高中数学函数专题练习及详解

高中数学函数专题练习及详解函数，作为高中数学的核心内容，贯穿于代数、几何乃至后续的微积分学习中。其概念抽象，性质多样，应用广泛，既是重点也是难点。掌握函数的思想与方法，不仅是应对考试的需要，更是培养逻辑思维与解决实际问题能力的关键。本专题将通过一系列精心挑选的练习题，辅以详尽解析，帮助同学们巩固函数基础知识，提升综合运用能力。我们将从函数的基本概念出发，逐步深入到性质应用、图像变换以及综合问题的求解，力求每一道题都能击中要点，每一处解析都能拨云见日。一、函数的概念与定义域、值域函数的本质在于“两个非空数集间的一种确定的对应关系”。定义域是函数的“灵魂”，任何时候研究函数都必须首先考虑其定义域；值域则是函数在定义域上的“归宿”，是函数性质的直接体现。典型例题精讲例1：判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A=R，B=R，对应关系f：x→y=x²；(2)A=R，B={y|y>0}，对应关系f：x→y=x²；(3)A={x|x>0}，B=R，对应关系f：x→y=±√x。详解：判断一个对应关系是否为函数，需紧扣函数定义的两个核心：一是A中每一个元素在B中都有对应；二是A中每一个元素在B中的对应是唯一的。(1)对于A中的任意实数x，通过y=x²，在B中都有唯一确定的实数y与之对应，故是函数。(2)当A中的元素x=0时，y=0²=0，而B中的元素要求y>0，此时0不在B中，即A中元素0在B中无对应，故不是函数。(3)对于A中的任意正数x，y=±√x在B中有两个元素（正负根号x）与之对应，不满足“唯一性”，故不是函数。例2：求函数f(x)=√(x²-4x+3)+1/(x-2)的定义域。详解：函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量x的取值范围。对于该函数，涉及到二次根式和分式，需分别考虑：1.二次根式√(x²-4x+3)有意义，则被开方数必须非负：x²-4x+3≥0。解不等式x²-4x+3≥0，因式分解得(x-1)(x-3)≥0，其解集为x≤1或x≥3。2.分式1/(x-2)有意义，则分母不能为零：x-2≠0，即x≠2。综合以上两个条件，函数的定义域需同时满足x≤1或x≥3，以及x≠2。但x≤1和x≥3的范围内本身就不包含2，故最终定义域为(-∞,1]∪[3,+∞)。例3：已知函数f(x)的定义域为[0,2]，求函数g(x)=f(2x-1)的定义域。详解：此类问题的关键在于理解“f”作用的对象。已知f(x)的定义域为[0,2]，即f作用的“括号内的整体”必须在[0,2]范围内。对于g(x)=f(2x-1)，f作用的对象是(2x-1)，因此有：0≤2x-1≤2解这个不等式组：先解2x-1≥0，得x≥1/2；再解2x-1≤2，得x≤3/2。故g(x)的定义域为[1/2,3/2]。专题练习题A（基础巩固）1.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A.f(x)=x，g(x)=(√x)²B.f(x)=x，g(x)=x²/xC.f(x)=x+1，g(x)=(x²-1)/(x-1)D.f(x)=|x|，g(x)=√(x²)2.求函数f(x)=√(6-x)+lg(x-1)的定义域。3.若函数f(x+1)的定义域为[-2,3]，求函数f(2x-1)的定义域。二、函数的单调性与奇偶性函数的单调性刻画了函数值随自变量变化的趋势，奇偶性则反映了函数图像的对称性。它们是研究函数性质的重要工具。典型例题精讲例4：证明函数f(x)=x+1/x在区间(0,1)上单调递减。详解：证明函数单调性的定义法步骤通常为：取值、作差（或作商）、变形、定号、下结论。任取x₁,x₂∈(0,1)，且x₁<x₂。则f(x₁)-f(x₂)=(x₁+1/x₁)-(x₂+1/x₂)=(x₁-x₂)+(1/x₁-1/x₂)=(x₁-x₂)+(x₂-x₁)/(x₁x₂)=(x₁-x₂)[1-1/(x₁x₂)]=(x₁-x₂)(x₁x₂-1)/(x₁x₂)。因为x₁,x₂∈(0,1)且x₁<x₂，所以x₁-x₂<0，x₁x₂>0（两正数之积），x₁x₂-1<0（因为x₁,x₂均小于1，其积也小于1）。因此，分子(x₁-x₂)(x₁x₂-1)为(-)*(-)=(+)，分母x₁x₂为(+)，故f(x₁)-f(x₂)=(+)/(+)=+>0，即f(x₁)>f(x₂)。由单调性定义可知，函数f(x)在区间(0,1)上单调递减。例5：判断函数f(x)=x³-x的奇偶性。详解：判断函数奇偶性，首先需看其定义域是否关于原点对称。该函数定义域为R，关于原点对称。然后计算f(-x)：f(-x)=(-x)³-(-x)=-x³+x=-(x³-x)=-f(x)。满足f(-x)=-f(x)，故函数f(x)是奇函数。例6：已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，若f(a)<f(2)，求实数a的取值范围。详解：利用偶函数的性质：f(x)=f(-x)=f(|x|)。因为f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以f(a)<f(2)可转化为f(|a|)<f(2)。又因为在[0,+∞)上单调递增，所以|a|<2，解得-2<a<2。故实数a的取值范围是(-2,2)。专题练习题B（能力提升）4.函数f(x)=x²-2ax+3在区间[1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.a≤1B.a≥1C.a≤-1D.a≥-15.