生在学习后反思：“解决这类问题的通用步骤是什么？”“我最容易在哪个环节出错？”从而提升对自身学习过程的监控与调节能力。三、教学重点与难点

教学重点是掌握运用“分”与“合”的策略解决组合图形面积与周长问题的基本思想与方法。确立此重点，是因为它直指课标“空间观念”和“推理意识”的核心素养要求，是学生将零散几何知识整合为系统性解决问题能力的关键枢纽。它不仅是小升初数学考查中高频出现的核心能力点，更是学生从具体运算走向初步代数思维与几何证明不可或缺的思维桥梁。抓住这一重点，就抓住了提升学生几何思维水平的“牛鼻子”。

教学难点在于对复杂图形进行合理的分解与重构的空间想象，以及灵活选择并优化解题策略。难点成因在于：首先，这需要学生克服静态观察图形的惯性，从动态视角在脑海中模拟图形的切分、平移、旋转过程，对空间想象力要求较高；其次，对于同一图形，往往存在多种分合策略，如何根据问题所求（面积或周长）选择最优策略，需要学生具备清晰的思路比较和策略评估能力，这涉及到高阶思维。突破难点需依靠“脚手架”：从直观操作感知入手，通过动画演示将想象过程可视化，并设计策略对比环节，让学生在“尝试—比较—反思”中逐步内化方法。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（内含图形变换动画、分层练习题）；若干套可拼合的图形磁贴或卡片（长方形、正方形、三角形、半圆等）；实物投影仪。1.2学习材料：设计分层学习任务单（含前测、探究记录、巩固练习）；设计课堂小结思维导图模板。2.学生准备2.1学具：直尺、铅笔、彩笔、剪刀、每人一套与教师教具同款的纸质图形卡片。2.2预习：回顾已学平面图形的周长与面积公式。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题提出：1.2.同学们，想象一下，如果我们要给学校这个不规则的花坛（课件出示一个由长方形和半圆组合而成的图形）铺上草皮，需要计算什么？（面积）如果要给花坛围一圈栅栏，又需要计算什么？（周长）2.3.出示图形并提问：“这个图形既不是标准的长方形，也不是标准的半圆，它的面积和周长该怎么求呢？直接套用公式好像行不通了，大家有什么好想法吗？”（留白，让学生初步思考）。有同学小声说可以分开算，也有同学在比划着拼接。好，大家的想法都指向了两个字——“分”或者“合”。3.4.核心问题揭示与路径明晰：今天我们就来深入探究“图形的分与合”（板书课题）。我们将通过一系列挑战，学会像一位几何侦探一样，巧妙地“分拆”复杂图形，或者“重组”隐藏信息，来揭开面积和周长的秘密。首先，我们会从最简单的图形开始热身。第二、新授环节任务一：热身与唤醒——基础图形的拼合与分割感知教师活动：首先，利用课件快速展示一组基本图形（正方形、长方形、三角形）的面积公式推导过程的动态回顾，特别是平行四边形、三角形面积公式推导中运用的割补法，并提问：“当初我们是怎样把未知的平行四边形面积转化成已知的长方形面积的？”以此唤醒学生的转化思想。接着，出示一个由两个已知长宽的长方形拼成的L形图形，提问：“你能用几种不同的方法计算这个组合图形的面积？”巡视时，重点关注学生是采用“分成两个长方形相加”（分），还是“补成一个大长方形再减去一小块”（合）的思路。邀请不同方法的学生上台，用图形磁贴展示自己的思路。学生活动：回顾公式推导背后的“转化”故事。在练习纸上尝试计算L形图形面积，至少探索两种方法。用学具卡片实际拼摆，验证自己的想法。观看同伴演示，理解不同方法本质都是将组合图形转化为基本图形。即时评价标准：1.能否清晰说出所用方法属于“分”还是“合”。2.操作是否规范，拼摆后图形是否等积。3.表达时能否说清“哪里是分割线”、“补上了哪部分需要减去”。形成知识、思维、方法清单：1.★核心概念（转化）：求组合图形面积的基本思想是“转化”——通过分或合，将其变为几个基本图形的和或差。“分”即分割求和，“合”即添补求差。（教学提示：此时不必追求术语严谨，重在体会思想。）2.▲方法对比：“分割法”和“添补法”没有绝对优劣，关键看哪种转化后数据更易得、计算更简便。可以鼓励学生说：“我喜欢第一种方法，因为分割后的图形数据题目直接给了！”3.操作验证的价值：动手拼摆不仅能验证想法，更是将抽象思维可视化的过程，能帮助空间观念较弱的同学建立信心。任务二：探究升级——当图形中出现“曲线”教师活动：提出核心挑战：“刚才我们处理的是‘直来直去’的图形，如果加入曲线，比如这个图形（出示：正方形边上去掉一个半圆，形成拱形门洞截面图），你还能求出阴影部分的面积吗？”引导学生思考：“这个图形可以看作是由哪两个基本图形组合而成的？它们之间是什么关系？”预计学生能看出是“正方形减半圆”。追问：“这是‘分’还是‘合’的策略？”（是“合”成正方形后再“分”出去半圆，实质是“合—分”结合）。通过课件动画演示将半圆平移分离的过程。学生活动：观察图形，识别组成元素（正方形和半圆）。分析关系（半圆是正方形的一部分）。尝试列式计算阴影部分面积（正方形面积半圆面积）。观看动画，强化图形通过运动可以分离的直观印象。即时评价标准：1.能否准确识别组成图形的基本元素。2.能否正确理解图形间的包含关系（整体与部分）。3.计算半圆面积时，能否正确处理半径与直径的关系，这是易错点。形成知识、思维、方法清单：1.★关键技能（识别与关联）：解决复杂图形问题，第一步是“识图”——识别图中包含哪些基本图形，并分析它们之间的位置、大小关系（相邻、包含、重叠等）。（可以说：“别急着算，先当个图形侦探，把它‘拆解’看看！”）2.易错点预警：涉及圆或半圆时，必须明确题目所给是半径还是直径。本题中半圆的直径等于正方形边长，半径需要换算。3.思想延伸（运动观点）：动画演示揭示了“平移”这种图形运动在帮助我们理解“分合”时的巨大作用，为后续更复杂的想象打下基础。任务三：策略分化——面积与周长在“分合”中的不同命运教师活动：这是突破难点的关键对比环节。出示同一组合图形（如：长方形一角挖去一个小正方形）。首先提问：“如何求剩余图形的面积？”学生轻松应用“合”（补全长方形）再“减”的策略。接着，话锋一转：“那么，这个剩余图形的周长，和原来长方形的周长还一样吗？”让学生先猜一猜。“很多同学第一感觉是变小了，因为缺了一块嘛。事实果真如此吗？请大家用笔描一描这个图形的边线。”引导学生发现，周长并非减少，反而增加了两条小正方形的边长。通过课件高亮描边过程，直观对比。学生活动：计算图形面积。对周长变化进行猜想并辩论。动手描边，精确感知周长的定义是“图形一周的长度”。观察动画演示，理解凹进去的部分，周长会增加内部新增的边线。即时评价标准：1.能否清晰区分面积（面的大小）与周长（边的长度）两个概念。2.描边操作是否完整、准确。3.能否解释清楚周长增加的部分具体是哪几条边。形成知识、思维、方法清单：1.★核心辨析（面积vs周长）：“图形的分与合，对面积和周长的影响截然不同！”面积遵循“总量守恒”（分后和不变，合后差调整），而周长却可能因为分割（增加内部线条）或拼合（隐藏外部线条）而发生增减变化。（这是本节课的升华点，需反复强调。）2.▲方法口诀：求面积，找“转化”；求周长，要“描边”。描边是解决复杂图形周长问题最可靠的方法。3.常见误区纠正：“图形变小，周长就变小”是典型的前科学概念。必须通过操作观察打破这一误解。