判断函数f(x)=|x+1|-|x-1|的奇偶性，并证明你的结论。6.已知奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，若f(2-a)+f(4-a²)<0，求实数a的取值范围。三、函数的图像与变换函数的图像是函数关系的直观体现。掌握基本初等函数的图像特征，并能进行图像的平移、伸缩、对称等变换，对于理解和解决函数问题至关重要。典型例题精讲例7：作出函数y=|x²-2x-3|的图像，并根据图像写出函数的值域。详解：含绝对值的函数图像，常可通过将原函数图像在x轴下方的部分翻折到x轴上方得到。首先，考虑函数y=x²-2x-3，这是一个开口向上的二次函数，其对称轴为x=-b/(2a)=1，顶点坐标为(1,1²-2*1-3)=(1,-4)。令y=0，即x²-2x-3=0，解得x=-1或x=3。故该二次函数与x轴交于(-1,0)和(3,0)两点。画出y=x²-2x-3的图像（开口向上，顶点在(1,-4)，与x轴交于(-1,0)和(3,0)）。然后，将x轴下方的部分（即当x∈(-1,3)时，函数值为负）翻折到x轴上方。翻折后，原顶点(1,-4)变为(1,4)。观察翻折后的图像，函数的最小值为0（在x=-1和x=3处取得），无最大值。因此，函数y=|x²-2x-3|的值域为[0,+∞)。例8：说明函数y=2^(x+1)-3的图像是由函数y=2^x的图像经过怎样的变换得到的。详解：函数图像的变换通常包括平移、伸缩、对称等。对于指数函数的变换，要明确针对x和针对整体函数值的变换顺序和方式。y=2^x→y=2^(x+1)：这是将函数y=2^x的图像向左平移1个单位长度（“左加右减”，针对x的变化）。y=2^(x+1)→y=2^(x+1)-3：这是将上一步得到的图像向下平移3个单位长度（“上加下减”，针对函数值整体的变化）。故函数y=2^(x+1)-3的图像是由y=2^x的图像先向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的。专题练习题C（图像应用）7.函数y=f(x)的图像如图所示（此处省略图像，实际应用中应有图），则函数y=f(|x|)的图像大致是（）（A）（B）（C）（D）(假设选项为常见的偶函数图像形态)8.如何由函数y=1/x的图像得到函数y=(2x+1)/(x+1)的图像？（提示：可先对解析式进行化简变形）四、基本初等函数与函数的综合应用一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数是基本初等函数，它们是构成复杂函数的基础。综合运用函数的各种性质解决方程、不等式等问题，是函数部分的重点和难点。典型例题精讲例9：已知二次函数f(x)满足f(0)=1，且f(x+1)-f(x)=2x。求f(x)的解析式。详解：求二次函数解析式，常用待定系数法。设f(x)=ax²+bx+c(a≠0)。由f(0)=1，代入得c=1，故f(x)=ax²+bx+1。又f(x+1)-f(x)=2x。计算f(x+1)：f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+1=a(x²+2x+1)+b(x+1)+1=ax²+(2a+b)x+(a+b+1)。则f(x+1)-f(x)=[ax²+(2a+b)x+(a+b+1)]-[ax²+bx+1]=2ax+(a+b)。依题意，此式等于2x，即2ax+(a+b)=2x+0。比较等式两边对应项系数：2a=2→a=1；a+b=0→1+b=0→b=-1。故f(x)的解析式为f(x)=x²-x+1。例10：解方程log₂(x+1)+log₂(x-1)=3。详解：解对数方程，需注意定义域，并利用对数运算法则化简。首先，确定定义域：对数的真数必须大于0，所以有x+1>0且x-1>0，解得x>1。原方程左边利用对数加法法则：log₂[(x+1)(x-1)]=log₂(x²-1)。故原方程化为log₂(x²-1)=3。根据对数定义，2³=x²-1→8=x²-1→x²=9→x=±3。结合定义域x>1，舍去x=-3，故原方程的解为x=3。专题练习题D（综合应用）9.已知函数f(x)=a^x(a>0且a≠1)的图像经过点(2,9)，求f(x)的解析式，并解不等式f(x)>3^(x-1)。10.已知函数f(x)=x²-2mx+4在[1,3]上的最小值为1，求实数m的值。参考答案与提示练习题A1.D提示：判断同一函数需定义域和对应法则均相同。A中g(x)定义域为x≥0；B中g(x)定义域为x≠0；C中g(x)定义域为x≠1；D中g(x)=√(x²)=|x|，与f(x)定义域均为R，对应法则相同。2.(1,6]提示：6-x≥0且x-1>0，解得1<x≤6。3.[0,2.5]提示：f(x+1)定义域为[-2,3]，即x∈[-2,3]，则x+1∈[-1,4]，故f(x)定义域为[-1,4]。对于f(2x-1)，有-1≤2x-1≤4，解得0≤x≤2.5。练习题B4.A提示：二次函数开口向上，对称轴x=a，要在[1,+∞)单调递增，则对称轴x=a≤1。5.奇函数提示：定义域为R，关于原点对称。计算f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x)。6.(√3,2)提示：f(x)为奇函数且在[0,+∞)递减，故在R上递减。f(2-a)<-f(4-a²)=f(a²-4)。则2-a>a²-4（利用单调性），且注意2-a和4-a²需在定义域内（本题定义域为R，故主要解不等式2-a>a²-4，并结合奇函数性质隐含条件）。练习题C7.（根据