任务四：综合挑战——优化策略选择教师活动：出示一道经典题：求一个由大正方形内部挖去一个小正方形（但位置居中偏上）后剩余图形的面积和周长。“这道题有点难度，面积和周长都要求。给大家3分钟小组讨论，看哪个组能想出最清晰、最多样的解法。”巡视中，引导不同小组尝试不同的分割方法求面积（如横着分、竖着分、分成多个长方形等），并比较优劣。对于周长，引导学生讨论：是否可以直接用大正方形周长？为什么？必须描边计算。学生活动：小组合作探究。在任务单上尝试画辅助线，探索多种面积解法。激烈讨论周长计算方案，并通过描边达成共识。准备汇报，重点说明思路和比较不同方法的简便性。即时评价标准：1.小组是否探索出两种以上的面积解法。2.对于周长的讨论，是否经历了从直觉错误到严谨描边的过程。3.汇报时，能否清晰阐述不同策略的思考路径及优劣。形成知识、思维、方法清单：1.★策略优化（多解归一）：面对复杂图形，鼓励“一题多解”，通过比较选择计算量最小、思路最清晰的方法。这是思维从“会做”到“巧做”的飞跃。2.▲辅助线的作用：画辅助线是实施“分”与“合”的桥梁，是思维可视化的关键步骤。辅助线应画得规范、清晰。3.严谨性养成：周长的计算容不得半点“想当然”，必须回归定义，逐边累加。（点评时可以说：“数学的魅力就在于，它用最严格的规则，保护我们不被直觉欺骗。”）第三、当堂巩固训练

设计分层练习，满足差异化需求：1.基础层（全体必做）：直接应用“分”或“合”求单一图形的面积或周长。如图形明显由两个长方形组成，求面积；或求一个“凹”字形图形的周长（需描边）。2.综合层（多数学生挑战）：在稍复杂情境中综合运用。例如，1.给出一个不规则图形（如楼梯截面），求其面积和周长。2.解决一个简单实际问题：“从一块长方形铁皮上剪去一个圆后，剩余部分的面积和周长分别是多少？”3.挑战层（学有余力选做）：涉及策略优化与开放思考。如：1.给出一个图形和多种分割方案，判断哪种方案求面积时所需已知条件最少。2.思考题：“两个周长相等的长方形，面积一定相等吗？请举例说明或论证。”

反馈机制：学生独立完成后，采用投影展示典型解法（特别是错误解法，匿名处理）。针对基础层练习，进行快速集体核对。针对综合层和挑战层，请学生上台讲解思路，突出策略选择过程。组织小组内互评，重点关注解题步骤的规范性和思路的清晰度。教师进行总结性点评，强调通法和易错点。第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结与元认知反思。“经过一节课的探索，我们现在回头看看，今天我们获得了哪些‘几何侦探’的破案工具？”请学生不以罗列知识点的方式，而是尝试用思维导图（教师提供模板框架）来梳理：中心是“图形的分与合”，主干包括“目的”（求面积、求周长）、“核心思想”（转化、等积）、“主要策略”（分割法、添补法、描边法）、“注意事项”（面积周长区别、数据识别、策略优化）。邀请学生分享自己的思维导图。接着，进行方法提炼：“回顾今天解决问题的过程，最关键的一步是什么？”（识别图形基本构成、选择转化策略）。最后，布置分层作业：1.必做（基础）：完成练习册上相关基础题。2.选做（拓展）：寻找生活中的组合图形实例，估算其面积或周长，并说明你的方法。3.思考（探究）：你能设计一个用“分”和“合”两种策略都能解决，且计算量相当的图形问题吗？下节课我们将展示大家的创意。六、作业设计1.基础性作业（必做）：1.计算给定的3个组合图形的面积（图形直观，分割或添补思路明确）。2.计算给定的2个组合图形的周长（需准确描边）。3.目标：巩固本节课最核心的“转化”思想在面积计算中的应用，以及周长计算必须“描边”的严谨步骤。2.拓展性作业（建议大多数学生完成）：1.情境应用题：学校要在一块长方形空地上设计一个包含矩形花坛和环形小路的景观。提供示意图和部分数据，请计算花坛的占地面积以及小路的面积。（综合运用“分”与“合”）2.错题分析：提供一道典型错解（如混淆面积与周长变化），请分析错误原因并写出正确解答过程。3.目标：在真实、综合的情境中应用知识，并提升批判性思维和错误辨析能力。3.探究性/创造性作业（选做）：1.小小设计师：用基本的几何图形（正方形、长方形、圆、三角形等）设计一个你喜欢的图案（如小房子、机器人轮廓），并计算出你所设计图案的总面积和外围周长。2.数学小论文（雏形）：以“一次‘分’与‘合’的巧妙邂逅”为题，记录你今天在解决某个图形问题时，从困惑到豁然开朗的思维过程，重点描述你是如何想到并优化解题策略的。3.目标：激发创造力和深度学习，将数学知识应用于艺术创作，并促进元认知发展。七、本节知识清单及拓展1.★转化思想：解决不规则图形问题的根本思想。通过分割、添补、平移、旋转等方式，将未知图形转化为已知图形。2.★分割法：将组合图形分割成几个基本图形，各基本图形面积之和即为原图形面积。适用于图形分割后各部分信息明确的场景。3.★添补法：将组合图形添补成一个更大的基本图形，用大图形面积减去添补部分面积得到原图形面积。适用于图形存在“缺口”易补全的场景。4.★面积守恒：在图形的分、合、移、转过程中，只要不重叠、无遗漏，图形的总面积保持不变。这是进行等积变换的理论基础。5.▲周长定义再强调：封闭图形一周的长度。计算时，必须追踪所有外围边线，内部线条不计入周长。6.★“描边法”求周长：解决复杂图形周长问题最可靠的方法。用笔或想象沿着图形外缘“走”一圈，累计所有走过的边长。7.★面积与周长在分合中的本质区别：面积关注“面”的总量，分合中守恒；周长关注“边”的总长，分合可能导致边线的增加（分割产生新边）或减少（拼合隐藏公共边）。8.▲辅助线：实施图形转化所添加的虚拟线条。画辅助线是解题的关键步骤，应力求清晰、合理，有助于简化问题。9.★策略选择与优化：面对多解问题时，应比较不同方案的计算复杂度和所需条件的直接性，选择最优策略。这是高水平思维的体现。10.▲常见基本图形面积公式网络：长方形（长×宽）是基石；正方形（边长²）、平行四边形（底×高）、三角形（底×高÷2）、梯形（(上底+下底)×高÷2）均可通过转化与长方形建立联系；圆（πr²）是独立体系，但半圆、扇形是其部分。11.▲数据识别警惕点：尤其是涉及圆、半圆时，务必分清题目所给是半径(r)、直径(d)还是其他。这是准确计算的前提。12.★化归思想：将未曾解决的问题，通过转化，归结为已经解决或易于解决的问题。本课的“图形的分与合”是化归思想在几何领域的典型应用。八、教学反思

假设本次教学已实施完毕，从预设与生成的视角进行复盘，总体认为教学目标基本达成，学生在“面积转化”这一核心知识技能上掌握扎实，尤其在“一题多解”环节展现出活跃的思维。然而，在“周长变化理解”这一难点上，尽管通过描边操作和动画演示进行了强化，但课后小测仍显示约有三分之一的学生在处理新的凹多边形周长时，存在下意识的“用原周长减”的错误倾向。这提示我，对于这类颠覆生活直觉的数学概念，单次的操作体验和强调仍显不足。

各教学环节的有效性评估如下：导入环节的生活情境迅速锚定了学习价值，驱动性问题有效。新授环节的四个任务梯度基本合理，任务三（面积周长对比）作为转折点，学生的认知冲突表现明显，讨论热烈，是课堂的高潮，也是思维深化最有效的部分。但在任务四（综合挑战）的小组讨论中，我发现部分基础薄弱的小组将大量时间耗费在计算尝试上，而非策略探讨，这说明任务指令的聚焦性可以更强，或许应为不同层次小组提供差异化的提示卡或问题引导卡，让每个小组的探究都能在“最近发展区”内高效发生。